正弦余弦函数之叠合.doc-道客多多

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1、36136 正弦餘弦函數之疊合(甲 )正餘弦的疊合我們考慮正餘弦函數圖形，如圖中虛線的圖，圖形像波動的形狀，有高有低，起伏很規則。高的地方就是波峰，低的地方就是波谷。如果兩個波動同時進行，疊合在一起後，會變成什麼樣子呢？從上圖可以看出， y=sinx+cosx 的圖形基本上與 y=sinx(或 y=cosx)的圖形類似，只是振幅與位置有些改變或移

2、動。進一步觀察，當 sinx=cosx 時，此時y=sinx+cosx 的圖形出現波峰與波谷，且 y=sinx+cosx 的圖形向右移動若干單位。我們猜測 y=sinx+cosx 可表為 y=rsin(x+)，要如何決定 r 與呢？y=rsin(x+)=r(sinxcos+cosxsin)=sinx+cosx rcos=1 且 rsin =1r2=2 r= 2cos= 且 sin = 可取 =12 12 4y=sinx+cosx= sin(x+ )24(1)疊合的方法：考慮 y=f(x)=as

3、inx+bcosx， a,b 為實數，根據前面例子的推測，我們也按照前面例子的做法，將 y=f(x)=asinx+bcosx 化成 y=f(x)=rsin(x+)y=rsin(x+)=r(sinxcos+cosxsin)=asinx+bcosx (*)2+(*)2 r2=a2+b2 r=cob a2+b2cos= 且 sin= 。aa2+b2 ba2+b28642-2-4-6-8-10 -5 5 10hx = sinx+cosxgx = cosx fx = sinx362的找法如下：在以原點為圓心之單位圓上

4、，根據 cos= 且 sin= ，先判別出aa2+b2 ba2+b2終邊的位置，在找出的值。我們將這些結果寫成一個定理：若設 a,b 為實數，且 a2+b20，則函數 y=asinx+bcosx 可以表為 y= sin(x+)，a2+b2其中為滿足 sin= ， cos= 的角。ba2+b2 aa2+b2證明：因為 y=asinx+bcosx= ( sinx+ cosx)，a2+b2aa2+b2 ba2+b2而且 ( )2+( )2=1，點 P( ， )在單位圓上，因此可找

5、aa2+b2 ba2+b2 aa2+b2 ba2+b2到一個角度，使得 sin= ， cos= ，ba2+b2 aa2+b2所以 y= (cossinx+sincosx)= sin(x+)。a2+b2 a2+b2討論：如果選擇點 Q( ， )，則點 Q 亦在單位圓上，因此可找到一個角ba2+b2 aa2+b2度，滿足 cos= ， sin= ，ba2+b2 aa2+b2於是 y=asinx+bcosx= ( sinsinx+ coscosx)= cos(x)。a2+b2 a2+b2例如：將 y=f(x)= sinx+cos

6、x 疊合成正弦與餘弦函數3(1)將 y=f(x)= sinx+cosx 疊合成正弦函數先求兩係數的平方和3的正平方根 = =2，再將原式提出 2(r(3)2+12y=f(x)= sinx+cosx =2( sinx+ cosx) =2(sinxcos+cosxsin) =2sin(x+)332 12cos= 且 sin= 為第一象限角取 =32 12 6 y=f(x)= sinx+cosx=2sin(x+ )36(2) 將 y=f(x)= sinx+cosx 疊合成餘弦函數先求兩係數的平

7、方和的3正平方根 = =2，再將原式提出 2(r(3)2+12y=f(x)= sinx+cosx =2( sinx+ cosx) =2(sinxsin +cosxcos ) =2cos(x)332 12sin= 且 cos= 為第一象限角取 =32 12 3363 y=f(x)= sinx+cosx=2cos(x )33(2)圖解正餘弦函數的疊合：DF+DE=asinx+bcosxCG=ACsin(x+)，其中 AC= ，而 tan =a2+b2ba因為 DF+DE=CG所以 asinx+bcosx= sin(x+)a2+b2結

8、論：(1)可將正餘弦函數的線性組合 asinx+bcosx 化成正弦函數，也可化成餘弦函數。(2) y=asinx+bcosxa2+b2 a2+b2(3) f(x)=asinx+bcosx 的週期為 2 。(4)y= asinx+bcosx= sin(x+)的圖形是先將正弦函數 y=sinx 的圖形向左a2+b2(0 時 )，或向右 (0 時 )平移 |單位後，再上下伸縮倍而得到的圖形。a2+b2(5)函數 y=asinx+bcosx= sin(x+)的週期為

9、2，振幅為，a2+b2 a2+b2最大值為，最小值為。a2+b2 a2+b2例題 1 設且，若，7036Aicosin04AAm則 m = 。(93 學科能力測驗 ) Ans：306例題 2 設 y= cosxsinx+1，在下列範圍內，求 y 的最大值與最小值。3(1)x R (2) x Ans：(1)3,1 (2) 2,16 56A B D C E F G x a b 364例題 3 設 y=3sinx+4cosx+10，0x ，則當 x=？時，y 有最大值 M=？2Ans：x= sin1 ，時 M=152 45例題 4 設 0x，求 y=32cos( )+

10、2sinx 的最大值，最小值。6xAns：5，3 (利用和角公式先化簡 cos( )36x(練習 1) 求 csc10 sec10之值。 Ans： 43(練習 2) 設 sinx cosx acos(x )，其中 a 0，而 0 2，則 a ，而。 Ans： a 2； 65D(45,3) C(35,4) O B(1,0) x y365(練習 3) (1)y= sinxcosx 最大值為 _，最小值為 _。3(2)y= sinxcosx+1 最大值為 _，最小值為 _。3(3)y=5sinx12cosx 最大值為 _，最小值為 _。(

11、4) y=40sinx+9cosx 最大值為 _，最小值為 _。(練習 4) 試求下列各函數的極大值與極小值(1)f(x)= sinx+cosx+53(2)g(x)=2sin(x )+2cosx+56(3)設 xy= ，求 h(x)=2cosx+2siny+5 的極大值與極小值。6Ans： (1)極大值 =7，極小值 =3 (2)同 1(3)同 1(練習 5) 設 y=sin( )+cos2x62x(1)若 y=asin(2x+b)，其中 a0， 0b2，求實數 a,b 之值。(2)若 0x ，求 y 之

12、最大值與最小值。2Ans： (1)a= ， b= (2) ， 323 32 3(乙 )三角函數的極值例題 5 在下列條件下，求 y=2sin2x3cosx+1 之最大值及最小值。(1)0x2， Ans：M= ，m= 2 (2)0 x ，Ans：M=1，m=2338 3例題 6 (2 倍角 +疊合求極值)設 0x，若 f(x)=3sin2x+4 sinxcosxcos2x，則3(1)當 x= 時，f (x)有最大值= 。(2)當 x= 時，f (x)有最小值= 。答案：(1) ，5 (2) ，33 56解法：將 f(x)=3sin2x+4 sinxcosxcos2

13、x3366=3 +4 1cos2x2 3sin2x2 1+cos2x2=2 sin2x2cos2x+13=4( sin2x cos2x)+132 12=4sin(2x )+16因為 0x，所以 2x 1sin(2x )16 6116 6當 2x = x= ，f(x)有最大值 5。62 3當 2x = x= ，f( x)有最小值3。632 56作法：正餘弦偶次式，求極值f(x)=a sin2x + b sinx cosx + c cos2x + d (1)判定角方相同 ( 角方依次為： x2,xx,x2，均視為 2 次方 )(2)利用降次

14、公式化同角，sin2x=_， sinx cosx=_， cos2x=_(3)產生疊合標準型將正弦 +餘弦化為單一函數f(x) = a sin2x + b sinx cosx + c cos2x + d= a_+b_+c_+d= sin2x + cos2x + (a+c+2d)b2 c-a2 12化 f(x)=A sin2x + B cos2x + C 型後，求最大最小值。例題 7 設 f()=sin cos +sin +cos +1(1)為任意實數時， f()之最大值為，最小值為。(2) 時， f()之最大值為，最小值為。4

15、 2提示：令 t=sin +cos Ans：(1) + ，0 (2) + ，232 2 32 2解答：先令 t=sin +cos 則 t2=sin2+cos2+2sincossin cos= 且 t=sin+cos= sin(+ )t2-12 2 4(1)原式 f()=sin cos +sin +cos +1= +t+1= t2+t+ = (t+1)2t2-12 12 12 12又R t 2 2367NMBO APf( )之最大值為 ( +1)2，最小值為 0。12 2(2) 時 + sin(+ )14 2 2 434 41 sin(+ ) 1t24 2 2f( )之最大值為 ( +1)2，

16、最小值為 2。12 2例題 8 某公園內有一半徑 50 公尺的圓形池塘，池塘內有美麗的荷花池與錦鯉。為了方便遊客觀賞，並使整體景觀更為雅緻，打算在池塘上建造一座“T”字型木橋( 如右圖 )。試問這座木橋總長 + 最長有多長？此時與兩段ABCD AB CD木橋的長度各為多少？Ans：總長 50+50 公尺，此時 =40 , =50+105 AB 5CD 5例題 9 如圖，扇形 OAB 的中心角 AOB=90，半徑 = =1，P 為弧 AB 上的動OAOB點，，，令 AOP=， + =S，PMOA MNOP MNON(1)請以表示 S。(2)求 S 之最大值。 Ans：(1)cos 2+s

17、in cos (2) 2+12A BCOD368(練習 6) y=cos2x 3cosx 3 之最大值為 _，最小值為 _。 Ans： 7,1(練習 7) 設 0x ，則 f (x) sin2x sinxcosx 2cos2x 最大值為，最2小值為。 Ans：； 13(練習 8) 設 0x2， f(x)=1+sinx+cosxsinx cosx ，則下列何者為真？(A)f(x)最大值為 2 (B)f(x)最小值為 1 (C)x=0, ,2時 f(x)有最大值22(D)x=225時， f(x)之值為最小值 (

18、E)f(x)之最大值與最小值之和為 522Ans： (A)(C)(D)(E)綜合練習(1) 求的值。1cos15(2) 關於函數 y=f(x)= (sinx+cosx)的圖形，12下列敘述那些是正確的?(A)y=f(x)的週期為。(B) y=f(x )的振幅為。2(C)y=f(x)的圖形與 y 軸的交點為(0, )。12(D)y=f(x)的圖形與 x 軸有無限多個交點。(E)y=f(x)的圖形對稱於原點。 (3) 關於函數 ysinx cosx 之圖形(A)週期為 2 (B)週期為 (C) y 之最大值為 2 (D) y 之最大值為 (E)對稱於原點。2(4)

20、 (b)0x2(8) 設 x ，y cos 2x4sinx3，6 76則(a)當 x_時，y 有最小值為_。(b)當 x_時，y 有最大值為_。(9) 設 x ，解 cosxsinx=1。 2 2 3(10) 如右圖，正方形 A 與 B 的面積和為 1，(a)設正方形 A 與 B 的邊長分別為 sin、cos，請利用 sin與 cos來表示MNL 的面積。(b)請求出 MNL 的面積的最大值。(11) 設 x+y= ，求 sinx+2siny 的最大值為何？ 23(12) 求 y=3sin2x+4 sinxcosxcos2x 其中 x ，求 y 的最大值與最小值，並312 34說明此時 x 值

21、為何？。(13) 如右圖，以為直徑做一圓，且 =2，P 點在半圓上，設 PAB=，AB AB(a)試以表示 3 +4 (b)試求 3 +4 的最大值。AP BP AP BP進階問題(14) 求 y= 的極值。 1+sinx3+cosx(15) 半徑為 r 的圓內接矩形，令其對角線夾角為；(a)試以 r，表其周長。 (b)試求周長的最大值。A B P M N L A B 3610(16) 已知扇形 OAB 的圓心角為，半徑為 1，P 為 AB 弧上3的動點，於 C 點，於 D 點，試求PC OA PDOB四邊形 PCOD 的最大面積。綜合練習解答(1)4 2(2)(C

22、)(D)(3)(A)(D)(4)(3)(4)(5)=0，M=1；= ，m=223(6)(a)最大值為，最小值 (b)最大值為 2 ，最小值 22 2 2 2(7)(a)M=13,m= 13(b)M=12, m= 5(8)(a) ,7 (b) ,2 7614(9)x= 6(10)(a) cos(sincos) (b) 12 214解法：(a) MNL= = cos(sincos)12MNML12(b) cos(sincos) = (cos sin cos2) = sin2 12 12 1212 1+cos22= sin2 cos2 = sin(2 ) MNL 的面積的最大值為1212 12 1

23、2 12 22 4 12 214(11) 提示：y= x，sinx+2siny=sinx+2sin( x)=2sinx+ cosx723 23 3(12)x= ，最大值 5 與 x= 最小值 123 34 3(13)(a)6cos +8sin (b)10(14)0y 提示：令 y= sinxycosx=3y1 sin(x+)=3y1sin(x+)34 1+sinx3+cosx y2+1O APBCD3611= | |1 0y 。3y1y2+1 3y1y2+1 34(15)(a)4r( )，(b)4sinco2r(16) 提示：連，並設POB= ，0 ，則四邊形 PCOD 的面積= sin cos 34 OP 3 12+ sin( )cos( )= sin2+sin( 2)= ( sin2+ cos2)= sin(2+ )12 3 3 14 23 1432 32 34 6

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