1、1,Hamilton力学的辛算法 和分子动力学模拟,陈敏伯中国科学院上海有机化学有机所 计算化学课题组 2006年10月,2,内容,冯康对世界科学的重大贡献 Euclid空间 辛空间 Hamilton力学的辛结构 正则变换的辛结构 辛算法应用实例,3,Schrdinger：“Hamilton原理已经成为现代物理学的基石。” Hamilton原理将不同的物理规律纳入了统一的数学形式。 现在问题就归结到：怎样才能对Hamilton力学的运动方程作正确的数值计算。 一切Hamilton体系的动力学演化都使辛度量保持不变，即都是辛（正则）变换。 一切解Hamilton方程 “正确”的离散算法都应当是辛
2、变换的。 （冯康，1997年国家自然科学一等奖“哈密尔顿系统辛几何算法” ） Lax：“他的声望是国际性的。” 丘成桐：“中国在数学历史上很出名的有三个：一个是陈省身教授在示性类方面的工作，一个是华罗庚在多复变函数方面的工作，一个是冯康在有限元计算方面的工作。” (1998年3月11日中国科学报),4,“冯氏大定理”,同一物理定律的不同的数学表述，尽管在物理上是等价的；但在计算上是不等价的。冯康：如果在算法中能够保持辛几何的对称性，将可避免人为耗散性这类算法的缺陷，成为具有高保真性的算法。 在天体力学的轨道计算，粒子加速器中的轨道计算和分子动力学计算中得到广泛的应用。,5,冯康（1920199
3、3）的学术成就,1965年发表论文“基于变分原理的差分格式”。国际学术界承认冯康独立发展了有限元方法。 （仅获1982年国家自然科学二等奖。冯康得悉非常难过，曾打算将申请撤回。） 前国际数学会理事长J. L. Lions教授1981年说：“中国学者在对外隔绝的环境下独立创造了有限元，在世界上是最早之列。今天这一贡献已为全人类所共享。” 1984年以后创建的“哈密尔顿系统的辛几何算法”。 （1991年评为国家自然科学奖二等奖。冯康获悉后撤回申请。直到1997年底，在冯康去世四年之后，终于授予了国家自然科学一等奖。 ）石钟慈：“国际上最早系统地研究并建立辛几何算法的。”,6,数学地位,7,外微分
4、辛几何,辛几何的基础是外微分形式。外微分形式是如下概念推广到高维的产物：1、作功在场中沿某一路径所作的功；2、流量单位时间内流体穿过某曲面的量3、面积或体积平行四边形面积或平行六面体体积。外微分形式中有“1-形式”、“2-形式”等 辛构造就是非简并的闭2-形式。,8,Euclid空间,对称性： 线性： （ k 为任意实数） （ c是V中的任意向量） 非简并性： ，当且仅当 时才,符合如下内积定义的线性空间V称为“Euclid空间”。,然后就可以给出向量的长度、正交、单位向量等概念。,9,辛空间（Simplectic Space）,反对称性： 双线性： 非简并性：若向量a对于W中的任意向量b均有
5、 ，则,具有如下内积定义的线性空间W为“辛空间” 。 这种内积称为“辛内积”。,10,辛空间,度量：作功、面积（或体积）、流量等 辛内积：2维： a、b平行四边形面积2n维：,单位辛矩阵 ：,11,单位辛矩阵 的性质,若 A 为对称阵，且 ，则,证明：,12,Euclid空间和辛空间的对应关系,13,Hamilton力学的辛结构,14,正则变换的辛结构,正则变量从 变换到 记为：,即：,M,辛变换：,15,正则变换M的性质,16,无穷小辛阵,定义：若 ，则该2n阶矩阵 称为“无穷小辛阵” 设 为对称阵，当且仅当 时， 为无穷小辛阵。 （证明略） 若 为无穷小辛阵， 则 为辛阵 。 若 为无穷小
6、辛阵，又若 非奇异， 则 为辛阵,17,辛阵,2、当且仅当 和 ，则 、 都为辛阵,3、 是辛阵,4、当且仅当 ，则 是辛阵,5、当且仅当 和 ，则 是辛阵,1、 是辛阵的充要条件：,18,线性Hamilton体系的辛差分格式,线性Hamilton体系Hamilton函数是 的二次型,且,其中,为无穷小辛阵,为辛阵,积分,19,20,中点Euler法的辛格式,h 为时间步长,因为 为无穷小辛阵，且非奇异即 ，故步进算符 为辛阵，故为辛格式。,21,可分、线性Hamilton体系的中点Euler公式, “可分、线性Hamilton体系”,22,Euler中点法,演绎见后页,23,演绎细节：,24
7、,前面我们已经证明了 是辛阵，所以上面算法是辛格式。,25,基于Pad逼近的辛格式,线性Hamilton体系相流 有理Pad逼近：,称为“l+m阶对ex的Pad逼近”,即,可分体系：,26,用以下 构造的差分格式都是辛格式,*： “(1,1) 逼近” ，就是Euler中点格式。,27,可分线性Hamilton体系的交叉显式辛格式,差分,28,当且仅当 和 时, 和 都为辛阵。,当且仅当 ，则 是辛阵。现在是 ，所以 也是辛阵。故为辛格式。,29,演绎细节：,30,可分线性Hamilton体系的交叉显式辛格式,差分,h：时间步长,31,验证：,验证完毕,32,实例1 谐振子的相空间轨迹,(a)
8、Runge-Kutta法 3000步 ，步长0.4。 人为耗散，轨道收缩,(b) Adams法 步长0.2 。 人为反耗散，轨道发散,(c)蛙跳法 *步，步长0.1 。 初、中、末各取三段1000步的结果完全吻合,33,实例2 非谐振子的相空间轨迹,（a）与（b）为同一个蛙跳法模拟的分段取样结果,(c) 二阶辛算法 1000步 . 初、中、末三段结果完全吻合,最初1000步 轨道失真,第900010000步 轨道继续失真,*：蛙跳法即二步中心差分法，它对于非线性方程不是辛算法,34,实例3 Huygens振子,(a) Runge-Kutta法 步长0.10000005 ； 9x105步 。 趋
9、于左吸引子,(b) Runge-Kutta法 步长0.10000004 ； 9x105步 。 趋于右吸引子,(c) 二阶辛算法 4条轨道，每条各108步； 步长0.1 每条轨道的初、中、末各取三段500步的结果完全吻合。 具有超长期跟踪能力,位于双纽线之外的任意初始相点趋于左右两个假吸引子的几率相同。,35,实例4 椭球面上的测地线,(a) Runge-Kutta法 轨道不趋稠密,步长0.05658 ，104步 频率比：,(b)辛算法 轨道趋于趋稠密,无理数,36,实例5椭球面上的测地线,步长0.033427 ，105步 周期：25 频率比：11/16,有理数,(a) Runge-Kutta法
10、 轨道不封闭,(b)辛算法 轨道封闭,37,实例6Kepler轨道,当频率比为有理数时，应当形成封闭轨道,步长0.01605 ，2.5x105步 频率比：11/20,有理数,(a) Runge-Kutta法 轨道不封闭,(b)辛算法 轨道封闭,38,实例7Li2 分子的经典轨迹法,设原子位置 折合质量 广义位置 广义动量 动能 势能取Morse势 Hamiltian量,39,Li2分子的经典轨迹的正则方程,Li2分子 态的参数： ， ，-1。 设初态为： 步长0.005。,40,1. 振幅、周期,(a) 辛算法： 长达106步时还保持振幅恒定，周期性恒定。,(b) Runge-Kutta法：
11、5000步之后振幅变小、周期变短,41,2.相空间轨迹,(a) 辛算法： 长达106步时还保持总能量恒定、相空间轨迹稳定、。,(b) Runge-Kutta法： 104步之后总能量急剧下降 ； 相空间轨迹沿q方向收缩，5104步时已经面目全非。,42,实例说明：,8种实例：简谐振子、Duffing振子（非线性振子）Huygens振子、Cassini振子、二维多晶格与准晶格定常流、Lissajous图形、椭球面测地线流、Kepler运动。 说明了在整体性、结构性和长期跟踪能力上辛算法的优越性。一切传统非辛算法，无论精度高低均无例外地全然失效。一切辛算法无论精度高低均无例外地过关，均具有长期稳健的
12、跟踪能力。显示了压倒性的优越性。,43,Hamilton体系的守恒律,辛算法保持了Hamilton体系具有的两个守恒律 ：1、相空间体积的不变性 Liouville-Poincar守恒律2、运动不变量：如能量、动量、角动量的守恒 辛算法能够在数值计算中保持辛变换的结构，于是就会得到高的稳定性。 辛算法的差分方法被认为是目前最稳定、高效的计算方法。最适合用于经典力学体系。 辛算法不含人为耗散性，先天性地免于一切非哈污染，是“干净”的算法。,44,传统算法除了极个别例外，均为非辛算法。大都是为了渐近稳定体系设计的，都含有耗散机制以保证计算稳定性。 Hamilton体系不具有渐近稳定性，所以传统算法
13、都不可避免地带进人为耗散性、虚假吸引子及其它种种非哈体系本身具有的寄生效应。,45,Refs,1 余扬政，冯承天，物理学中的几何方法，高等教育出版社，施普林格出版社，1998年。 2 Arnold, V. I., Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer-Verlag, Heidelberg, 1978; 中译本：齐民友译，经典力学的数学方法（第4版），高等教育出版社，北京，1992年（中译本第1版），2006年（中译本第2版）。 3 李德明，陈昌民，经典力学，高等教育出版社，北京，2006年，第4章。 4 冯康，秦孟兆，哈密尔顿系统的辛几何算法，浙江科学技术出版社，杭州，2003年。 5 余德浩，汤华中，微分方程数值解法（中国科学院研究生院教材），科学出版社，2003年。 6 姚伟岸，钟万勰，辛弹性力学，高等教育出版社，北京，2002年。,
