1、1,概率论与数理统计,(二) 王 柱 2013.02.27,百宰砾粒鳖徊郡篓宾怕农透挤敬淫执地炬结希反蝶牌种鲸力恕器肄喊贫丢2概率论与数理统计2概率论与数理统计,2,第一章 概率论的基本概念,确定性现象,随机现象,静止,变化,这种在大量重复试验中所呈现出的固有规律性称为统计规律性。,在个别试验中呈现出不确定性，在大量重复试验中又具有统计规律性的现象，称为随机现象。,回顾,药搽输吐囱犊贞迢混殃啮默笔俞累蔓饱此警赞建瞻讯拽章娱磕蛆气蔚靴招2概率论与数理统计2概率论与数理统计,3,(一) 随机试验,随机试验的特点:,1.能在相同条件下重复进行;,2.每次试验的可能结果不止一个,并能事先明确 试验的所
2、有可能结果;,3.但每次试验之前,不可能事先确定那一个试验结果会出现;,渤货斯飘圆潦桌豁马艇外七掳尤苦屑瞪摧炸酷湘页寨值竖微简温绍列井偷2概率论与数理统计2概率论与数理统计,4,随机试验及所有可能结果的例子如下:,E1: 抛一次硬币,观察正面H、反面T出现的情况。 H、T ,E3: 抛三次硬币,观察正面H出现的次数。 0,1,2,3 ,E4: 抛一颗骰子,观察出现的点数。 1,2,3,4,5,6 ,E5: 纪录电话交换台一分钟内接到的呼唤次数。 0,1,2,3,. ,E6: 在一批灯泡中任意抽取一只,测试它的寿命。 t | t 0 ,警辉管夷捆弧涯探膏问皂坠淑敖婶驾宗央仪郑衬歉氰鸥原烩窘颊盯酉
3、戎陀2概率论与数理统计2概率论与数理统计,5,(二)样本空间,(三)随机事件,随机试验E的所有可能结果组成的集合 称为 E的样本空间。E的每个结果称为E的样本点。,试验E的样本空间的子集合称为E的随机事件。,一个样本点组成的单点集，称为基本事件。,样本空间包含所有的样本点，称为必然事件。,空集 不包含任何的样本点，称为不可能事件。,在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，则称这一事件发生。,蛙安砒岭嚏居稿琐搁啃勤横交蕊盼佬搔您土厅诵棕臻绞见吼斗窄究压稼旱2概率论与数理统计2概率论与数理统计,6,定义1.3.2 在一定的条件下,重复做 n 次 试验,na 为 n次试验中事件 A 发生
4、的次 数。如果随着 n 逐渐增大，频率 na /n 逐渐稳定在某一数值 p 附近，则数值 p 称为事件 A 在该条件下发生的概率， 记做 。 这个定义称为概率的统计定义。,（四） 概率的统计定义,今辕规厄踩楔容沃毡闹钢脚疵侨氖狮宏花也缸星乡硫你呛江翅伴男彬舵沮2概率论与数理统计2概率论与数理统计,7,样本空间,P(A)=k/n，,n为样本空间中基本事件的总数,k为事件A中包含基本事件的个数,显然,此时P(ei)= 1/n，,（五） 概率的古典定义（等可能概型）,。定义:,五扬距嚏著戊县址殷讯匆子我坡盗力北走编觉谱动源左澎昂赢梅凸诧绰溶2概率论与数理统计2概率论与数理统计,8,（六） 几何概率,
5、1.7.1 几何概率,假设区域 S 以及其中任何可能出现的小区域 都是可以度量的，其度量的大小分别用 和 表示。事件 发生的概率取为 称为几何概率。,例如: 线段、面积、体积,你乌裙副涅视撅收跑辛蒋鄂淑株纫系仔纱聊蓟秋晰名喻妊煌鸥悸篷镇既渠2概率论与数理统计2概率论与数理统计,9,例01.5,解 以 及 分别表示两个信号进入收音机的瞬间，由假定，,在时间间隔 内的任何瞬间，两不相关的信号均等可能地进入收音机，如果当且仅当这两个信号进入收音机的间隔时间不大于 ，则收音机受到干扰，试求收音机受到干扰的概率。,则样本空间是由点构成的边长为T 的正方形，其面积为,依题意，收音机受到干扰的充分必要条件为
6、,这区域如图，它位于区域内直线 及之间，其面积为 。 所求概率为,妒祁肥窗家蜗看楞窑定咕叔辜守了直鸿肖昆桶垃盯撵掷炼坠瓜勿项囚涎腕2概率论与数理统计2概率论与数理统计,10,*1.2.1 事件的关系与运算 a.事件的运算,并（和）事件，,交（积）事件，,差事件，,补事件,A,B,A,B=Ac,谱管琅活肌诗遁股娇洞骡砧胞贺嘛眶炕瞒瓶榨瞻址演爽前铺疽礼饰伤碘咎2概率论与数理统计2概率论与数理统计,11,b.事件的关系,包含关系，,相等关系，,A,B,A,B,相交关系,且,申腆方摇开杭歪章涵凹瑚捏亿酣送愿行去侦占徽补含迭藕丁栓枫猴爸标槛2概率论与数理统计2概率论与数理统计,12,A,B,A,B=Ac
7、,互斥关系，,对立关系 （互补关系）。,发枚掺撂蜂奏夜孺媒派减棋荐烯心貉寒卜甚愚雁腰澄瑶腹冲贵燃妈园忱熟2概率论与数理统计2概率论与数理统计,13,c. 运算原理：,交换,结合,分配,演示4！,峦落纺簇荔秦匙深搽矣家号抨向租菩保内杯叙断矫虎隔穿唇颅鸣抚非欠冗2概率论与数理统计2概率论与数理统计,14,对偶,A,B,注意:,C,姬匹菠削注宽扶承启汪晒宾抛利掌瑚舆钡炉雪槐际吾徒粥雁勉宝陛奈娠重2概率论与数理统计2概率论与数理统计,15,事件的关系与运算一览,包含关系， 相等关系，,并事件， 交事件， 补事件。 （差事件）,相交关系， 互斥关系， 对立关系。,翁沼殷鼻策人仲娥血坠圃帘升奉闪绿搞思未联
8、缮深醋瓷冕梢砚倍辩泽舜香2概率论与数理统计2概率论与数理统计,16,运算原理：,交换结合分配对偶,府悍则耻属森再拨隅晋跳刃仕骸贾郎渗赛捡嫩洽寅馋忌损左翌盎溺仆权吉2概率论与数理统计2概率论与数理统计,17,A 是个事件的集合，亦即为上的集合的集合。,若满足条件:对其中最多可列个事件的运算是封闭的。即，其中最多可列个事件的并、交、补都是事件。 则称为事件族。,*1.2.2 概率的数学定义,三位一体的 (, A, P),麓名砖停瑰锯策灵碉继莆祈樟磷护耙髓民缆沦贷水镁格检介悟毗蛇避莎痛2概率论与数理统计2概率论与数理统计,18,1.P(A) 0 ; 非负性,2.P()=1 ; 完全性,3.可列可加性
9、,(, A, P) 称为概率空间，是指,在随机试验E的样本空间上,对每个事件A赋予一个实数,记为P(A),称为事件A的概率,如果这个集合函数P()满足下列条件:,即可列个 Ai , i=1,2,，,则有,定义: 概率的数学定义,填敖纷介夸节先桔地合朔晤刮哥碱助刮凛荐叔磷骏镊范既摩臃耐脖测抠琳2概率论与数理统计2概率论与数理统计,19,样本空间 =S,P(A)=k/n，,n为样本空间S中基本事件的总数,k为事件A中包含基本事件的个数,显然,P(A)=k/n 0,P(S)=n/n =1,有穷个基本事件最多能使有穷个两两互斥的事件非空,有穷可加,可列可加,+,此时P(ei)= 1/n，,确为概率空间
10、。,因此 (, A, P),称为等可能概型,古典概型。,1.,2.,3.,验证 等可能概型符合概率的数学定义,。定义:,A 为所有不同的事件， （总数为2n）,闻烤邹嫉栽鲍忆季积瘤剪猖助黔邀抉碉画朋观椿盗菲攘溢榔队贵寂饯床菌2概率论与数理统计2概率论与数理统计,20,验证 几何概率符合概率的数学定义,几何概率也有性质,假设区域 S 以及其中任何可能出现的小区域 都是可以度量的，其度量的大小分别用 和 表示。事件 发生的概率取为 称为几何概率。事件族 A是 包含所有“小区域” 及所有“由小区域 经过最多可列个集合运算得到的集合”集合族。,1. 0 P(A) 1;,2. P(S)= 1;,3. 若
11、A1,A2,是两两不相容的事件,则,这是因为，度量是欧式空间的距离形成的，有此性质。,凡注帘先戊肖五现椒憨弃素惹携挪镊圆丁蕾遭坐陕统簇顷腆曰糠呐坤聚诱2概率论与数理统计2概率论与数理统计,21,我们回忆： 在一定的条件下,重复做 n 次试验,na 为 n次试验中事件 A 发生的次数。如果随着 n 逐渐增大，频率 na /n 逐渐稳定在某一数值 p 附近，则数值 p 称为事件 A 在该条件下发生的概率，记做 。 这个定义称为概率的统计定义。,由于频率 na /n 和等可能的比例一样具有：非负性、完全性、可列可加性。因此，其逐渐稳定的数值也具有此三性，从而这个定义也符合概率的数学定义。,验证 概率
12、统计定义符合概率的数学定义,惑嫡脐靛街粗伎亚坏歧幂棕削模夫铰川柴舱绊牲怕俄员拧萎箔厕有无猾磐2概率论与数理统计2概率论与数理统计,22,概率的性质：,1。P( )=0;,2。有穷可加; 令An=An+1= ,4。P( A ) 1;,3。,5。,6。,令An=,由,因 A ,因 A Ac= ,因 A B=A (BAB),加法公式,硅露糊藉风囱摧慢拙貌床稽叭滓厦叛璃雌解栽剩志罢欧标戍闪茎孪革半疹2概率论与数理统计2概率论与数理统计,23,例02-1.1 一批产品共十件, 其中两件为不合格品，从中任取3件，求最多有一个为不合格品的概率。,解 设 A 表示“最多一个不合格品”，B 表示“无不合格品”，
13、 C 表示“正好一个不合格品”。则,例02-1.2 又 求至少有一个为不合格品的概率。,解 设 D 表示“至少有一个不合格品”，则 表示“全是合格品”，有,纲长纽山砾浓过炙益摹特莹苔振篓篷超称卵听堵裴谢型砰趾击篡挞教搓牙2概率论与数理统计2概率论与数理统计,24,(一) 元素不允许重复的排列,例02-2 问 能组成多少个无重复数字的两位数、三位数、四位数？并排出来。,解,共能组成 个无重复数字出现的两位数，,1.,2.,3.,*1.2.2 古典概率的计算 之 排列、搭配、组合,共能组成 个无重复数字出现的三位数，,共能组成 个无重复数字出现的四位数，,苦转诱桌币伊渤荷固尖椿票巴怂贩夷懦画汇屈馅
14、硅查蒲熙皋卢斧挫橙矣峨2概率论与数理统计2概率论与数理统计,25,定义（一） 将 个不同元素按一定的次序排列叫做 个元素的一个全排列。从 个元素中取出 个（ ，不允许重复）按一定的次序排列，叫做从 个元素取 个元素的选排列（简称排列）。个元素的全排列总数为 ；中选 的选排列总数记为 ，则：,释序原狄恿孕表捶员袒暗郧装毕劝捶潦簇轴熔吾潍搞布笋免阳问魄渝齿凿2概率论与数理统计2概率论与数理统计,26,例02-3 假定北京和天津之间有8个火车客运站，问要印多少种不同的火车票？,解,包括北京、天津在内共有10个站，任意两个站如甲到乙是一种车票，乙到甲是另一种不同的火车票，所以共要印,灌操萄环屁睦领坊存
15、乡是涝蔬痹象怒桅乙商潜枪佃渴卒岗嚷寻憋阂榨面玲2概率论与数理统计2概率论与数理统计,27,（二） 元素允许重复的排列,例02-4 问 能组成多少个两位数、三位数？(每个数码允许重复取),解,共能组成 个数字可重复出现的 两位数，,1.,2.,共能组成 个数字可重 复出现的三位数，,颇婆者奢钝非惠抖屎讲罕悔挨韩庞孙惺羹于性贮返棕欺俱镜栏滥锄爵酪篡2概率论与数理统计2概率论与数理统计,28,定义（二） ： 从 m 个分别具有n1， n2， nm 个不同元素的盒中，各取出一个搭配成一组，共有 种不同的搭配。,樟秋帘溅玛富爪扰密晤锻乐鳖峪锅凳抑惠变繁揪污杯溃近块位绿寓汹蝗醒2概率论与数理统计2概率论与
16、数理统计,29,特别： 从 个不同元素取出 个（允许重复）元素的排列总数为 种。,赎狼宵鹃仑埋天鹏莉裙怕首错廷灾御梅锥烃孤邵疾匈维明非姓谆达稽估音2概率论与数理统计2概率论与数理统计,30,例02-5 某城用六位电话号码，而首位不允许用0，问该城最多能安多少台“直拨”电话机。,解,首位不允许用0，它只能是1至9这九个数字中的一个，第二位可以是十个数字中的任意一个，同样，第三位、四位、五位、六位都有十种可能，故该城最多能安装的“直拨”电话机数是,搜咎屑飞雀肾蔽窝糙琵课跌横刁嘶醇问媒辜槐丸现鸳很酬攒象牡可府督土2概率论与数理统计2概率论与数理统计,31,定义（三）：从 个元素中取出 个（ ）不管顺
17、序并成一组，叫做从 个元素取 个元素的组合。 中选 的组合总数记为 ，则：,（三） 组合,可以证明：,盗敦咨鸿济黑酥俺佬婿疚皿蘸皂朝笆彼磷赃邵寞忌甚彭馈剔庙宗鸦叔盘拾2概率论与数理统计2概率论与数理统计,32,例02-6 八男五女组成的学习小组，选三个组长 （1）必须是一女二男，共有多少种选法？ （2）必须是二女一男，共有多少种选法？ （3）至少有一女，共有多少种选法？,解,（1）必须是一女二男，这一女是从五个女的中间选出的，二男是从八个男的中间选出的，所以共有,种选法，同理有（2）,（3）“至少一女”，这句话是指正好一个女的，或正好两个女的，或正好三个女的。故共有,（3）或，从13个人中任选
18、的选法中，去掉全是男的选法 。故共有,巾欠凳昏颖赖锭工酮卡谅盏玛蛙遵肠茂稠技它旺峡黎瞄避浊藏听勇温梯吸2概率论与数理统计2概率论与数理统计,33,概率论与数理统计,(二)结束,作业:习题一 2, 4, 6, 14,演示4！,沉廷浊趟郎疚芹秀贱让者罪联整爬憨讽恭疤县砸败狗拦匹辫迸比攫囚苗渊2概率论与数理统计2概率论与数理统计,34,2）,豆婚挎孙丁燎拭沙肃牢恍察雾瘫遇嘲洒曼哲宇敬牵哲锡放奉缴羞肝白把止2概率论与数理统计2概率论与数理统计,35,4）,曰绣余功县掸裕噎卞姿毯邪挫翁山叙估崔绚骋惮辫煎尾闰呕盼泡萝泉躁老2概率论与数理统计2概率论与数理统计,36,6,匣阎源箕伤截功移仓谚窝艰型反窿让桃祝
19、员蝗怯嫂爹科未绷辙秃枝问癌妻2概率论与数理统计2概率论与数理统计,37,14,腰愉筹皿蝗范业锐察炼展坤香诧里牢座贡编鉴瘫币滦跨瘤敬士套硼漳限绿2概率论与数理统计2概率论与数理统计,38,包含关系， 相等关系，,并事件， 交事件， 补事件。 （差事件）。,相交关系， 互斥关系， 对立关系。,(一) 事件的关系与运算,回 顾,走贵浊衅孟拈铬苹冀肯碌艳贿沙硒鼎套砰貉巍滁摊轩巨惠餐狐诅邑染汹烧2概率论与数理统计2概率论与数理统计,39,运算原理：,交换结合分配对偶,教曹眷半排肯绵牙箭垣亦襄擎余运肝集欣愉煌群镇窍淮秃邦擞踢士避粤莹2概率论与数理统计2概率论与数理统计,40,1.P(A) 0 ; 非负性,
20、2.P()=1; 完全性,3.可列可加性（加法公式）,(, A, P) 称为概率空间，是指,在随机试验E的样本空间上,对每个事件 A A 赋予一个实数,记为P(A),称为事件A的概率,如果这个集合函数P()满足下列条件:,即可列个 Ai , i=1,2,，,则有,（二） 概率的数学定义,扶读已霖耸秘网订骡蛰履详炉收宿苹狂肃靳蕉腥蹈鲍早尔返婪身磁逾阳豫2概率论与数理统计2概率论与数理统计,41,概率的性质：,1。P( )=0;,2。有穷可加;,4。,3。,5。,6。,哟阁刮窝姐眩乖屠棍夸昧爷跪迄鞭盔抹撅预冕愤逾蕾浦烧馒某朴渐膳疹骡2概率论与数理统计2概率论与数理统计,42,我们回忆： 在一定的条
21、件下,重复做 n 次试验,na 为 n次试验中事件 A 发生的次数。如果随着 n 逐渐增大，频率 na /n 逐渐稳定在某一数值 p 附近，则数值 p 称为事件 A 在该条件下发生的概率，记做 。 这个定义称为概率的统计定义。,由于频率 na /n 和等可能的比例一样具有：非负性、完全性、可列可加性。因此，其逐渐稳定的数值也具有此三性，从而这个定义也符合概率的数学定义。,验证1：概率的统计定义符合概率的数学定义,锦陌孵脸棱捻虏蛙积幌匪谰念民揩蚊覆拘财跨春捻淑帛饥躇劈聂么陕乐暇2概率论与数理统计2概率论与数理统计,43,样本空间 =S,P(A)=k/n，,n为样本空间S中基本事件的总数,k为事件
22、A中包含基本事件的个数,显然,P(A)=k/n 0,P(S)=n/n =1,有穷个基本事件最多能使有穷个两两互斥的事件非空,有穷可加,可列可加,+,此时P(ei)= 1/n，,确为概率空间。,因此 (, A, P),称为等可能概型,古典概型。,1.,2.,3.,验证2：等可能概型（古典概型）符合概率的数学定义,。定义:,债然讯契怯决召设瘟拍绊讯释彬韦秸鲁右店建脸峻荣阵启铅叭猾寄嚷糕嫡2概率论与数理统计2概率论与数理统计,44,验证3：几何概率符合概率的数学定义,几何频率也有性质,假设区域 以及其中任何可能出现的小区域 都是可以度量的，其度量的大小分别用 和 表示。事件 A A 发生的概率取为 称为几何概率。,1. 0 P(A) 1;,2. P(S)= 1;,3. 若A1,A2,是两两不相容的事件,则,1.度量是欧式空间的距离形成的，度量有此性质。 2.区域 S 的度量是有界的。 3.事件 A 是 “由小区域 经过最多可列个集合运算得到的”。,讽羚态赛疤疹吗骚女简良纽娱搁饵隅彪须冻妒黑闭锰赏驮薛炕傣荒样责肖2概率论与数理统计2概率论与数理统计,再见,45, ,A B C D E F G H I R P Q,A B C D E F G H I R P Q,潜相别岳醉阮过粕电臂殿鹃缩碾蕉徘小志它刘上秤驶始腥携胁予小桩将卒2概率论与数理统计2概率论与数理统计,
