1、北京科技大学数理学院卫宏儒 W,第二讲 数学基础和流密码,一、数学基础,1、整数的带余除法,2、整除,3、最大公约数,4、素数和合数,5、同余,6、几个重要定理,7、离散对数,8、素性检验,9、有限域,二、流密码,公钥密码体制的思想是在1976年由Diffie和Hellman提出的。然后在1977年由Rivest, Shamir和Adleman发明了著名的RSA密码体制，将在第六章中研究。此后，几个公钥密码体制被提出，其安全性依赖于不同的计算问题。其中，最著名的是RSA密码体制（及其变种），其安全性基于分解大整数的困难性；ElGamal密码体制（及其变种，例如：椭圆曲线密码体制），其安全性基于
2、离散对数问题。我们在第六章中讨论RSA密码体制和它的变种、ElGamal密码体制。在Diffie和Hellman之前，公钥密码学的思想已经由James Ellis在1970年1月的一篇题为“非隐秘加密的可能性”的文章中（短语“非秘密加密”即是公钥密码学）提出。James Ellis是电子通讯安全小组（CESG）的成员，这个小组是英国政府通讯司令部（GCHQ）的一个特别部门。这篇文章没有在公共文献中发表，而是在1997年12月由GCHQ正式解密的五篇文章中的一篇。在这五篇文章中，还有一篇由Clifford Cocks在1973年发表的题为“关于非秘密加密的注记” 的文章，其中描述的公钥密码体制跟
3、RSA密码体制基本一致。,一、数学基本知识 1、整数的带余除法整数对于加法、减法、乘法运算都是封闭的，即任意两个整数的和、差、积仍然是整数。但是对除法运算不再是封闭的，例如，4除以3就不是整数了。,2、整除,3、最大公约数,最大公约数,最大公约数,4、素数和合数,定义：大于1而且只能被1和自身整除的自然数，称为素数。大于1的不是素数的自然数，称为合数。,关于素数的几条性质,5、同余,定义： 是一个大于1的自然数，若 是整数且整除 ，则称整数 和 模是同余的，记作 。,例1 任何两个奇数模 都是同余的，任何两个偶数模 也都是同余的。,例2 和 模 是同余的， 和 模 也是同余的。即 和 。,同余
4、性质,交换律 结合律 有单位元 分配律 可约律 逆元：,同余性质（续）,性质： （1）若 ，则,同余性质（续）,（2）若： 则： 证明：由条件有 所以 即,同余性质（续）,同余类,定理1：整数模 的同余关系是等价关系，即：（1）反身性； （2）对称性； （3）传递性；,同余类（续）,同余类（续）,定理2：对于模 的同余类，有下列性质：,例题 1、对于模5的同余类，有2、模5的同余类的加法和乘法运算表。,6、几个重要定理,7、离散对数,通过对对数概念的理解引入指标的概念。,离散对数定义,、素性检验,素性检验的具体方法：,1、利用p64的算法（小整数）,2、Solovag-Strassen概率检验
5、法,3、小素数迭代来产生一个大素数,4、Rabin-Miller方法,Rabin-Miller算法,9、有限域,二、流密码,六、线性反馈移位寄存器序列,1、线性反馈移位寄存序列,2、线性反馈移位寄存器序列的特征多项式,3、m 序列的伪随机性和m 序列密码的破译,1）m序列的伪随机性,2）m 序列密码的破译,伴侣矩阵,破译过程, ,因为产生m序列的线性移位寄存器的连续n个状态是线性无关的，所以X 矩阵是满秩矩阵，它存在逆矩阵，于是,只要求出矩阵M，就可以确定出特征多项式f(x)，从而确定出线性移位寄存器的结构。,例4-2-3,七、非线性序列密码,1、非线性反馈移位寄存器序列,2、非线性前馈序列,3、基于LFSR的流密码生成器,1）Geffe生成器,2）Pless生成器,3）钟控生成器,4、流密码算法- RC4算法,RC4是一个密钥长度可变、面向字节操作的流密码，是一种基于非线性数据表变换的密码。,在用RC4加解密前，首先要对S表进行初始化。初始化过程如下：,另外还有A5、SEAL等流密码算法,
