1、3.8 函数的最大值 与最小值（二）,2019年4月28日星期W,黄冈中学网校达州分校,利用导数求函数的最值步骤:,设函数 f (x) 在 a，b 上连续，在 ( a，b ) 内 可导，那么求 f (x) 在闭区间 a，b 上的最大值， 最小值的步骤：(1) 求 f (x) 在 ( a，b ) 内的极值；(2) 将 f (x) 的各极值与 f (a)， f (b)比较，其中 最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 .,复 习 回 顾,最大值最小值定理: 在闭区间 a，b 上连续的函数 f (x) 在 a，b 上必有最大值与最小值 .,函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导
2、数不存在的点，区间端点。,黄冈中学网校达州分校,有关函数最大值和最小值的应用题 在日常生活、生产和科研中，常常会遇到求函数的最大值和最小值问题.,黄冈中学网校达州分校,例 1 在边长为 60 cm 的正方形铁皮的四角分别截去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，问箱底边长为多少时, 箱子容积最大， 最大容积是多少？,例 题 解 析,黄冈中学网校达州分校,解法一：设箱底边长为 x cm，则箱高 cm，,得箱子容积,令,解得 x=0（舍去），x=40， 并求得 V(40)=16 000由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值
3、 答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000 cm3,黄冈中学网校达州分校,解法二：设箱高为xcm，则箱底长为(60-2x)cm，则 得箱子容积,（后面同解法一，略）,事实上，可导函数,在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值.,黄冈中学网校达州分校,注： 在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个极值点的情况，如果函数在这一点有极大值或极小值，那么不与端点值比较，根据实际意义也可以知道在这一点处取得的是最大值还是最小值.如果函数在一个开区间内有唯一的极值点，则函数在这个点的函数值肯定是函数的最值
4、.,黄冈中学网校达州分校,例 2 圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高和底半径应怎样选取，才能使所用材料最省？,解：设圆柱的高为h，底半径为R， 则表面积 S=2Rh+2R2,S(R)= 2R + 2R2= +2R2,由V=R2h，得 ，则,黄冈中学网校达州分校,即 h=2R 因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值,答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省,变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使饮料罐的容积最大？,黄冈中学网校达州分校,分析：利润 L 等于收入 R 减去成本 C，而收入 R 等于产量乘价格. 由此可得出利润 L 与产量 q 的函数关系式
5、，而后再利用导数求最大利润.,利润,令,答：产量为84时，利润L最大,黄冈中学网校达州分校,例4、某产品按质量分为10个档次,生产第一档(即最低档次)的利润是每件8元,每提高一个档次,利润每件增加2元,但在相同的时间内产量减少3件.在相同的时间内,最低档的产品可生产60件.问在相同的时间内,生产第几档次的产品的总利润最大?有多少元? 分析： 在一定条件下,“利润最大”“用料最省”“面积最大”“效率最高”“强度最大”等问题,在生产、生活中经常用到,在数学上这类问题往往归结为求函数的最值问题.除了常见的求最值的方法外,还可用求导法求函数的最值.但无论采取何种方法都必须在函数的定义域内进行.,黄冈中
6、学网校达州分校,解法一 ：设相同的时间内,生产第x(xN*,1x10)档次的产品利润y最大. 依题意,得y=8+2(x-1)60-3(x-1) =-6x2+108x+378=-6(x-9)2+864 (1x10), 显然,当x=9时,ymax=864(元),即在相同的时间内,生产第9档次的产品的总利润最大,最大利润为864元,黄冈中学网校达州分校,解法二 ：由上面解法得到y=-6x2+108x+378.求导数,得y=-12x+108.令y=-12x+108=0,解得x=9.因为x=91,10,y只有一个极值点,所以它是最值点,即在相同的时间内,生产第9档次的产品利润最大,最大利润为864元.,
7、黄冈中学网校达州分校,1、函数f(x)=sin2xx在 , 上的最大值为_；最小值为_. 2、将正数a分成两部分，使其立方和为最小，这两部分应分成_和_. 3、使内接椭圆 =1的矩形面积最大，矩形的 长为_，宽为_.,练 习,4、有一边长分别为8与5的长方形，在各角剪去相同的小正方形，把四边折起作成一个无盖小盒，要使纸盒的容积最大，问剪去的小正方形的边长应为多少？,剪去的小正方形的边长应为1，容积V取最大值为18.,黄冈中学网校达州分校,5、当室内的有毒细菌开始增加时,就要使用杀菌剂.刚开始使用的时候,细菌数量还会继续增加,随着时间的增加,它增加幅度逐渐变小,到一定时间,细菌数量开始减少.如果
8、使用杀菌剂t小时后的细菌数量为b(t)=105+104t-103t2.(1)求细菌在t=5与t=10时的瞬时速度;(2)细菌在哪段时间增加,在哪段时间减少?为什么?,解 (1) b(t)=-2 000t+10 000, b(t)|t=5=-2 0005+10 000=0,b(t)|t=10=-2 00010+10 000=-10 000, 即细菌在t=5与t=10时的瞬时速度分别为0和-10 00,黄冈中学网校达州分校,(2) 由-2 000t+10 0000, 得t5, 即细菌在t(0,5)时间段数量增加,在t(5,+)时间段数量减少,黄冈中学网校达州分校,解有关函数最大值、最小值的实际问题，需要分析问题中各个变量之间的关系，找出适当的函数关系式，并确定函数的定义区间；所得结果要符合问题的实际意义根据问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较相当多有关最值的实际问题用导数方法解决较简单.,小 结,
