1、第七章 数学技术方法在水文学中的应用,水文学中常用的数值方法,参数率定常用的数学方法,参数灵敏度分析的数学方法,7.1,7.2,7.3,主要内容,7.1 水文学中常用的数值方法,7.1.1 有限差分法,有限差分法的基本思想：把微分方程连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替，然后用各离散格点上待求函数的差商来近似代替该点的微商，原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。,7.1.1.1 有限差分法概述,差分的格式：在精度上分为一阶格式、二阶格式和高阶格式；在
2、空间上分为中心格式和逆风格式；在时间上分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。,构造差分格式的方法一般有三种：（1）数值微分法；（2）积分插值法；（3）待定系数法。,7.1.1.2 差分的基本概念,一阶差商的定义式为：,（7.1.1）,那么当增量h很小时，我们可以用差商来近似代替微商，即：,（7.1.2）,差分形式又分为三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分。其中，中心差分的截断误差最小。,对于二阶微商同样也可以用二阶差商来近似表示，即：,（7.1.3）,7.1.1.3 有限差分法的求解过程,有限差分法的求解过程为： 首先，将原微分方程离散化为差分方程组。 其次，差求解分方程组。,另外
3、，为了保证计算过程的可行和计算结果的正确，还需从理论上分析差分方程组的性态，包括解的唯一性、存在性和差分格式的相容性、收敛性和稳定性。,7.1.2 有限单元法,有限单元法的基本思想是：首先，利用变分原理把所要求解的边值问题的微分方程化为与之等价的泛函求极值的变分问题；然后，将定解区域划分为有限个互不重叠的子单元，并利用剖分插值把变分问题近似地化为多元函数的求极值问题，从而得到一个线性代数方程组，即所谓的有限元方程；最后，求解得到原问题的数值解。,7.1.2.1 有限单元法概述,有限单元法的计算格式：按计算单元网格划分为三角形网格、四边形网格和多边形网格；按权函数不同可划分为配置法、矢量法、最小
4、二乘法和伽辽金法；按差值函数的精度可划分为线性插值函数和高次插值函数等。,单元坐标有笛卡尔直角坐标系和无因次自然坐标，有对称和不对称等。,7.1.2.2 变分的基本概念,这里需要首先介绍一下泛函的概念。泛函就是函数的函数，表示的是一个变量随某个函数而变化的关系。例如：,S( )=,(7.1.7),S( )的值取决于函数 (x)，因此，S( )就称为函数 (x)的泛函。,当待求函数由 变为 1= + 时，泛函的增量可以表示为,=,= + +,(7.1.8),其中，,=,(7.1.9),即泛函增量的线性部分就称为泛函的一阶变分或变分，其余的高阶项则分别称为二阶变分、三阶变分。,泛函的极值条件是其变
5、分为零，即 =0。,通过化简整理可知：泛函欲取极值，则函数就必须满足微分方程,(7.1.10),这个方程就称为欧拉方程。因此，泛函求极值的变分问题可以转化为求解欧拉方程的问题。只要能够构成一个泛函使其相应的欧拉方程为所求问题的微分方程，那么就可以把所求问题转化为等效的泛函求极值的变分问题。,7.1.2.3 有限单元法的求解过程,有限元方法的解题步骤可归纳为： 建立积分方程； 区域单元剖分； 确定单元基函数； 单元分析； 总体合成； 边界条件的处理； 解有限元方程。,7.1.3 有限体积法,有限体积法（Finite Volume Method，FVD），又称控制体积法、广义差分法。其基本思路是：
6、将计算区域划分为一系列不重叠的、形状规则或不规则的单元或控制体，将待解的微分方程对每一个控制体积分，得出一组离散方程。其中的变量定义在控制体的形心，是网格点上的因变量的数值。根据控制体内质量、动量守恒定律列出质量、动量平衡方程，在计算出通过每个控制体边界沿法向输入输出量后，对每个控制体分别进行质量和动量平衡计算，即可求出待求未知量。,7.1.4 边界单元法,边界单元法（Boundary Element Method，简称BEM），又称边界积分方程边界元法。它以定义在边界上的边界积分方程为控制方程，通过对边界单元插值离散，化为代数方程组求解。,边界元法主要有以下几个特点： 由于只需对边界进行离散
7、和插值，使解题的维数降低一维，大大减少了工作量； 由于处于边界上的奇异解在线性代数方程组的系数矩阵中会有最大的对角线主元，因此，代数方程组不会是病态的，可以减少计算误差的积累； 离散化的误差只发生在边界，而域内函数值和其导数值是直接用解析公式计算的。函数值和其导数值的计算精度是相同的。,7.2 参数率定常用的数学方法,7.2.1 最小二乘法,7.2.1.1 一般最小二乘法的原理,在研究某一个问题时，往往通过建立一个模型来求得某些量的理论值，通过实验与观测手段可以得到其观测值。由于种种原因，如模型不完全正确以及观测有误差等，理论值与观测值会存在差距，这些差距的平方和H=(理论值-观测值)2可以作
8、为理论与实测符合程度的度量。通常，理论值中包含有未知参数（或参数向量），最小二乘法要求选择的参数值，使H达到最小。因此，最小二乘法的直接意义是作为一种估计未知参数的方法。,7.2.1.2 全最小二乘法的原理,全最小二乘法的原理。给定超定程 ，全最小二乘法是求出解向量 ，满足相容程 其中 和 是A和b的最佳逼近，由以下优化问题决定：,（7.2.4）,满足,若令 ， 。E，r分别表示 和 的逼近误差，则式（7.2.4）可表示为,（7.2.5）,为Frobenius范数。,7.2.2 遗传算法,7.2.2.1 遗传算法的原理,遗传算法的主要思想来源于达尔文的生物进化论，适者生存、自然选择、优胜劣汰是
9、遗传算法的主要指导原则。通过自然选择、遗传、变异等作用机制，逐步提高各个个体的适应性。遗传算法以一种群体中的所有个体为对象，并利用随机化技术指导对一个被编码的参数空间进行高效搜索。其中，选择、交叉和变异构成了遗传算法的遗传操作；参数编码、初始群体的设定、适应度函数的设计、遗传操作设计、控制参数设定五个要素组成了遗传算法的核心内容。,7.2.2.2 遗传算法的基本步骤,其计算流程如下：,（1）编码；（2）初始群体的生成；（3）适应性评估检测；（4）选择；（5）交换；（6）变异。,流程图如下图所示,简单的遗传算法流程图,7.2.2.3 GA求解多目标问题的方法,GA求解多目标问题中的相关方法：,权
10、重法（weight） 目标规划法(Goal Programming) 目标达成法（Goal Attainment） 其他方法：权重平均排序法、非繁殖遗传算法、非控分选遗传算法等。,7.2.3 SCEUA优化算法,7.2.3.1 SCEUA算法的特点,SCE-UA法具有以下特点或优点：,在多个吸引域内获得全局收敛点； 能够避免陷入局部最小点； 能有效地表达不同参数的敏感性与参数间的相关性； 能够处理具有不连续响应表面的目标函数，即不要求目标函数与导数的清晰表达； 能够处理高维参数问题。,7.2.3.2 SCE-UA的计算过程,SCE-UA 算法的一般步骤如下：,（1）生成样本； （2）样本点排序
11、；（3）复合形划分；（4）复合形个体演化；（5）混合复合形；（6）检查收敛性；（7）检查复合形数目的缩减。,流程图如下图所示,SCE-UA算法的流程图,7.2.4 贝叶斯方法,7.2.4.1 贝叶斯方法的原理,贝叶斯理论认为未知参数是一个随机变量，记为 。它的估计值则是此随机变量的一个抽样值。在具体进行观测之前，根据过去的经验，人们对参数 已积累了一些知识。虽然参数 的具体值未知，但它服从概率分布 （即先验分布）。贝叶斯理论观点认为获得样本X的目的是对 的先验知识（体现在先验分布 ）进行调整，在获得样本 后，标定出参数 在给定时的条件分布 （即后验分布），而这个条件分布就反映了人们对参数 的新
12、认识。,7.2.4.2 贝叶斯方法的特点,贝叶斯方法的主要特点是在获得后验分布后，即使丢掉总体信息和样本信息，也不影响对参数的统计推断。此外，将观察数据的不确定性和因估计和预测中的误差而引起的不确定性有效结合起来，是贝叶斯方法的另一大特点。,7.3 参数灵敏度分析的数学方法,7.3.1 扰动分析法,扰动分析法是一种最简单的参数灵敏度分析方法，即在某个参数最佳估计值附近给定一个人工干扰（如参数值增减10），并计算参数在小范围内产生波动所导致的模型输出的变化率。,扰动分析方法的计算思路十分简单，但其结果强烈依赖于优化算法的选择。,7.3.2 RSA方法,RSA方法（Regionalized Sen
13、sitivity Analysis）是一种有效的全局灵敏度分析方法，由Hornberge和Spear于1978年提出的。同时RSA方法还是一种基于行为和非行为的二元划分来进行参数识别的方法，即给定一组参数，如果系统的模拟满足事先设定的条件，那么这组参数就是可接受的，否则是不可接受的。,它的特点是将优化条件进行弱化，用一些可以用定量或定性语言描述的条件来决定参数的取舍。,7.3.3 GLUE方法,GLUE方法（Generalized Likelihood Uncertainty Estimation）是一种度量模型不确定性的方法，同时也是一种全局参数灵敏度分析的方法，由Beven于1992年提出。,GLUE方法不同于RSA方法对参数集“是”和“否”的二元划分，而是采用似然度对不同的参数进行区分。GLUE方法既考虑到最优即最好这一直观事实，也避免了采用单一的最优值进行预测而带来的风险。,ZHENGZHOU UNIVERSITY,Thank You !,
