1、10.4 二项式定理,课时安排 3课时 说课内容 （1）本小节的内容是二项式定理及其有关概念，二项式系数的性质。,（2）本小节的教学要求：理解并掌握二项定理及二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题。,（3）本小节在教材中的地位：本小节在教材中起着承上启下的作用。由于二项式定理与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有其内在的联系，本小节是为学习后面的概率知识以及进一步学习概率统计只是做准备；又由于二项式系数是一些特殊的组合数，利用二项式定理可以得到关于组合数的一些恒等式。从而深化对组合数的认识。事实上二项式定理是更深层次上的计数原理。,（4）本小节的重难点：本小节的重点是二项式定
2、理；本小节的难点是二项式定理及二项式系数性质的灵活应用。（数学感强的学生没有难点，数学感弱的学生全是难点） （5）本小节的重难点的处理：对于二项式定理的学习要求学生抓住二项展开式的通项公式的特点，并与数列的通项公式相联系;利用赋值法获得二项式系数的性质；并注重函数思想在研究二项式系数性质时的应用。,（6）教学中应注意的问题：在二项式定理的推导过程中，从学生熟悉的乘法公式入手，并注重归纳思想的应用；注意区分二项式系数与相应的某一项的系数的区别；根据“杨辉三角”这一古代数学成就，对学生进行爱国主义教育;在整个教学过程中都是以问题的形式向学生呈现，我们的理念就是让学生发现定理，而不是学习定理。,课题
3、10.4.1 二项式定理（一）教学目标 （一）知识点：1.二项式定理；2.通项公式。,（二）能力要求：1.理解并掌握二项式定理，从项数，系数，通项几个特征熟记它的展开式。2.能运用展开式中的通项公式求展开式中的特定的项。3.提高学生的归纳推理能力，树立由特殊到一般的归纳意识。,教学重点： 1.二项式定理及其结构特征，2.二项展开式的通项公式，3.定理中的等式的恒等性，即在具体问题中，a,b可以是任意的常数，变数，单项式，多项式，有理式，无理式，指数式，对数式，三角式等。,教学难点： 1.二项展开式中某一项的二项式系数与该项的系数的区别，2.通项公式的灵活应用。 教学方法 问题启发引导,教学过程
4、 一 . 新课导入 在解决问题时，我们有时候需要把多项式分解因式，有些时候需要把多项式展开，对于（a+b)2, （a+b)3我们可以利用初中学习的乘法公式顺利的展开，对于更一般的情况（a+b)n (n=2,3,4,5)是否有一般的方法来展开？今天我们就在初中学习的多项式乘法法则及本章学习的排列组合知识的基础上来解决这一问题。下面我们先复习一下有关的知识。,二.研究问题 1.在初中，我们学过的多项式的乘法法则怎样？ 2.在学习分步计数原理时，你为什么不展开就可以知道（a1+a2+a3)(b1+b2+b3+b4)(c1+c2+c3+c4+c5)展开后共有多少项？ 4. （a+b)2展开后共有多少项
5、？（a+b)3展开后共有多少项？（4？3？；8？4？） 5.（a+b)4展开后共有多少项？16？5？怎么想？合并同类项后各项的系数是多少？怎样得到？有没有必要彻底展开后再看各项的系数？,6. （a+b)n展开后共有多少项？2n？n+1？怎么想？合并同类项后各项的系数是多少？怎样得到？有没有必要彻底展开后再看各项的系数？ 和前面的问题一样，合并同类项以前有2n项，合并同类项以后由于只有下面的一些不同类型的项：anb0， an-1b1， an-2b2， an-3b3， an-rbr，a0bn。所以有n+1项。由组合知识我们可以知道，得到上面每一个类型的项有多少种不同的方法，那么它的系数便是多少，即
6、an-rbr的系数为Cnn-rCrr=Cnr，于是，我们有下面的等式,（1）（a+b)n= Cnnanb0+ Cnn-1C11 an-1b1+ Cnn-2C22 an-2b2 + Cnn-rCrr an-rbr，+ Cn0Cnn a0bn 即 （2）（a+b)n= Cn0anb0+ Cn1 an-1b1+ Cn2an-2b2 + Cnr an-rbr，+ Cnn a0bn 为了和教材保持一致我们采用（2）的形式。 7.由初中学习乘法公式的经验，你能否感觉出等式（2）对什么样的a，b是成立的？,在具体问题中，a,b可以是任意的常数，变数，单项式，多项式，有理式，无理式，指数式，对数式，三角式等，
7、对（2）式都是成立的。即（2）式是一个恒等式。这样我们就彻底解决了开始所提出的问题， （2）式就是今天我们要学习的二项式定理。 8.查阅教材完成以下问题：（2）式右边的多项式叫做 的 ，它共有 项，其中叫做二项式系数，式中的 叫做二项展开式的通项，用 表示，它是展开式的第 项。令 分别等于 便可得到展开式的每一项。,9. 观察（2）式左边请说出二项展开式的特点。 10.请写出下列各式的二项展开式： （1） （a-b)n；（2）（1+x）n； （3）（1-x）n； 三.应用结论解决问题 1.直接利用公式 （1）展开（1+ ）4；（2） 2. 利用通项公式求二项展开式的指定项或指定项的系数或讨论某
8、些项性质,（1）求（x+a）12的展开式中的倒数第四项； （2）求（1+2x）7的展开式中的第四项的系数； （3）求 的展开式中x3的系数；（注：二项展开式的某一项的系数与系数是两个不同的概念，Tr+1的二项式系数是专指组合数Cnr，而该项的系数是连同符号和常数乘积的结果。） （4）问题（3）的展开式中是否含有常数项？在 的展开式中对于什么样的n的值才含有常数项？,四.随堂练习 P10716 五.课时小结 这节课在复习多项式乘法法则及本章学习的排列组合知识的基础通过讨论得出了二项式定理，本节课的任务是回忆课堂，记忆公式，能初步利用公式解决简单的问题。,六.课后作业 1.回忆课堂，阅读教材，查阅质料，整理笔记，写数学学习心得。 2.课本P110111 15 3.思考题 ： （1）5555除以8所得的余数是多少？（2）求函数 y = 1+5sinx+10（sinx）2+10（sinx）3+5 （sinx）4+ （sinx）5（xR）的值域；（3）求（1+2x-3x2）4的展开式中含x5项的系数。 （C42（-3）2C212）； （3 ）（a+b)n的二项展开式中所有的二项式系数和是多少 ？,
