1、,概率论与数理统计 第一 讲,主讲教师：杨勇,佛山科学技术学院数学系,概率论是一门研究随机现象规律的数学分支。它起源于十七世纪中叶。惠根斯的论赌博中的计算一书奠定了古典概率论的基础。另一奠基人是瑞士数学家伯努利，他的主要贡献是建立了概率论中的第一个极限定理伯努利大数定理。之后，法国数学家棣莫弗在他的著作分析杂论中提出了著名的棣莫弗拉普拉斯定理。接着拉普拉斯在1812年出版了概率的分析理论，首先明确地对概率作了古典的定义。经过高斯和泊松等数学家的努力， 概率论在数学中地位基本确立。 到了20世纪的30年代，通过俄国数学家柯尔莫哥洛夫在概率论发展史上的杰出贡献，完全使概率论成为了一门严谨的数学分支
2、。,女士品茶问题：一位常饮牛奶加茶的女士称：她能从一杯冲好的饮料中辨别出先放茶还是先放牛奶。现在她在10次试验中都正确地辨别出来了，问该女士的说法是否可信？,分赌本问题：甲乙二人各有赌本 a元，约定谁先胜三局就赢得全部赌本2a元。假设甲乙二人在每一局取胜的概率是相同的。现在已赌三局，结果甲是二胜一负，由于某种原因赌博中止，问如何分2a元赌本才合理？,从上表可以看出: 在50人左右的人群里,十有八九会发生两人或两人以上生日相同这一事件。,生日问题:某人群有n个人，他们中至少有两人生日相同的概率有多大？,第一章 随机事件的概率,人们所观察到的现象大体上分成两类：,1. 事前可以预知结果：即在某些确
3、定的条件满足时，某一确定的现象必然会发生，或根据它过去的状态，完全可以预知其将来的发展状态。这样的现象称为确定性现象或必然现象。,2. 事前不能预知结果：即在一定的条件下，可以出现这样的结果，也可以出现那样的结果，在试验和观察之前，不能预知确切结果，或即使知道它过去的状态，也不能肯定它将来的状态。这样的现象称为不确定性现象、偶然性现象或随机现象。,什么是随机现象？,下列现象中哪些是随机现象？,在一个标准大气压下, 水在100时沸腾； 明天的最高温度; C. 掷一颗骰子，观察其向上点数； D. 上抛的物体一定下落； E. 新生婴儿体重。,随机现象的特点,对随机现象进行观察 、观测或测量，每次出现
4、的结果是多个可能结果中的一个，“每次结果都是 不可预知的”； 但“所有可能的结果是已知的”。 在一定条件下对随机现象进行大量重复观测后就会发现：随机现象的发生具有统计规律性。,例如:一门火炮在一定条件下进行射击，个别炮弹的弹着点可能偏离目标(有随机误差)，但多枚炮弹的弹着点就呈现出一定的规律。如：命中率等。,再如:测量一件物体的长度，由于仪器或观测者受到环境的影响，每次测量的结果可能有差异，但多次测量结果的平均值随着测量次数的增加而逐渐稳定在常数，并且各测量值大多落在此常数附近，离常数越远的测量值出现的可能性越小。,“天有不测风云”和“天气可以预报” 有无矛盾?, 天有不测风云指的是：对随机现
5、象进行一次观测，其观测结果具有偶然性；天气可以预报指的是：观测者通过大量的气象资料对天气进行预测，得到天气的变 化规律。,?,想一想,概率论与数理统计的研究内容,随机现象具有偶然性一面，也有必然性一面。偶然性一面表现在“对随机现象做一次观测时，观测结果具有偶然性(不可预知)”；必然性一面表现在“对随机现象进行大量重复观测时，观测结果有一定的规律性，即统计规律性”。概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的数学分支。,概率论与数理统计有广泛应用,(1).金融、信贷、医疗保险等行业策略制定；,(2).流水线上产品质量检验与质量控制；,(3).服务性行业中服务设施及服务员配置；,(4).生物医
6、学中病理试验与药理试验；,(5).食品保质期、弹药贮存分析，电器与电子产品寿命分析；,(6). 物矿探测、环保监测、机械仿生与考古；,1.1 随机事件,1.1.1 随机试验与样本空间,I. 试验,把对某种现象的一次观察、测量或进行一次科学实验，统称为一个试验。,注意：试验是有目的性的，没有没目的性的试验。只有目的性明确了，试验的结果才会明确。,II. 随机试验,具有上述两个特点的试验称为随机试验，也简称试验，记为 E 。 注：以后所提到的试验均指随机试验。,b. 试验的结果不止一个，并且所有可能结果的在试验之前是已知的；,a. 每次试验的结果事前不可预知。,c. 可以在相同的条件下重复进行。,
7、可重复的随机试验(满足c) 和不可重复的试验(不满足c),随机试验举例E1: 掷一颗骰子，观察所掷的点数是几; E2: 观察某城市某个月内交通事故发生的次数; E3: 对某只灯泡做试验,观察其使用寿命; E4: 对某只灯泡做试验,观察其使用寿命是否小于200小时。,对于随机试验，尽管在每次试验之前不能预知试验结果，但试验的所有可能结果所构成的集合却是已知的。,若以i 表示试验 Ei 的样本空间, i=1,2,3,4, 则 E1: 掷一颗骰子，观察所掷的点数是几，1 = 1, 2, 3, 4, 5, 6；,称试验所有可能结果所构成的集合为样本空间，记为。,III. 样本空间,样本空间的元素，即随
8、机试验的单个结果称为样本点，记为。,E2: 观察某城市某个月内交通事故发生次数，2 = 0,1,2,； E3: 对某只灯泡实验，观察其使用寿命，3 = t,t0；,E4: 对某只灯泡做实验,观察其使用寿命是否小于200小时，4=寿命小于200小时，寿命不小于200小时。,从这里的E3和E4，可以看到它们的试验过程是相同的，但试验的目的性是不同的。正是因为目的性不同，所以它们所对应的样本空间截然不同。,1.1.2 随机事件 我们把样本空间的任意一个子集称为一个随机事件。或者把对某些状态或某种情况的陈述称为一个随机事件。随机事件，简称事件，常用大写字母 A, B, C 等表示。 特别地，如果事件只
9、含一个试验结果(即样本空间中的一个元素)，则称该事件为基本事件；否则为复合事件。,例1：写出试验 E:掷一颗骰子，观察所掷的点数是几 的样本空间，下述集合表示什么事件？指出哪些是基本事件： 解：1=1,2,3,4,5,6.A1=1,A2=2,A6=6分别表示所掷结果为一点至六点，都是基本事件；B=2,4,6表示所掷结果为偶数点，复合事件；C=1,3,5,表示所掷结果为奇数点，复合事件；D=4,5,6表示 所掷结果为四点或四点以上，复合事件。,(1).由于样本空间包含了所有的样本点,且 是自身的一个子集。故,在每次试验中 总是发生。因此, 称为必然事件。 (2).空集不包含任何样本点，但它也是样
10、本空间的一个子集，由于它在每次试验中 肯定不发生，所以称为不可能事件。,注意: 只要做试验,就会产生一个结果,即样本空间中就会有一个点(样本点)出现。当结果 A 时，称事件A发生。,1.1.3 事件间的关系与运算,I. 集合与事件,回忆: 试验 E做完后,若A,则称事件 A 发生。以后, A即表示一个事件A , 也表示事件A发生。,集合A包含于集合B: 若对 A, 总有 B,则称集合A包含于集合B, 记成 AB。,事件A包含于事件B: 若事件A发生必有事件B发生，则称事件A包含于事件B, 记成AB。,若AB, 且BA, 则称事件A与B相等, 记成A=B。,集合A与B的并或和：若 C, 当且仅当
11、 A或B,则称集合 C为集合A与B的并或和,记成 AB 。,事件A与B的并或和：若事件 C发生, 当且仅当事件 A或 B发生, 则称事件C为事件A与B的并或和, 记成 AB 。,C=AB=A , B中至少有一个发生,可列个事件A1,A2,的和,n个事件 A1,A2,An的和,C发生就是A1,A2, An中至少一个事件发生。,C 发生就是A1,A2, 中至少一个发生。,集合A与集合B的交或积：若 C, 当且仅当 A且 B, 则称集合C为集合A与B的交或积，记成AB或AB。,事件A与B的积或交： 若事件C发生，当且仅当事件A与B同时发生,则称事件C为事件A与B的积或交，记成 AB或AB。,C=AB
12、=A , B同时发生,特别地,当AB=时，称A与B为互斥事件(或互不相容事件)，简称A与B互斥。也 就是说事件A与B不 能同时发生。,例 1(续)：A1=1, A2=2, 于是 A1A2=。故A1与A2互斥；B=2,4,6, C=1,3,5, 于是 BC=，故B与C也互斥。,可列个事件A1,A2,的积,n个事件A1,A2,An的积,C 发生就是A1,A2, An 都发生。,C 发生就是A1,A2, 都发生。,集合A与集合B的差： 若 C当且仅当 A且 B，则称集合C为集合A与B的差，记成 A-B。,事件A与B的差：若事件C发生当且仅当事件A发生且事件B不发生，则称事件C为事件A与B的差,记成
13、AB。,C=AB=A发生, B不发生,特别地，称-A为 A 的对立事件(或 A的逆事件、补事件)等，记成 。,例1(续)：A=1, B =2,4,6, C =2,3,4,5,6,于是,=A不发生,交换律: AB=BA，AB=BA； 结合律: A(BC)=(AB)C，A(BC)=(AB)C； 分配律: A(BC)=ABAC，A(BC)=(AB)(AC)； 对偶律:,II. 事件的运算法则(与集合运算法则相同),不是A,B中至 少有一个发生,A, B均不发生,A, B中至少有 一个不发生,对于多个随机事件,上述运算规则也成立,A(A1A2An) =(AA1)(AA2)(AAn)，,小结,本节首先介绍随机试验、样本空间的基本概念，然后介绍随机事件的各种运算及运算法则。,
