1、立体几何复习,高三数学第一轮复习,考纲要求：,20072009年高考文科数学立体几何考点分布表,考纲要求：,20072009年高考理科数学立体几何考点分布表,平行问题,垂直问题,角度问题,距离问题,柱锥问题,体积面积问题,多面体与球的问题,生活问题和翻折问题,综合问题,空间几何体的结构特征,定义：由若干个平面多边形围成的几何体称为多面体。,定义：由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体称为旋转体。,上面提到的物体的几何结构特征大致有以下几类：,棱柱,棱锥,圆柱,圆锥,棱台,圆台,球,多面体,旋转体,棱柱,有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个面的公共边都平行，
2、由这些面所围成的几何体叫棱柱。,（1）底面是全等的多边形,1、棱柱的结构特征,（2）侧面都是平行四边形,（3）侧棱平行且相等,特点：,思考：倾斜后的几何体还是棱柱吗？,斜棱柱,复习：知识网络,棱柱(分类),斜棱柱,直棱柱,正棱柱,棱柱的分类,棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形我们把这样的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱,1. 侧棱不垂直于底的棱柱叫做斜棱柱。,2.侧棱垂直于底的棱柱叫做直棱柱。,3. 底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。,棱柱的表示法(下图),用平行的两底面多边形的字母表示棱柱,如： 五棱柱ABCDE- A1B1C1D1E1 。,四棱柱,四棱柱,直四棱柱 侧棱垂直底面,平行
3、六面体 底面是平行四边形,长方体,正四棱柱,正方体,侧面垂直底面,一、棱柱,(1)有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的几何体叫棱柱,1.概念,(2)侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱，侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱,(2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；,2.性质,(3)过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形.,(1)侧棱都相等，侧面是平行四边形；,3.长方体及其相关概念、性质,(1)概念：底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体. 侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体. 底面是矩形的直平行六面体叫长方体
4、. 棱长都相等的长方体叫正方体.,(2)性质：设长方体的长、宽、高分别为a、b、c， 对角线长为l ，则l2=a2+b2+c2,有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形所围成的几何体叫棱锥,2、棱锥的结构特征,棱锥,（1）底面是多边形,（2）侧面都是三角形,（3）侧棱相交于一点,棱锥的分类,三棱锥,四棱锥,五棱锥,（四面体）,正棱锥,如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥是正棱锥.,正棱锥的基本性质,各侧棱相等，各侧面 是全等的等腰三角形，各等腰 三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）。,棱锥的表示方法：用表示顶点和底面的字母表示，如五棱锥S
5、-ABCDE。,棱锥,棱锥,正四棱锥,正三棱锥,正四面体,体积VSh/3,顶点在底面正多边形的射影是底面的中心,3、棱台的结构特征,用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分是棱台.,棱台,（1）底面是相似的多边形,（2）侧面都是梯形,（3）侧棱延长线交于一点,由三棱锥、四棱锥、五棱锥截得的棱台，分别叫做三棱台，四棱台，五棱台,棱台的表示法： 棱台用表示上、下底面各顶点的字母来表示，如下图，棱台ABCD-1B1C1D1 。,斜高,用正棱锥截得的棱台叫作正棱台。,正棱台,正棱台的侧面是全等的等腰梯形， 它的高叫作正棱台的斜高。,正棱锥,正四棱台,4、圆柱的结构特征,如何描述下图的几
6、何结构特征？,以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱,圆柱,圆柱的结构特征,旋转轴,底面,侧面,母线,（1）底面是平行且半径相等的圆,（2）侧面展开图是矩形,（3）母线平行且相等,（4）平行于底面的截面是与底面平行且半径相等的圆,（5）轴截面是矩形,以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥,5、圆锥的结构特征,圆锥,（1）底面是圆,（2）侧面展开图是以母线长为半径的扇形,（3）母线相交于顶点,（4）平行于底面的截面是与底面平行且半径不相等的圆,（5）轴截面是等腰三角形,A,B,用表示它的轴的字母表示，如圆锥SO。,
7、6、圆台的结构特征,用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分是圆台.,圆台,圆柱、圆锥可以看作是由矩形或三角形绕其一边旋转而成，圆台是否也可看成是某图形绕轴旋转而成？,锥体,柱体,台体,柱、锥、台体的关系,棱柱、棱锥、棱台之间有什么关系？圆柱、圆锥、圆台之间呢？柱、锥、台体之间有什么关系？,7、球的结构特征,球,以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转所形成的曲面叫作球面，球面所围成的几何体叫作球体，简称球。,球心,半径,直径,O,想一想：用一个平面去截一个球,截面是什么?,O,用一个截面去截一个球，截面是圆面。,球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆。 球面被不过球心的截面截
8、得的圆叫球的小圆。,球、圆柱、圆锥、圆台过轴的截面分别是什么图形？,几何体的分类,柱体,锥体,台体,球,多面体,旋转体,日常生活中我们常用到的日用品，比如：消毒液、暖瓶、洗洁精等的主要几何结构特征是什么？,8、简单组合体,由柱、锥、台、球组成了一些简单的组合体认识它们的结构特征要注意整体与部分的关系,圆柱,圆台,圆柱,空间几何体的直观图,例3已知几何体的三视图,正视图,侧视图,俯视图,例用斜二测画法画水平放置的六边形的直观图,1.用斜二测画法画水平放置平面图形的直观图,(1)在六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为X轴，对称轴MN所在直线为Y轴，两轴交于点O画对应的 轴，两轴相交于点 ，使,
9、注意：(1)建系时要尽量考虑图形的对称性(2)画水平放置平面图形的关键是确定多边形顶点的位置,注意：水平放置的线段长不变，铅垂放置的线段长变为原 来的一半,请您总结斜二测画法画水平放置的平面图形的方法步骤,斜二测画法的步骤,(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于O点.画直观图时，把它画成对应的x轴、y轴，两轴交于O，使，它们确定的平面表示水平平面,(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x轴或y轴的线段,(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不 变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半,例2用斜二测画法画长,宽,高分别是4cm,3cm,2cm
10、的长方体的直观图,2.用斜二测画法画空间几何体的直观图,联想水平放置的平面图形的画法，并注意到高的处理,4,1.5,棱锥基本性质,如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高与已知棱锥的高的平方比,1、侧面与底面所成的角都相等的棱锥是正棱锥,2、棱锥的高可以等于它的一条侧棱长,3、棱锥的高一定在棱锥的内部,4、侧面均为全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥,判断正误,1.一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面( )(A)至多只有一个是直角三角形(B)至多只有两个是直角三角形(C)可能都是直角三角形(D)必然都是非直角三角形,C,基础题例题,2.
11、命题： 底面是正多边形的棱锥，一定是正棱锥； 所有的侧棱的长都相等的棱锥，一定是正棱锥； 各侧面和底面所成的二面角都相等的棱锥，一定是正棱锥； 底面多边形内接于一个圆的棱锥，它的侧棱长都相等； 一个棱锥可以有两条侧棱和底面垂直； 一个棱锥可以有两个侧面和底面垂直. 其中正确的有 ( ) (A)0个 (B)1个 (C)3个 (D)5个,C,基础题例题,设棱锥的底面积是8cm2,则这个棱锥的中截面（过棱锥的高的中点且平行于底面的截面）的面积是多少？,S中=2,过棱锥的高的三等分点作两个平行于底面的截面,它将棱锥的侧面分为三部分面积之比(自上而下)为 。,过棱锥的高作两个平行于底面的截面，它将棱锥的
12、侧面分为三部分面积相等则它分棱锥的高的比是(自上而下） 。,正三棱锥的底面边长为a.侧棱长为b,求它的高和侧面积？,P,A,B,C,O,正三棱锥的底面边长为1.侧面与底面所成的角为60,求它的高和相邻两侧面所成的二面角的大小？,P,A,B,C,O,正四棱锥的底面边长为1.侧面与底面所成的角为60,求它的高和相邻两侧面所成的二面角的大小？,P,A,B,D,C,O,正三棱锥的底面边长为a .侧棱与底面所成的角为60,过底面一边做一截面使其与底面成30的二面角，求此截面面积？,P,A,B,C,O,已知:三棱锥P-ABC的底面是等腰三角形,AB=AC=10,BC=12,棱锥的侧面与底面所成的二面角都是
13、45,求棱锥的侧面积?,连接棱长都是a的正三棱锥的侧面中心成一个三角形，求此三角形的面积？,P,A,B,C,在正四棱锥内有一个内接正方体，这正方体的四个顶点在四棱锥的侧棱上，另四个顶点在棱锥底面上，若棱锥底面边长为a,高为h，求内接正方体的棱长？,A,B,D,C,O,P,H,设内接正方体的棱长为x,在正三棱锥P-ABC的底面边长和高都是4，其内接正三棱柱的三个侧面都是正方形，求内接正三棱柱的全面积？,能力思维方法,4. 在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中， 侧棱PA底面ABCD，ABC=90，PA=AB=BC=2，AD=1, (1)求D到平面PBC的距离；(2)求面PAB与面PCD所成的二
14、面角的大小。,解: (1)AD/平面PBC,D到平面PBC的距离等于A到平面PBC的距离,PABC, ABBC,BC平面PAB,平面PBC平面PAB,A到PB的距离就是A到平面PBC的距离,PA=AB=2, PAAB,A到PB的距离为,D到平面PBC的距离为,能力思维方法,4. 在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中， 侧棱PA底面ABCD，ABC=90，PA=AB=BC=2，AD=1, (1)求D到平面PBC的距离；(2)求面PAB与面PCD所成的二面角的大小。,Q,(2)延长CD与BA相交于Q,ADBC,且 AD= BC,A是QB的中点,又PA=AB=AQ,BQPQ,又BC平面PAB,CP
15、PQ,故CPB是所求二面角的 平面角,故面PCD与面PCD所成的二面角为,例题讲解,1、四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形，PB面ABCD. (1)若面PAD与面ABCD的二面角为600，求四棱锥的体积；,作、,证、,求？, PB面ABCD，BAAD， PAAD PAB就是面PAD与面ABCD的二面角的平面角,解：,即PAB600,V= a3,例题讲解,1、四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形，PB面ABCD. (2)证明不论高PB怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于900.,M,证：由题设侧面PAD与PCD为全等，,作CMPD于M，连结MA，则CDMADM，,AMCM
16、，AMD900,故AMC就是所证二面角的平面角.,连结AC,在AMC中，由余弦定理 cosAMC =,故AMC900，即证.,小结：作二面角平面角的方法有面的垂线，则一作一连法定义法，在两面内作棱的垂线面积射影定理,变化一,四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的菱形，BCD600，PB面ABCD.若面PAD与面ABCD的二面角为600，求四棱锥的体积；,E,四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的菱形，BCD600，面PBC面ABCD，且PBC是等边. 求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角；,变化二,E,注意：面面垂直的应用分析平面图形,例题讲解,2、如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面AB
17、C是等腰Rt， C=900 ，D、E分别是CC1和A1B的中点，AC=AA1=2(1)求线段DE的长,例题讲解,2、如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等腰Rt， C=900 ，D、E分别是CC1和A1B的中点，AC=AA1=2 (2)求二面角A-BD-C的大小(反三角表示),解： ABC-A1B1C1是直棱柱，ACBC，,AC侧面BB1C1C，,作CMBD于M，连结AM，,则AMC就是所求二面角的平面角；,在ACM中，AC2,tanAMC=AC/CM=,即所求为,ACCM，,例题讲解,3、如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等腰Rt，C=900 ，D、E分别是CC
18、1和A1B的中点，AA12，若点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G.(1)求A1B与平面ABD所成的角(用反三角表示)；,解：连结BG，由已知EBG就是所求的角，, ,A1B与平面ABD所成的角为,例题讲解,3、如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等腰Rt，C=900 ，D、E分别是CC1和A1B的中点，AA12，若点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G.(2)求点A1到平面AED的距离。,方法A：作垂线法,方法B：等体积法,3、如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等腰Rt，C=900 ，D、E分别是CC1和A1B的中点，AA12，若点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G.(2)求点A1到平面AED的距离。,解A：由上题解知，DE平面AA1B1B,平面ADE平面AA1B1B于AE,在A1AB1中，A1K,方法A：作垂线法,3、如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等腰Rt，C=900 ，D、E分别是CC1和A1B的中点，AA12，若点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G.(2)求点A1到平面AED的距离。,解B：,方法B：等体积法,方法C：对象转换法,小结：,1、联想概念及其性质； 2、分解难点，掌握各类基本作图； 3、强调作证求过程； 4、空间问题平面化，尤三角形内的计算。,
