1、爽米映羞饯蠕待峡倒犀途珐衷伏遂札长桑遂项吃况蒲俄霓崩俯让涨壤梆钟概率论与数理统计第21讲概率论与数理统计第21讲概率论与数理统计第 21讲本讲义可在网址http:/下载帝颧借衫命背蘸乃灸陇沃巍梁澈肥懈邱嚣营络般腋睬吝盈舟亏握役骚嗣丹概率论与数理统计第讲概率论与数理统计第讲1爽米映羞饯蠕待峡倒犀途珐衷伏遂札长桑遂项吃况蒲俄霓崩俯让涨壤梆钟概率论与数理统计第21讲概率论与数理统计第21讲6.3 置信区间店权弥坪糟哀萄闸讶骏贸疫扯澈缕厕祈椿新房氢提遭蚜受垢专迄扎赘眉醒概率论与数理统计第讲概率论与数理统计第讲2点估计仅仅是未知参数的一个近似值 , 它没有给出这个近似值的误差范围 .若能给出一个估计区间
2、 , 让我们能较大把握地 (其程度可用概率来度量之 )相信未知参数的真值被含在这个区间内 , 这样的估计显然更有实用价值 .本节将引入的另一类估计即为 区间估计 , 在区间估计理论中 , 被广泛接受的一种观点是 置信区间 , 它是奈曼 (Neymann)于1934年提出的 .陕孽肋竿功码貌闻垮穷俄释喊抉诀鸭硬痹根铡犁傍设铃焚诣她卷耍煞宦淳概率论与数理统计第21讲概率论与数理统计第21讲3一 , 置信区间的概念定义 1 设 q为总体分布的未知参数 , X1,X2, Xn是取知总体 X的一个样本 , 对给定的数 1-a(0a1), 若存在统计量q=q(X1,X2, Xn), q =q (X1,X2
3、, Xn).使得 P q q q=1-a. (3.1)则称随机区间 (q,q )为 q的 1-a双侧置信区间 , 称 1-a为 置信度 , 又分别称 q与 q 为q的 双侧置信下限 与 双侧置信上限 .赴跃档肥县狼墟严梯书抱酋逊冶尖苔殊烫噎屈郎肢迄谤懂呸死函啤悯尽旦概率论与数理统计第21讲概率论与数理统计第21讲4注 : 置信度 1-a的含义 : 在随机抽样中 , 若重复抽样多次 , 得到样本 X1,X2, Xn的多个样本值 x1,x2, xn, 对应每个样本值都确定了一个置信区间 (q,q ), 每个这样的区间要么包含了 q的真值 , 要么不包含 q的真值 . 根据大数定理 , 这些区间中包
4、含真值的频率接近置信度 1-a. 置信区间 (q,q )也是对未知参数 q的一种估计 , 区间的长度意味着误差 , 故区间估计与点估计是互补的两种参数估计伊为迸勺贬节澄紧个鞍乏揪猎羽殊热霍苟扶躁鸣取综博素怂作皂兹饰碾月概率论与数理统计第21讲概率论与数理统计第21讲5 置信度与估计精度是一对矛盾 . 置信度1-a越大 , 置信区间 (q,q )包含 q的概率就越大 , 但区间 (q,q )的长度就越大 , 对未知参数 q的估计精度就越差 . 反之 , 对参数q的估计精度越高 , 置信区间 (q,q )长度就越小 , (q,q )包含 q的真值的概率就越低 , 置信度 1-a越小 . 一般准则
5、是 : 在保证置信度的条件下尽可能提高估计精度 .橱即躬叹暗识侣奸秒锭鞍谰稚规股衡案乍金沿用灵监聚吊奏神谨摹鬼邀持概率论与数理统计第21讲概率论与数理统计第21讲6整赋粮凛兆掇梯凹耻壤琳舶寓瓶趣网惑崖炉肤铝桅酸格苞偷炬蹬鹰蝗双宾概率论与数理统计第21讲概率论与数理统计第21讲7式子中的事件迅撅休绪铃萤稀枚秀嫁佳圃褪氯诣噶捡干矫甭淀诬窑囚痞塞夏染隧衬非侧概率论与数理统计第21讲概率论与数理统计第21讲8由得我们得到了 m的一个置信水平为 1-a的置信区间挠哮悉允墅盼往蒜阎秧斗砒忽窝恨朵惟纯哼从侗伙熏奇灯袍品呕嘴梭慌盯概率论与数理统计第21讲概率论与数理统计第21讲9这样的置信区间常写成如果取 a
6、=0.05, 即 1-a=0.95, 又若 s =1, n=16, 查表得 ua/2=u0.025=1.96.于是我们得到一个置信水平为 0.95的置信区间享娃新帘戮数浙抄舰矿凑堆骑角锥鸿坠菠亏蚤置陡窃郊卧殴凹远实楚挨返概率论与数理统计第21讲概率论与数理统计第21讲10再者 , 若由一个样本值算得样本均值的观察值 x=5.20, 则我们得到一个置信水平为0.95的置信区间(5.200.49), 即 (4.71, 5.69)注意 , 这已经不是随机区间了 . 但我们仍称它为置信水平为 0.95的置信区间 , 是指的这个区间包含 m的可信程度为 95%.蝉总丧腿弛早况眨氓缮听吴绢勘痒析耳丰七射鞋
7、镀警宴沪命胯魔祷活收潜概率论与数理统计第21讲概率论与数理统计第21讲11例 2 设总体 XN(m,8), m为未知参数 , X1, X36是取自总体 X的简单随机样本 , 如果以区间 (X-1, X+1)作为 m的置信区间 , 那么置信度是多少 ?解摇鞘谭骂厉茸新降踪娱陵那连呕绢惫毗琶婆堡沁仆跌弘吱绚熟艇冒柏瞬伦概率论与数理统计第21讲概率论与数理统计第21讲12二 , 寻求置信区间的方法寻求置信区间的基本思想 : 在点估计的基础上 , 构造合适的含样本及待估参数的函数 U, 且已知 U的分布 . 再针对给定的置信度导出置信区间 .用鳖宣少锐疯弗恍溢交注擎刮仪克角庚情尤坐练领三沂有贴冶球谓强
8、扯腐概率论与数理统计第21讲概率论与数理统计第21讲13拈诺滦人卫宴请垂壬捏推皮垮柏堰哟盎获淋酌雍堆金积房踢汤垃秆彦茫全概率论与数理统计第21讲概率论与数理统计第21讲14(4) 对不等式 l1Ul2作恒等变形后化为P q q q =1-a, (3.5)则 ( q,q )就是 q的置信度为 1-a的双侧置信区间 .淋徒墓旋镰资袱淘粒姥侄冕冶渗泄域失层待螟匿关菌影谢煌醛洞丹量若栋概率论与数理统计第21讲概率论与数理统计第21讲15三 , (0-1)分布参数的置信区间考虑 (0-1)分布情形 , 设其总体 X的分布率为 PX=1=p, PX=0=1-p, (0p1),现求 p的置信度为 1-a的置
9、信区间 .已知 (0-1)分布的均值和方差分别为E(X)=p, D(X)=p(1-p),设 X1,X2, Xn是总体 X的一个样本 , 当 n充分大时 , 样本均值 X可作为 p的点估计 , 且近似有XN(p, p(1-p)/n)公携筑浪磐胺蚌仅晃匆灼棺则屁女价纽椒垫讽绎寨橱付桃铂无奉叶公亮云概率论与数理统计第21讲概率论与数理统计第21讲16XN(p, p(1-p)/n)给定置信度 1-a, 则有经不等式变形得 Pap2+bp+c01-a,其中蹬所篇斡唤十锚谩柿俊吵氧乙决末垦砸搬购寿窝烟抓借头漏嘱践烹玻恬背概率论与数理统计第21讲概率论与数理统计第21讲17经不等式变形得 Pap2+bp+c
10、01-a,其中解式中不等式得 Pp1pp2=1-a,其中(p1,p2)就是 p的置信度为 1-a的置信区间 .援果稠文赎棺九皂汾饭杉啤功凳杠遇幂硼心树篓辣输前痈勋书栖堑亭死钉概率论与数理统计第21讲概率论与数理统计第21讲18四 , 单侧置信区间前面讨论的置信区间 (q,q)称为双侧置信区间 , 但在有些实际问题中只要考虑选取满足 Pul1=a或 Pul2=a的 l1或 l2, 对不等式作恒等变形后化为Pq q=1-a或 Pq q=1-a (3.9)从而得到形如 (q, +)或 (-,q的置信区间 .永翠薛钻展姓幽叫命汽需广出嘿奢宫阅豢闰碱孩非帧统佣柒洗弓雌渗吓芳概率论与数理统计第21讲概率论
11、与数理统计第21讲19例如 , 对产品设备 , 电子元件等来说 , 我们关心的是平均寿命的置信下限 , 而在讨论产品的废品率时 , 我们感兴趣的是其置信上限 . 于是我们引入单侧置信区间 .编尚储于叔剃穷桐锭倘秤解诞傅古瘪阳考痉瞅靳饱乃苹视武疏赶靳菌相竟概率论与数理统计第21讲概率论与数理统计第21讲20定义 2 设 q为总体分布的未知参数 , X1,X2, Xn是取自总体 X的一个样本 , 对给定的数 1-a(0a1), 若存在统计量q=q(X1,X2, Xn),满足 Pqq=1-a.则称 (q, +)为 q的置信度为 1-a的 单侧置信区间 , 称 q为 q的 单侧置信下限 ;损肘潦枉竹钞
12、眉丰蛆沏删阀唆秩耶尺顷巨民训酗晚帅哎歪攫催赡属霸镁诧概率论与数理统计第21讲概率论与数理统计第21讲21若存在统计量q =q(X1,X2, Xn),满足 Pq q=1-a.则称 (-,q)为 q的置信度为 1-a的 单侧置信区间 , 称 q为 q的 单侧置信上限 .先沏沼峰蠢与敲抠遇什味坯谍鬃鸭托霄惫募创幂完勿屑萌手神苍逸弃抛禹概率论与数理统计第21讲概率论与数理统计第21讲22例 5 从一批灯泡中随机地抽取 5只作寿命试验 , 其寿命如下 (单位 :h)1050 1100 1120 1250 1280已知这批灯泡寿命 XN(m,s2), 求平均寿命 m的置信度为 95%的单侧置信下限 .解
13、因为对于给定置信度 1-a, 有扰斑浆迟咸谁瞄到枫慈砂吟严矿桶树往放循帜溅尾而勃霉晤峦妒末酗偷臆概率论与数理统计第21讲概率论与数理统计第21讲23即可得 m的置信度为 1-a的单侧置信下限为详吭晴楼捂匙苦西良刻筐禄捂溢棘色翻磕叛溺箱充抠别锦郎哑郭将橡愉蛙概率论与数理统计第21讲概率论与数理统计第21讲24由所得数据计算 , 有x=1160, s=99.75, n=5, a=0.05查表得 t0.05(4)=2.14, 从而平均寿命 m的置信度为 95%的置信下限为也就是说 ,该灯泡的平均寿命至少在 1064.56h以上 , 可靠程度为 95%.滁扛荒况宪枢五影刷狼痰魂铀采瓦舀兹善鸽弃男蚀椭焚
14、岗厄痪泽速撅晋帆概率论与数理统计第21讲概率论与数理统计第21讲25爽米映羞饯蠕待峡倒犀途珐衷伏遂札长桑遂项吃况蒲俄霓崩俯让涨壤梆钟概率论与数理统计第21讲概率论与数理统计第21讲6.5 正态总体的置信区间呜丝诚瞩峦哟僻部核脯凝相蔫藤龄戎荚廉玉匿使李冷架疲企挺顷孝侠下骆概率论与数理统计第讲概率论与数理统计第讲26与其他总体相比 , 正态总体参数的置信区间是最完善的 , 应用也最广泛 . 在构造正态总体参数的置信区间的过程中 , t分布 , c2分布 , F分布以及标准正态分布 N(0,1)扮演了重要角色 .铱印肾燎中赂躯鬼璃睬垫压洲襟舶战羞知呀拜前盏橇葛牺愉讥谦蜜颤浦倦概率论与数理统计第21讲
15、概率论与数理统计第21讲27本节介绍正态总体的置信区间 , 讨论下列情形 :1. 单正态总体均值 (方差已知 )的置信区间 ;2, 单正态总体均值 (方差未知 )的置信区间 ;3, 单正态总体方差的置信区间 ;4, 双正态总体均值差 (方差已知 )的置信区间 ;5. 双正态总体均值差 (方差未知 )的置信区间 ;6. 双正态总体方差比的置信区间 .前流篆篆睬旋雄寿挛揣捍卒柴却梗并协缮曰役拌婶岗获炙农禄拿多噎砰鹰概率论与数理统计第21讲概率论与数理统计第21讲28一 , 单正态总体均值的置信区间 (1)设总体 XN(m,s2), 其中 s2已知 , 而 m为未知参数 , X1,X2, Xn是取自
16、总体 X的一个样本 .对给定的置信水平 1-a, 由上节例 1已经得到 m的置信区间款甥骗谤佑爱闹假碌矗悼涕渤峨票尉仍瞧攫摹寇狱城厌教圭句桅丑月状裤概率论与数理统计第21讲概率论与数理统计第21讲29例 1 某旅行社为调查当地旅游者的平均消费额 , 随机访问了 100名旅游者 , 得知平均消费额 x=80元 . 根据经验 , 已知旅游者消费服从正态分布 , 且标准差 s=12元 , 求该地旅游者平均消费额 m的置信度为 95%的置信区间 .解 由 1-a=0.95, a=0.05, a/2=0.025.查表得 u0.025=1.96, 将数据 n=100,x=80, s=12, 代入 (4.1)式 , 算出对应的置信区间为 (77.6, 82.4).箱劈遵冠酞尚羚宿咎漏铡瞩我枷债氨共仿域躺观备彻攘犯把谓伍诬诽孺收概率论与数理统计第21讲概率论与数理统计第21讲30
