1、第三节 行列式性质,线性代数,一、行列式的性质,性质1 行列式与它的转置行列式相等.,行列式 称为行列式 的转置行列式.,记,性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.,说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.,说明 如果换奇数次改变符号，换偶数次不改变符号。,推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.,证明,互换相同的两行，有,见书中例13（P1213）,性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 ，等于用数 乘此行列式.,推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面,例3,因为行列式D是一个数，所以
2、由DD可知行列式D0,主对角线上的元素为0，而以主对角线为轴，两边处于对称位置上的元素异号，这样的行列式称为反对称行列式。即若 是反对称行列式，则它满足条件,由上例可证明，任意一个奇数阶反对称行列式必为零。,性质 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零,证明,看书上例45（P14）,性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.,则D等于下列两个行列式之和：,例如,看书上例6（P15）,性质 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变,例如,看书上例78（P16）,定理 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积
3、之和等于零，即,证,同理,关于代数余子式的重要性质,例,二、行列式的计算,计算行列式常用方法：1.利用运算 把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值,2. 按某一行或列展开，把行列式的除数降低。 化高阶为低阶；植树（“1”）造林（“0”）。,解,例2 计算 阶行列式,解,将第 都加到第一列得,证,用数学归纳法,先对第N1行乘以X1 ，再加到第N行上面去。,n-1阶范德蒙德行列式,看书上例919（P1722）,(行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立).,计算行列式常用方法：(1)利用定义;(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值,三、小结,行列式的6个性质,思考题,思考题解答,解,结束,
