1、第三节 行列式的性质,一、行列式的性质,将行列式D的行与列互换后得到的行列式，称为D的 转置行列式，记为DT或 .,性质1 行列式与它的转置行列式相等,即 .,注：由性质1知道，行列式中的行与列具有相同的地位，行列式的 行具有的性质，它的列也同样具有.,性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.,证明,设行列式,(注：交换i，j两行（列）记为 ),第i行,第j行,第i行,第j行,乘积,在行列式D和D1中都是,取自不同行不同列的n个元素的乘积，,而符号分别是,其中s为D中行标排列1ijn的逆序数，s是D1中行标 排列1jin的逆序数，而D和D1列标的排列均为t，没 有变化。显然，,这说明行列式
2、D和D1中一般项的符号相反，则DD1。,推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零. （简例）,性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式.,（第一、二行互换）,（第二、三列互换）,（第二、三列相等）,推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面,推论 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零,第i行（列）乘以k，记为rik（cik）,例1,求,例2,一般地，形如,的行列式，称为反对称行列式。有如下特征：,证明奇数阶反对称行列式的值为零.,证明,假设,由性质1，有：,（再由性质3的推论）,所以当n为奇数时，有DD，即D0
3、,性质4 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.,则行列式等于下列两个行列式之和：,例,性质5 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变(记作： ci+kcj 或rikrj),例如,证明,内容小结,性质1 行列式与它的转置行列式相等,即 .,性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.,性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式.,性质4 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则这个行列式可以写成两个行列式的和，这 两个行列式分别以这两个数为所在列（行）对应位置的元素，其它元素不变。,性质5 把行列式的某一列（
4、行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变,几种特殊形式的行列式,(1),除了副对角线上的元素外全为0的行列式,(2),对角行列式,(3)上三角行列式,(4)下三角行列式,利用行列式的性质计算行列式,计算行列式时，常用行列式的性质，把它化为特殊形式的 行列式来计算。例如，化为上三角形行列式的步骤是：,如果第一列第一个元素为0，先将第一行与其它行交换使得 第一列第一个元素不为零；然后把第一行分别乘以适当的 数加到其它各行，使得第一列除第一个元素外其余元素全 为0；再用同样的方法处理除去第一行第一列后余下的低一 阶行列式，如此继续下去，直至使它成为上三角形行列式，这时，主对角线上元素的乘积就是所求行列式的值。,例3,练习,例4,解,例5,例6 计算 阶行列式,例7 计算行列式,例8,解方程,内容小结,1、分析行列式的结构;,3、化零，行列式中零元素越多，计算越简单;,2、反复利用行列式的性质，把行列式化为特殊形行列式;,4、求出行列式.,作业,P38 习题一 13.（4); 14.(3) 15. 18.(1)(2) 20; 21,
