1、,3.6 欧氏(Euclidean)空间,前面主要介绍了向量的线性运算，向量组的线性相关与 线性无关性，并讨论了向量空间中的基、维数以及向量的坐 标等概念。,但在向量空间中还没有涉及到度量性质，也就是说还没 有考虑向量空间中的向量的大小、向量间的夹角等问题。,本节将以向量的数量积为背景，在向量空间中引入内积 的概念，并赋予相应的度量性质。,一、基本概念,一、基本概念,1. 内积与欧氏空间,在几何空间中两个向量 a, b 的内积 (数量积)定义为：,相应地，内积的计算公式为,是向量 a, b 的夹角。,在建立空间直角坐标系后，有了向量的坐标表示，,下面仿照该计算公式，在空间 引入中的内积概念。,
2、即,定义,(1) 设 n 维实向量,的内积，,记作,一、基本概念,1. 内积与欧氏空间,(2) 称定义了内积的向量空间 R n 为欧几里德(Euclidean),空间，简称欧氏空间 R n .,1. 内积与欧氏空间,(2) 线性性,(1) 对称性,由正定性可以引出向量长度的概念。,性质,(3) 正定性,当且仅当 时，有,一、基本概念,定义,称 为 a 的,对于 n 维实向量,记为 |a | .,长度 (或模)，,1. 内积与欧氏空间,2. 向量的长度(或模),非零向量的单位化或标准化,若 称 a 为单位向量 .,一、基本概念,一、基本概念,1. 内积与欧氏空间,2. 向量的长度(或模),(2)
3、 齐次性,(3) 三角不等式,性质,(4) 柯西-许瓦兹(Cauchy-Schwarz)不等式,即,因此其判别式满足,即,由 Cauchy-Schwarz 不等式可以引出向量夹角的概念。,称为 a 与 b 的夹角。,定义,设 若,此时有,一、基本概念,1. 内积与欧氏空间,2. 向量的长度(或模),3. 向量的夹角,由向量的夹角可以引出向量正交(或垂直)的概念。,则,定义,则称 a 与 b 正交 (或垂直)，,记作,若,一、基本概念,1. 内积与欧氏空间,2. 向量的长度(或模),3. 向量的夹角,4. 向量的正交,若 则有,结论,(3) 对于非零向量 a 和 b ，,a 与 b 的夹角为,(
4、2),一、基本概念,1. 内积与欧氏空间,2. 向量的长度(或模),3. 向量的夹角,4. 向量的正交,有,(2) 由,有,从而可以解出,点击进入,一组两两正交的向量称为正交向量组。,定义,由单位向量组成的正交向量组称为标准正交向量组。,说明,二、正交向量组,则 线性无关。,对其两端与 作内积可得,定理,若 是一组两两正交的非零向量，,这表明 线性无关。,所以,二、正交向量组,定义,(1) 设 是向量空间 的一组基，,则称这组,正交基为向量空间 V 的一组标准正交基 .,三、标准正交基,的一组正交基 ；,则它们是向量空间 的一组标准正交基 .,是 中一组典型的标准正交基。,是 的一组标准正交基
5、；,例如,(1),(2),三、标准正交基,对于 V 中的任一向量 a ，,有,即,将上式两端与 作内积，有,从而有,优点,设 是向量空间 V 的一组标准正交基，,三、标准正交基,设,令,得,则 0 ，且 b 与 正交。,四、施密特(Schmidt)正交化方法,已知向量空间 V 中的一组向量 是线性,使得,问题,(标准)正交化问题：,求一组 (标准) 正交的向量,向量组 与 等价，,无关的，,进行(标准)正交化的一个重要目的是得到(标准)正交基,即,(1) 设 是向量空间 V 中 r 个线性无关的向量，,方法,令,四、施密特(Schmidt)正交化方法,(2) 进一步令,方法,四、施密特(Sch
6、midt)正交化方法,上述由线性无关向量组 导出正交化向量组,的方法称为施密特(Schmidt)正交化方法，,不仅满足 与 等价，,还满足：,其中,说明,单位化，,则 为所求的标准正交向量组。,(2) 将,上述标准正交化方法是先正交化再单位化，,还可以将正交化与单位化同时进行(略)。,即令,附：内积的一般定义及其在函数空间中的推广,1. 内积的一般定义,则称数 为向量 a 和 b 的内积。,(2) 线性性,(1) 对称性,可定义其“内积”为,满足,附：内积的一般定义及其在函数空间中的推广,1. 内积的一般定义,则有如下定义：,2. 推广到函数空间,(1) 称 为 和 的内积；,(2) 称 为 的模；,(3) 若 称 和 正交，记为,附：内积的一般定义及其在函数空间中的推广,1. 内积的一般定义,结论,(3) 柯西-许瓦兹(Cauchy-Schwarz)不等式,2. 推广到函数空间,(1) 三角不等式,即,令 有,返回,另附：利用二重积分证明,证明,返回,
