1、2.4二次函数的应用(3),浙教版九年级上册第二章二次函数,1.利用函数解决实际问题的基本 思想方法?解题步骤?,实际问题,数学问题,问题的解,创设情景,引入新课,2.“二次函数应用“的思路怎样?,(1)理解问题,(2)分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系,(3)用数学的方式表示出它们之间的关系,(4)用数学知识求解,(5)检验结果的合理性,拓展等,创设情景,引入新课,合作交流,探究新知,(1) 直线等加速运动我们知道，在匀速直线运动中，物体运动 的距离等于速度与时间的乘积，用字母表示为 ，而在直线等加速运动（即通常所说 的加速度）中，速度的数值是时刻在改变的， 我们仍用表示距离（米），
2、用 表示初始 速度（米秒），用表示时间（秒），用 表示每秒增加的速度（米秒）。那么直线等 加速运动位移的公式是：就是说，当速度和每秒增加的速度一定 时，距离是时间的函数，但不再是正比例函数 ，而是二次函数。,我们来看一个例子： 米秒，米秒， 下面我们列表看一下和的关系。 （秒） （米） 1.5 4 7.5 12 17.5 24 注意，这里的时间必须从开始等加速时开始计时， 停止等加速时停止计时。t的取值范围，很明显是t0， 而S的取值范围，同样是S0。下面我们来看看它的图 象：,(2) 自由落体位移 我们知道，自由落体位移是直线等加速运动的 特殊情况，它的初始速度为，而每秒增加的 速度为9.8
3、米秒，我们用表示，但这个不 是.8牛顿千克。自由落体位移的公式为：,我们再来看看这个函数的表格： （秒） （米） .9 19.6 44.1 78.4 122.5 176.4 图象我们就不画了，它只是直线等加速运动的特殊情 况，图象大同小异。,(3) 动能 现在我们来看另一方面的问题。我们知道，物体在 运动中具有的能量叫做动能，动能与物体的质量和 速度有关。比如说，有个人走过来不小心撞上你， 或许没什么，但如果他是跑步时撞上你，说不定会 倒退几步，而假如你站在百米终点线上，想不被撞 倒都不容易。这是因为对方具有的动能随速度的增 大而增大. 我们用表示物体具有的动能（焦耳） ，表示物体的质量（千克
4、），用表示物体的速 度（米秒），那么计算物体动能的公式就是：,来看一个表格（千克）： （米/秒） （焦耳） .5 2 4.5 8 12.5 18 的取值范围显然是，的取值范围也是， 所以它的图象和前两个没什么区别。,通过上面几个问题的研究，我们认为二次函数在物理方面的实际应用中的特点，在于物理学上对取值范围的要求大部分都是要求该数值大于等于，所以图象大部分是二次函数图象的一半，除原点外，图象都在第一象限。还有，物理学上用到的公式，一般很少有常数项。现在我们反过来研究：物体运动某一路程或物体自由下落到某一高度所需的时间？,例1:一个球从地面上竖直向上弹起时 的速度为10m/s,经过t(s)时求的
5、高度 为h(m)。已知物体竖直上抛运动中，(v0表示物体运动上弹 开始时的速度，g表示重力系数，取 g10m/s2)。问球从弹起至回到地面 需多少时间？经多少时间球的高度达 到3.75m?,例1:一个球从地面上竖直向上弹起时的速度为10m/s，经过t(s)时求的高度为h(m)。已知物体竖直上抛运动中， (v0表示物体运动上弹开始时的速度，g表示重力系数，取g10m/s2)。问球从弹起至回到地面需多少时间？经多少时间球的高度达到3.75m?,分析：,根据已知条件,我们易写出h关于t的二次函数解析式,并画出函数的大致图象。,从图象可以看到图象与x轴交点横坐标0和2,分别就 是球从地面弹起后回到地面
6、的时间，此时h0,所以 也是一元二次方程,的两个根。,这两个时间差即为所求。,同样，我们只要取h3.75m，得一元二次方程,，求出它的根，就得到球达到,3.75m高度时所经过的时间。,t(s),h(m),0,1,2,5,3.75,例1:一个球从地面上竖直向上弹起时的速度为10m/s，经过t(s)时求的高度为h(m)。已知物体竖直上抛运动中， (v0表示物体运动上弹开始时的速度，g表示重力系数，取g10m/s2)。问球从弹起至回到地面需多少时间？经多少时间球的高度达到3.75m?,解:由题意,得h(m)关于t(s)的二次函数的解析式为,取h=0,得一元二次方程,解这个方程,得,所以球从地面弹起至
7、回到地面所需的时间为,取h=3.75,得一元二次方程,解这个方程,得,答:球从弹起至回到地面需2s,经过0.5s或1.5s球的高度 达到3.75m,t1=0,t2=2,t2-t1=2(s),t1=0.5,t2=1.5,结论从上例我们看到，可以利用解一元二次方程求 二次函数的图象与横轴(或平行于横轴的直线)的交点 坐标。反过来，也可以利用二次函数的图象求一元二 次方程的解。,例2 利用二次函数的图象求方程x+x0 的近似解,的近似解为 ,解:设 ,则方程,的解就是该函数图象与x轴交点的横坐标,在直角坐标系中画出函数 的图象，,得到与x轴的交点为，则点，的横坐标 x1,x2就是方程的解,观察图得到
8、点的横坐标 ，,点的横坐标 ,所以方程,0,1,2,x,y,1,2,-2,-1,-1,-2,-3,A,B,0,1,2,x,y,1,2,-2,-1,-1,-2,-3,A,B,想一想：将x1=0.6和x2=-1.6代入x+x， 其值分别是多少？,结论 我们知道， 二次函数y=ax+bx+c (a0)的图象与 x轴的交点的横坐标x1，x2就是一元 二次方程ax+bx+c0(a0)的两个根。 因此 我们可以通过解方程ax+bx+c0来求 抛物线yax+bx+c与x轴交点的坐标； 反过来， 也可以由yax+bx+c的图象来求一元 二次方程ax+bx+c0的解。,练一练,一球从地面抛出的运动路线呈抛物线,
9、如图,当球离抛出 地的水平距离为30米时,达到最大高度10米.,(1)求球运动路线的函数解析式和自变量的 取值范围,(2)求球被抛出多远,(3)当球的高度为5米时,球离抛出地的水平距离是多少,0,30,x(m),y(m),10,由题意得h=30,k=10,把(0,0)代入前式,得0=900a+10,练一练,用求根公式求出方程x+x=0的近似解, 并由此检验例2中所给图象解法的精确度.,解:,课堂小结,1.理顺利用函数解决实际问题的基本 思想和基本思路.,2.二次函数的图象与X横轴的交点的横坐标 即为一元二次方程的解,反过来也对.,1某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成 一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O 的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）。在跳某个 规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水 面10米，入水处距池边的距离为4米，同时，运动员在距 水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整 好入水姿势，否则就会出现失误。 （1）求这条抛物线的解析式； （2）在某次试跳中，测得运动员 在空中的运动路线是（1）中的抛 物线，且运动员在空中调整好人水 姿势时，距池边的水平距离为3米， 问此次跳水会不会失误？并通过计 算,
