1、2.3等差数列的前n项和(2),等差数列的前n项和公式:,形式1:,形式2:,一、复习回顾,例1. 已知数列an的前n项和为 ，求该 数列的通项公式，这个数列是等差数列吗？如果是， 它的首项和公差分别是什么？,二、探求前n项的和Sn与通项公式an的关系,解：Sn=a1+a2+an，Sn-1=a1+a2+an-1(n1),当n=1时，, a1也满足式,当n1时，,所以数列an的通项公式为:,由此可知，数列an是一个首项为1.5，公差为2的 等差数列,若已知数列an前n项和为Sn，则该数列的 通项公式为,练习： （1）若Sn=n2-1，求an；（2）若Sn=2n2-3n，求an.,注意：(1)这种
2、做法适用于所有数列；(2)用这种方法求通项需检验a1是否满足an. 若是，则an = Sn- Sn-1,结论1,1、,2、,1.将等差数列前n项和公式看作是一个关于n的函数，这个函数有什么特点？,当d0时,Sn是常数项为零的二次函数,则 Sn=An2+Bn,令,三、等差数列前n项和性质1：,2.等差数列前n项和公式的函数特征：,等差数列前n项和性质1：,等差数列前项和的最值问题：,（过原点）,4.等差数列的前n项的最值问题,例2.已知等差数列an中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.,解法1,由S3=S11得, d=2,当n=7时,Sn取最大值49.,等差数列的前n项的最值
3、问题,例2.已知等差数列an中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.,解法2,由S3=S11得,d=20,当n=7时,Sn取最大值49.,则Sn的图象如图所示,又S3=S11,所以图象的对称轴为,4.等差数列的前n项的最值问题,例2.已知等差数列an中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.,解法3,由S3=S11得,d=2,当n=7时,Sn取最大值49., an=13+(n-1) (-2)=2n+15,由,得,a7+a8=0,4.等差数列的前n项的最值问题,例2.已知等差数列an中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.,解法4,由S3=S1
4、1得,当n=7时,Sn取最大值49.,a4+a5+a6+a11=0,而 a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8,又d=20,a70,a80,5.求等差数列前n项的最大(小)的方法,方法1:由 利用二次函数的对称轴求得最值及取得最值时的n的值.,方法2:利用an的符号： 当a10,d0时,数列前面有若干项为负,此时所有负项的和为Sn的最小值,其n的值由an 0且an+1 0求得.,练习:已知数列an的通项为an=26-2n,要使此数列的前n项和最大,则n的值为( ) A.12 B.13 C.12或13 D.14,C,四、等差数列an前n项和的性质,性质1:Sn,S2nSn,S3nS2
5、n, 也在等差数列,公差为,在等差数列an中,其前n项的和为Sn,则有,性质2:若Sm=p,Sp=m(mp),则Sm+p=,性质3:若Sm=Sp (mp),则 Sp+m=,性质4:(1)若项数为偶数2n,则S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1) (an,an+1为 中间两项),此时有:S偶S奇= ,n2d,0,nd, (m+p),性质4:(1)若项数为奇数2n1,则S2n-1=(2n 1)an (an为中间项),此时有:S偶S奇= ,两等差数列前n项和与通项的关系,性质6:若数列an与bn都是等差数列,且前n项的和分别为Sn和Tn,则,性质5: 为等差数列.,an,例3.设等差数列的
6、前n项和为Sn,已知a3=12,S120,S130. (1)求公差d的取值范围; (2)指出数列Sn中数值最大的项,并说明理由.,解:(1)由已知得,等差数列an前n项和的性质应用,(2) ,Sn图象的对称轴为,由(1)知,由上得,即,由于n为正整数,所以当n=6时Sn有最大值.,Sn有最大值.,练习：已知在等差数列an中,a10=23, a25=-22 ,Sn为其前n项和.,（1）问该数列从第几项开始为负？ （2）求S10 （3）求使 Sn0的最小的正整数n. (4) 求|a1|+|a2|+|a3|+|a20|的值,课堂小结,1.根据等差数列前n项和，求通项公式.,2、结合二次函数图象和性质求 的最值.,
