1、第三节 简单的线性规划,1二元一次不等式AxByC0(或AxByC0，则包含此点P的半平面为不等式AxByC0所表示的平面区域，不包含此点P的半平面为不等式AxByC0所表示的平面区域,2线性规划的有关概念 (1)线性约束条件由条件列出的一次不等式(或方程)组 (2)线性目标函数由条件列出的一次函数表达式 (3)线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或者最小值问题 (4)可行解：满足 的解(x，y) (5)可行域： 的集合 (6)最优解：使 取得最大值或最小值的可行解,线性约束条件,所有可行解,目标函数,3利用图解法解决线性规划问题的一般步骤 (1)作出可行解、可行域将约束条件中
2、的每一个不等式所表示的平面区域作出，并求其公共部分 (2)作出目标函数的 (3)确定最优解在可行域内平行移动目标函数等值线，从而确定 (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值,等值线,最优解,1有以下四个命题，其中真命题为 ( ) A原点与点(2,3)在直线2xy30的同侧 B点(2,3)与点(3,2)在直线xy0的同侧 C原点与点(2,1)在直线y3x 0的异侧D原点与点(2,1)在直线y3x 0的同侧 答案：C,2不等式x2y10表示直线x2y10 ( ) A上方的平面区域 B上方的平面区域(含直线本身) C下方的平面区域 D下方的平面区域(含直线本身) 解析：把(0,1)
3、点代入可知应选B. 答案：B,3能表示图1阴影部分的二元一次不等式组是( )图1答案：C,4已知集合A(x，y)|x|y|1，B(x，y)|(yx)(yx)0，MAB，则M的面积为_ 解析：在同一坐标系中作出A、B表示的区域，其公共部分为M，M为图2双重斜线部分(两个小正方形)其面积和为1. 答案：1图2,5已知x，y满足下列条件则 f(x，y)x2y的最大值为_ 解析：图3 画出可行域如图3，再画出x2y0，x2yc，观察得，过直线xy10及x2y10交点时， f(x，y)最大，,二元一次不等式(组)表示平面区域例1 画出不等式组 表示的平面区域，并回答下列问题： (1)指出x，y的取值范围
4、； (2)平面区域内有多少个整点？ 分析 (1)数形结合；(2)整点是指横、纵坐标均为整数的点,图4,(2)由图形及不等式组知当x3时，3y8，有12个整点； 当x2时，2y7，有10个整点； 当x1时，1y6，有8个整点； 当x0时，0y5，有6个整点； 当x1时，1y4，有4个整点； 当x2时，2y3，有2个整点 平面区域内的整点共有2468101242(个),拓展提升 本题主要考查不等式表示的平面区域、数列求和及不等式的应用等基础知识，考查了数形结合的方法和逻辑推理能力 (1)不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分 (2)
5、在封闭区域内找整点数目时，若数目较小时，可画网格逐一数出；若数目较大，则可分xm逐条分段统计,在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域A(x，y)|xy1，且x0，y0，则平面区域B(xy，xy)|(x，y)A的面积为 ( ) A2 B1 C. D.,答案：B,解析 (1)作出可行域(如图5)图5 令z0，则l0：x3y0，平移l0在点M(2,2)处z取到最小，最小值为8.,设x、y满足约束条件 则z3x2y的最大值是_.,答案：5,图7,利用线性规划求参数范围 例3 已知变量x，y满足约束条件1xy4，2xy2，若目标函数zaxy(其中a0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a的取值范围为_,图
6、8 解析 作出可行域，如图8，由图可知只需a1，(3,1)即为最优解故填a1. 答案 a1,拓展提升 将目标函数写成yaxz，因为a为对应直线的斜率，当a1时，才能使目标函数在点(3,1)处取得最大值,已知方程x2(2a)x1ab0的两根为x1，x2，并且0x11x2，则 的取值范围是 ( )A(2， B(2， )C(2， ) D(2， ,答案：C,线性规划的实际应用 例4 某人有楼房一幢，室内面积共计180 m2，拟分割成两类房间作为旅游客房大房间每间面积18 m2，可住游客5名，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积15 m2，可以住游客3名，每名游客每天住宿费为50元；装修大房间每间需
7、要1000元，装修小房间每间需600元如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？ 分析 设大房间和小房间的数目分别为x，y，列出线性约束条件和目标函数，然后求目标函数的最大值,由于点B的坐标不是整数，而最优解(x，y)中x、y必须都是整数，所以，可行域内点B(，)不是最优解可以验证，要求经过可行域内的整点，且使z200x150y取得最大值，经过的整点是(0,12)和(3,8)此时z取得最大值1800元 所以，隔出小房间12间，或大房间3间、小房间8间，可以获得最大收益,拓展提升 求整点最优解的方法称为“局部微调法”，此法的优点是：思路清晰
8、，操作简单，便于掌握用“局部微调法”求整点最优解的关键是“微调”，其步骤可用以下十二字概括：微调整、求交点、取范围、找整解,某公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？,作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如右图10. 作直线l：3000x2000y0，即3x2y0. 平移直线l，从右图中可知
9、，当直线l过M点时，目标函数取得最大值联立 解之，得x100，y200. 点M的坐标为(100,200)， zmax3000x2000y700000(元)图10,答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元,1用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组(方程组)寻求约束条件，并就题目所述找到目标函数 2可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域 如果可行域是一个多边形，那么一般在其顶点处使目标函数取得最大值或最小值，最优解一般就是多边形的某个顶点 特别地，当表示线性目标函数的直线与可行域的某条边平行时(kki)，其最优解可能有无数个,3若实际问题要求的最优解是整数解，而利用图解法得到的解为非整数解(近似解)，应作适当的调整，其方法应以与线性目标函数的直线的距离为依据，在直线的附近寻求与此直线距离最近的整点，不要在用图解法所得到的近似解附近寻找 如果可行域中的整点数目很少，采用逐个试法也可,
