1、1解析几何中对称问题的常见求解方法内蒙古杭锦后旗奋斗中学 刘占清关键词：对称点、对称直线解析几何中的对称问题在现行中学数学材料中没有按章节进行系统编排，只是分散地穿插在直线、曲线部分的题型之中。但这部分知识是解析几何中重要的基础内容，也是近年来的高考热点之一。对称点、对称直线的求法，对称问题 的简单应用及其解题过程中所体现的思想和方法是学生必须掌握的。这 就要求教师在讲完直线、曲线部分后，需对对称问题进行适当的归纳、 总结 。使学生 对这 部分知识有一个较完整的、系统的认识，从而解决起对称问题才能得心应手。本人就此谈一下中学解析几何中常见的对称问题和解决办法。一、关于点对称。1、点关于点对称。
2、 点 关于原点的对称点坐标是 ；点(,)Pab(,)ab关于某一点 的对称点的坐标，利用中点坐标式求得为(,)Pab0(,)Mxy。002,)xy2、直线关于点对称。 直线 L： 关于原点的对称直线。设0AxByC所求直线上一点为 ，则它关于原点的对称点为 ，因为 点在(,)Pxy (,)Qxy直线 上，故有 ，即 ； 直线 关于某一点L0ABCxy1l的对 称直线 。它的求法分两种情况： 1、当 在 上时，它的0(,)Mxy2l 0(,)Mxy对称直线为过 点的任一条直线。2、当 点不在 上时，对称直线的求法l2为：解法（一）：在直线 上任取一点 ，则它关于 的对称点为2l(,)PxyM，因
3、为 点在 上，把 点坐标代入直线在 中，便得到 的方00(2,)QxyQ1l 1l2l程。解法（二）：在 上取一点 ，求出 关于 点的对称点 的坐标。再1l(,)xy Q由 ，可求出直线 的方程。解法（三）：由 ，可设12llK2l 12llK关于点 的对称直线为 且:0AxByC0(,)Mxy0AxByC求设 从而可求的及对称直线方程。022ABC3、曲线关于点对称，曲线 关于 的对称曲线的求法：1:(,)0fxy0(,)Mxy设 是所求曲线的任一点，则 点关于 的对称点为(,)PxyP在曲线 上。故对称曲线方程为 。002(,)0fxy00(2,)fxy二、关于直线对称1、点关于直线对称。
4、 点 关于 轴、 轴，直线 ， 的对(,)Pabxyxy称点坐标可利用图像分别求设为 。 点 关于,(),)ab(,)Pab某直线 的对称点 的坐标。解法（一）：由 知，:0LAxByC L直 线 的方程 由 可求得交点坐标，PKP()BybxaA0()xByCbaA再由中点坐标公式求得对称点 的坐标。解法（二）：设对称点 由中点P(,)Pxy坐标公式求得中点坐标为 把中点坐 标代入 中得到(,)2axbyL； 再由 得 ，联立、可得到02axbyABCPBKAbyax点坐标。解法（三）：设对称点为 ，由点到直线的距离公式有P(,)x，再由 得 由、 可得到0022xyAxyBBPbyBaxA
5、点坐标。32、直线 关于直线 的 对称直线 。 当 与 不相交时， 则 。在1ll2l1l 1l2上取一点 求出它关于 的对称点 的坐 标。再利用 可求出1l0(,)PxyQ2llP的方程。 当 与 相交时， 、 、 三线交于一点。解法（一）：先解 与 组21l1l2 1l成的方程组，求出交点 的坐标。则交点必在对称直线 上。再在 上找一点A2ll，点 的对 称点 也在 上，由 、 两点可求出直线 的方程。解法（二）：BB2lB在 上任取一点 ，则 点关于直线 的 对称点 在直线 上，再由 1l1(,)PxylQ2lPQ， 。又 的中点在 上，由此解得 ，把点PQLKAl11(,)(,)xfy
6、gxy代入直线 的方程中可求出 的方程。解法（三）：设 关于 的对称直线1(,)xy1l 2 ll为 ，则 必 过 与 的交点，且 到 的角等于 到 的角，从而求出 的斜率，2l ll12进而求出 的方程。2l3、曲线关于直线对称。曲线 关于直线 的 对称曲线 的方程，在 上1Cl2C2任取一点 ，可求出它关于 的对称点坐 标，再代入 中，就可求得 的(,)Pxyl 1方程。综合上述，求对称问题通常采用变量替换、数形结合等解题思想。求对称问题的通法是： 求对称点一般采用，先设对称点 ，再利用中点坐(,)Pxy标公式或垂直、平分等条件，列出 的方程组，解方程组所得的解就是对,xy称点的坐标， 求
7、对称直线一般是：先设对称曲线上任一点 ，再利用(,)xy求对称点的方程求出 点的对称点 点坐标，将 点坐标代入已知曲线方程PQ中，所得的关于 的关系式，就是所求对称曲线的方程。,xy通过上述研究，解析几何中的各种对称点，对称曲线（包括直线）列表如下：4(,)Pab:0lAxByC:(,)0Cfxy原点（0，0） (,)()(,)f(,)Mxy002xayb002)AxBy002xy轴 (,)(C(,)f轴y)xyxy直线 x(,)ab0BA(,)0f直线 y()xyCyx0xm(,)m)ym(,)fmyba()(0ABx0yx由此可见，熟练地记忆和掌握各种对称点和对称曲线的求法，将会对我们解决对称问题带来很大的方便。点 、直线对 称点 (直 线)对称 轴( 对 称 中 )心
