1、轮换对称性.txt 爱空空情空空，自己流浪在街中；人空空钱空空，单身苦命在打工；事空空业空空，想来想去就发疯；碗空空盆空空，生活所迫不轻松。总之，四大皆空！【摘要】 介绍几种常见对称性在重积分、曲线积分及曲面积分的计算过程中的几个结论。 【关键词】 积分； 轮换对称性； 奇对称； 偶对称在积分的计算过程中，当积分区域具有某种对称性时，如果被积函数具有某种特性，这时可以利用对称性简化积分的计算。这里所讨论的对称性主要包括两个方面：积分区域关于坐标轴（或坐标面）的对称性和积分区域的轮换对称性。设 Dn 为一积分区域，所谓积分区域的轮换对称性是指当任一点 P(x1,x2,xn)Dn 时，有 Pi(x
2、i, xi+1, , xn,x1,x2,xi-1)Dn, i=1,2,n。在一元函数积分学中，我们有下面所熟悉结论：若 f(x)在闭区间-a,a上连续，则有a-af(x)dx= 0, f(-x)=-f(x)2JF(Za0f(x)dxJF),f(-x)=f(x)利用这一性质，可以简化较复杂的定积分的计算。对重积分、曲线积分及曲面积分也有类似的结论。下面我们根据积分范围的不同来介绍对称性在各类积分计算中的几点应用。1 对称性在重积分计算中的应用对称性在计算二重积分Df(x,y)d 方面的应用。结论 1 若 f(x,y)在区域 D 内可积，且区域 D 关于 y 轴（或 x 轴）对称，则有 Df(x,
3、y)d=0, f(x)为关于 x（或 y）的奇函数 Df(x,y)d=2D1f(x,y)d,f(x,y)为关于 x（或 y）的偶函数。其中 D1 为区域 D 被 y 轴（或 x 轴）所分割的两个对称区域之一。结论 2 若 f(x,y)在区域 D 内可积，且区域 D 关于原点成中心对称，则有： Df(x,y)d=0,f(-x,-y)=-f(x,y)，即 f(x,y)关于原点成奇对称； Df(x,y)d=2D1f(x,y)d=2D2f(x,y)d,f(-x,-y)=f(x,y)，即 f(x,y)关于原点成偶对称,其中 D1、D2 关于原点对称，且 D1+D2=0。结论 3 若 f(x,y)在区域
4、D 内可积，且区域 D 关于直线 L 对称，则有： Df(x,y)d=0,f(x,y)关于直线 L 奇对称； Df(x,y)d=2D1f(x,y)d,f(x,y) 关于偶对称。其中 D1 为区域 D 被直线 L 所分割的两个对称区域之一。说明：若对 D 内关于直线 L 对称的任意两点 P、Q，都有 f(P)=-f(Q),(f(P)=f(Q)，则称 f(x,y)关于直线 L 奇（偶）对称。特别地，若区域 D 关于直线 y=x 对称，则当点(x,y)D 时，有(y,x)D，这时积分区域 D 关于 x、y 具有轮换对称性。这时我们有：Df(x,y)d=12Df(x,y)+f(y,x)d若 f(x,y
5、)=-f(y,x)，即 f(x,y)关于直线 y=x 奇对称，则Df(x,y)d=0;若 f(x,y)=f(y,x)，即 f(x,y)关于直线 y=x 偶对称，则Df(x,y)d=2D1f(x,y)d。计算三重积分f(x,y,z)d 时，也有类似的结论。若积分区域 关于面 xoy 面（或 yoz 面或 zox 面）对称，记 1 为区域 被坐标面所分割的两个对称区域之一。则有： f(x,y,z)d=0,f(x,y,z)为关于 z（或 x 或 y）的奇函数； f(x,y,z)d=21f(x,y,z)d,f(x,y,z)为关于 z（或 x 或 y）的偶函数。若积分区域 关于 x,y,z 具有轮换对称
6、性，即当(x,y,z) 时，(y,z,x),(z,x,y)，这时有f(x,y,z)d=f(y,z,x)d=f(z,x,y)d=13f(x,y,z)+f(y,z,x)+f(z,x,y)d2 对称性在曲线积分计算中的应用2.1 对称性在第一类曲线积分计算中的应用结论 1 若积分曲线 L 关于 x 轴（或 y 轴）对称，记 L1 为曲线 L 被坐标轴所分割的两个对称区域之一，则有： Lf(x,y)ds=0,f(x,y)为关于 y（或 x）的奇函数； Lf(x,y)ds=2L1f(x,y)ds,f(x,y)为关于 y（或 x）的偶函数。结论 2 若积分曲线 L 关于直线 y=x 对称，则当点(x,y)
7、L 时，有(y,x)L，即 L 关于x,y 具有轮换对称性，这时有：Lf(x,y)ds=Lf(y,x)ds=12Lf(x,y)+f(y,x)ds若 f(x,y)=-f(y,x)，即 f(x,y)关于直线 y=x 奇对称，则Lf(x,y)ds=0；若 f(x,y)=(y,x)，即 f(x,y)关于直线 y=x 偶对称，则Lf(x,y)ds=2L1f(y,x)ds。其中 L1 为曲线 L 被直线 y=x 所分割的两个对称区域之一。2.2 对称性在第二类曲线积分计算中的应用设有曲线积分 I=L P(x,y)dx，其中 L 为光滑的有向曲线弧，如果 L 关于某条直线（包括坐标轴）对称，这时利用对称性计
8、算上述曲线积分时，不仅要考虑 P(x,y)的大小和符号，还要考虑投影元素 dx 的符号。当积分方向和坐标轴正向之夹角小于 2 时，投影元素为正，否则为负。一般地，我们有：结论 若积分曲线 L 关于某直线对称，记 L1 为曲线 L 被这条直线所分割的两个对称区域之一，则有： Lf(x,y)ds=0,P(x,y)dx 在对称点上取相反的符号； Lf(x,y)ds=2L1f(x,y)ds,P(x,y)dx 在对称点上取相同的符号。对于积分L Q(x,y)dy 也有类似地结论。上述结论都可推广到空间曲线的情形。3 对称性在曲面积分计算中的应用3.1 对称性在第一类曲面积分计算中的应用结论 1 若积分曲
9、面关于某平面（或某点）对称，记1 为曲面被某平面（或某点）所分割的两个对称曲面之一，则有： f(x,y,z)dS=0,在对称点上 f(x,y,z)取相反的符号； f(x,y,z)dS=21f(x,y,z)dS,在对称点上 f(x,y,z)取相同的符号。结论 2 若积分曲面关于 x,y,z 具有轮换对称性，则有：f(x,y,z)dS=f(y,z,x)dS=f(z,x,y)dS=13f(x,y,z)+f(y,z,x)+f(z,x,y)dS3.2 对称性在第二类曲面积分计算中的应用利用对称性计算第二类曲面积分同样需要注意投影元素的符号。现以曲面积分f(x,y,z)dxdy 为例来讨论。当曲面指定侧上
10、动点的法线方向与 z 轴正向成锐角时，面积元素 dS 在 xoy 面上的投影 dxdy 为正；成钝角时为负。一般地，我们有：结论 若积分曲面可分成对称的两部分1、2（=1+2） ，在对称点上|f|的值相等，则有 f(x,y,z)dxdy=0,在对称点上 fdxdy 取相反的符号； f(x,y,z)dxdy=2f(x,y,z)dxdy,在对称点上 fdxdy 的符号相同。对于积分f(x,y,z)dydz, f(x,y,z)dzdx 也有类似的结论。总之，应用对称性计算积分时应注意以下几点： 必须兼顾被积函数和积分区域两个方面，只有当两个方面都具有某种对称性时才能利用。如果只有积分区域具有某种对称性，这时根据具体情况，我们可以把被积函数经过恒等变形使之具有某种对称性，再考虑利用上述结论。 对第二类曲线积分和第二类曲面积分，在利用对称性时，尚需考虑积分路线的方向和曲面的侧，确定投影元素的符号，需慎重。 有些问题利用轮换对称性可得到简便的解答。
