1、1函数与导数的复习内容说明（1）函数是高中数学中十分重要的内容，函数思想是思考与解决数学问题的重要思想，它融会了待定系数法、配方法、换元法、反证法、构造法等基本数学方法及数形结合、分类与整合、转化与化归等重要思想. 在解题中涉及的一些数学逻辑方法有：归纳法、演绎法、反证法、分析法、综合法、一般问题特殊化、抽象的问题具体化、复杂的问题简单化等。函数是高中数学最重要的内容，是初等数学与高等数学的主要衔接部分，同时也是贯穿了整个中学数学的一根主线.具有概念性强，内容丰富，与其他知识（特别是方程、不等式、导数等知识）联系广泛等特点，对函数怎么重视都不过分如函数的性质、函数的图象和函数的综合应用每年都炙
2、手可热，特别是二次函数已经成为高考永恒的主题.近年来高考试题对函数的考查更加灵活，函数与不等式、函数与数列、函数与解析几何、函数与三角，甚至是函数与向量相结合的问题层出不穷，除了传统考查形式外，花样还不断翻新，已经发展到了挖掘函数本质、活用性质、新定义和新情境等高层次水平上 深度考查了学生的逻辑思维能力和数学思想方法的应用。（2）导数是高等数学的最为基础的内容，是中学必选的重要知识之一由于导数应用的广泛性，可为解决所学过的函数问题提供更有效的工具或更一般性的方2法，导数方法与初等方法相比对技巧性的要求有所降低，因此运用导数方法可以简捷地解决相关问题可以说导数的加入使函数这部分内容更加充盈，也显
3、得更加重要复习策略一深刻理解函数概念，丰富其内涵.1定义域求函数定义时有以下几种情况：分式的分母不为零；偶次方根的被开方数不小于零；对数的真数为正且底数为不等于 1 的正数；零次幂的底数不为零2解析式：主要方法： 1）待定系数法，如果已知函数解析式的构造时，用待定系数法；2）换元法或配凑法，已知复合函数f g(x)的表达式可用换元法，当表达式较简单时也可用配凑法；如： )91(log)(3xfx求 ： 的值域)22ff3）消参法，若已知抽象的函数表达式，则用解方程组消参的方法求解 f(x)；另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法 头htp:/w.xjkygcom126t:/
4、.j3值域：常用求法 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 配方法、复合函数法、分离系数法（ 、单调性法、)2fexdcba数形结合法、换元法（ ） 、cbxay2)(3反函数法、 法、不等式法及导数法等 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 4反函数1） 求法:如求 的反函数)1(1xfy2）性质：单调性，奇函数，几何性质如: 求 ),0()( bcadbaxdcf 的反函数的对称中心5函数的奇偶性与单调性：奇偶性：证明与判断方法、已知奇偶性求
5、参数、奇偶性的应用，常见奇函数。如： ，)1(log2xya1xay等)1(logxya单调性：证明与判断方法、已知单调性求参数、单调性的应用(如： 与 )021x0()(21xff抽象函数：用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j常见抽象函数如下表所示：4)(21xf(f对数函数，形如： xyalog)(21f(xfx指数函数，形如：xy)()(21xfxf正比例函数，如： )0(kxy)()(21xfxf幂函数，形如：等2xy21212xfxf余弦函数，形如： xycos6函数对称性、周期性及综合应用1） 对称性：中心对称 如： )()(xaf
6、xfb轴对称 如： )()(ffxax其它对称如：若 ， 则axfx1)( 121常数)21f推广到 则bkx(21x常数)21fxf52）周期性：周期 )()(axffb半周期 )()(ffx1af四分之一周期如： ，)(1)(xfaxf周期性对称性的关系：有两个对称性的函数一定具有周期性7导数在理解极值概念时要注意以下几点：1）函数 f（ x）在点 x0处有导数，则函数 f（ x）在该点处必有切线，且导数值等于该切线的斜率，但函数f（ x）在点 x0处有切线，函数f（ x）在该点处不一定可导.2）极值点是区间内部的点，不会是端点；3）若 f（ x）在（ a， b）内有极值，那么 f（ x）
7、在（ a， b）绝不是单调函数；4）极大值与极小值没有必然的大小关系；5）一般的情况，当函数 f（ x）在 a， b上连续且有有限个极值点时，函数 f（ x）在 a， b内的极大值点和极小值点是交替出现的；6）导数为 0 的点是该点为极值点的必要条件，不是充分条件（对于可导函数而言）.而充分条件是导数值在6极值点两侧异号.例 1 是定义在 R 上的以 3)(xf为周期的奇函数，且 ，则方程0)2(f=0 在区间（ 0，6）内解的个数的)(xf最小值是 （ ） （A）4 （B） 5 （C ）6 （D）7解析：由 ， ，所以0)2(f 3T；又因为 是定)1(f )(xf义在 R 上的的奇函数，故
8、 ，0f0)3(f 0)5()4()3()2(1 ffff又因为 )()(,()( xfxfxff 所以 )3函数图象关于 对称，所以0,2，故选 D293ff例 2 （2006 年重庆卷)已知定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x.（）若 f(2)=3,求 f(1);又若 f(0)=a,求 f(a);（）设有且仅有一个实数 x0,使得 f(x0)= x0,求函数 f(x)的解析表达式.分析：（）因为对任意 x R， 有 f(f(x)-x2 + x)=f(x)- x2 +x，所以f(f(2)- 22+2)=f(2)- 22+2.又由 f(2)=3，得
9、f(3-22+2)-3-22+2，即 f(1)=1.若 f(0)=a，则 f(a-02+0)=a-02+0，即 f(a)=a.7（）因为对任意 x R， 有 f(f(x)- x2 +x)=f(x)- x2 +x.又因为有且只有一个实数 x0,使得 f(x0)= x0.所以对任意 x R， 有 f(x)- x2 +x= x0.在上式中令 x= x0,有 f(x0)-x + x0= x0,又因为 f(x0)= x0，所以 =0，故2x0=0 或 x0=1.若 x0=0，则 f(x)- x2 +x=0，即f(x)= x2 x.但方程 x2 x=x 有两上不同实根，与题设条件矛质，故 x2 0.若 x
10、2=1,则有 f(x)- x2 +x=1，即 f(x)= x2 x+1.易验证该函数满足题设条件.综上，所求函数为f(x)= x2 x+1（x R）.例.定义在 R 上的函数 y=f(x)，f(0)0，当 x0 时，f (x)1，且对任意的a、b R，有 f(a+b)=f(a)f(b)， （1）求证：f(0)=1；（ 2）求证：对任意的 xR，恒有 f(x)0；（3）求证：y=f (x)在 R 上单调递增简析：令 即可得（1）0,ba令 ， 即可得2x0)2(xf（2）设 ，则21x1).(2xf01)()( )()()(212 222 xfxf f xfff即可得（3）例函数 (x)的定义域
11、为 R，并8满足以下条件： 对任意 x R，(x)； 对任意， R，有 (x)(x) y ( )31()求 ()的值；()求证：(x)在上是单调增函数；()若 abc，且 b = ac,2求证： (a)+(c) 2(b)分析： 令 x=0,y=2, (0)= (0) 2得 (0) x ,x ( ), x x , 12,12)3()3()(12 ffxff=( ) -( )312x( ),3x 3x12( ) ( )31x32x (a)+(c) afcf3)1(2 caf3)1(因为 bfbf3)(2)(故只需证 ca因为 b29所以 得证bca2例下列命题中，正确的是（ ） 若函数 f（ x）
12、在点 x0处有极限，则函数 f（ x）在 x0处连续； 若函数f（ x）在点 x0连续，则函数 f（ x）在 x0处可导； 若函数 f（ x）在点 x0处取得极值，则 f （ x0）0； 若函数在点 x0有 f （ x0）0，则 x0一定是函数的极值点.A0 个 B1 个 C2 个 D3 个解析： 是错误的，如 f （ x）在点 x0 处不连续；是错误的， x10如 f（ x） x在 x0 处连续，但不可导；是错误的， f（ x）在点 x0不一定可导，反例同；是错误的，如f（ x） x3在 x0 的导数为零，但 x0不是函数的极值点. 答案 A二熟悉一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对
13、数函数、三角函数、对勾函数、分区间单调函数（） 、带绝对值符号的函)0(abxy数、分段函数、三次函数等的性质及图象，加强以这些函数为载体的逻辑思维训练特别重视二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的相关问题三个“二次”是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j复习时要理解三者之间的区别及联系，10掌握函数、方程及不等式的思想和方法1二次函数的解析式有四种形式：（1）一般式：y=ax 2+bx+c（
14、2）顶点式：y=a(x-m) 2+n,其中(m,n)是抛物线的顶点。（3）两根式：y=a(x-x 1)(x-x2)，其中x1、x 2是方程 ax2+bx+c=0 的两根。(4)三点式： 0121)0()1(2 fxffxfffy 2二次函数的应用1）给定区间的值域2）二次方程根的分布(注意区别在某 区间内有两根和至少有一根)3） 的应用4）与二次函数有关的参数范围问题5）二次函数与不等式的结合例.已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c 和一次函数 g(x)= bx，其中 a、b、c 满足abc,a+b+c=0,(a,b,cR) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j(1)求证 头h
15、tp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco两函数的图象交于不同的两点A、B；(2)求线段 AB 在 x 轴上的射影 A1B1的长的取值范围(1)证明：由 消去bxyca2y 得 ax2+2bx+c=0=4b2-4ac=4(-a-c)2-4ac=4(a2+ac+c2)=4 (a+ c243a+b+c=0,abc,a0,c0,011,即两函数的图象交于不同的两点 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j(2)解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco设方程 ax2+bx+c=0 的两根为 x1和 x2,则 x1+x2= ，x 1x
16、2= aba|A1B1|2=(x1x 2)2=(x1+x2)24x 1x22244()bcbccaaa2 13()1()4abc,a+b+c=0，a0，c ac c，解得 (2， )21 的对称轴)(4)( acaf方程是 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (2， )时，aca21为减函数|A1B1|2(3,12),故|A 1B1|( )3,例设二次函数 f(x)= ax2+bx+c，方程 f(x)-x=0 的两根 x1,x2满足 0bn+1bn+2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 则以 bn、b n+1、b n+2 为边长能构成一13个三角形的充要条件是 b
17、n+2+bn+1bn，即( )2+( )10，解得 a5( 1) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 5( 1)0(x1 x2).设g(x)= f(x)- f(x1)+f(x2),则 g(x1)g(x2)= f(x1)-O-2 2xy1-1-212O x-2-2 21-112O-24 xy1-1-212O-2 2 xy-124A B C D（ ） （ ） （ ） （ ）18f(x1)+f(x2) f(x2)-2f(x1)+f(x2)= f(x1)-f(x2)20(f(x1) f(x2),所4以在(x 1,x2)上必有一个实根。（2）因为 x1,m- ,x2成等差数列，所以x1+x
18、2=2m-1.由 2f(m)= f(x1)+f(x2),得：a(2m 2-x12-x22)+b(2m-x1-x2)=0,将上式代入，得：b=-a(2m2-x12-x22),所以 x0= 221212 mxmxmab 例 13在 这四xyxyx cos,log, 22个函数中，当 时，使1021恒成立的函数的)()()2(1 fxfxf 个数是（ ）(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析：满足性质的是上凸函2)()()2(11 xffxf 数分别作出这四个函数的图象，在为上凸函数的有 ，而),0( xy2log为 上的下凸函数，2xyx)1,0(在 为上凸函数，在cos4,19为下凸函数，故
19、选 B)1,4例 14设函数 f（ x） xsinx（ xR）. （1）证明f（ x+2k） f（ x）2 ksin x，其中k 为整数；（2）设 x0为 f（ x）的一个极值点，证明 ； （3）设20421)(ff（ x）在（0，+）内的全部极值点按从小到大的顺序排列为a1， a2， an，证明 an+1 an（ n1，2，）. 2解析:（1）利用三角函数的周期性；（2）求导变形；（3）满足 f（ x）0的正根 x0都为 f（ x）的极值点，然后再作差 an+1 an求范围.证明(1)由函数 f（ x）的定义，对任意整数 k，有 f（ x+2k） f（ x）（ x+2k）sin（ x+2k）
20、 xsinx（ x+2k）sinx xsinx2 ksin x.（2）函数 f（ x）在定义域 R 上可导， f（ x）sin x+xcosx，令 f（ x）0，得sinx+xcosx0.显然，对于满足上述方程的 x 有cosx0，上述方程化简为 xtan x.如图所示，20此方程一定有解. f（ x）的极值点 x0一定满足 tanx0 x0.由 sin2x ，得 sin2x0sin2xsin2x+cos2x tan2x1+tan2x.因此， x02sin2x0tan2x01+tan2x0 0)(f. 04x（3）设 x00 是 f（ x）0 的任意正实根，即 x0tan x0，则存在一个非负
21、整数 k，使 x0（ +k，+ k） ， 2即 x0在第二或第四象限内.由式，f（ x）cos x（tan x+x）在第二象限或第四象限中的符号可列表如下：x（ 2+k， x0）x0（ x0，+ k）k为奇数 0 +f （ x）的符号k为偶数+ 0 所以满足 f（ x）0 的正根 x0都21为 f（ x）的极值点.由题设条件， a1， a2， an，为方程 xtan x 的全部正实根且满足a1 a2 an，那么对于n1，2， tan（ an+1 an）（tan an+1tan an）/（1+tan an+1tanan）= -（ an+1 an）/（1+tan an+1tanan）. 由于+（
22、n1） an+（ n1） 2， +n an+1+ n，则 2 an+1 an ， 由于 2 32tanan+1tanan0，由式知tan（ an+1 an）0.由此可知 an+1 an必在第二象限，即 an+1 an.综上， an+1 an. 2四增强应用函数思想及方法的意识，解决相关问题例 15：已知，设)(1312*NnSn ，试确定实数 的11)(nnSf m取值范围，使得对于一切大于 1 的正整数 ，n不等式 2)(log)(mf恒成立2)1(log201m22分析：本例 无法求和，常规数列方)(nf法不起作用，需用非常规手段注意要使不等式 2)1(log)(mnf恒成立，只需不等式：
23、2)1(log201m2in )1(l)( fm恒成立问题转化为求2)1(log201m注意 ，可证函数in)(f 1是增函数，这样把问题转化为解不等f式，得到 2,251mm且例 16已知数列a n各项均为正数，Sn 为其前 n 项和，对于任意的 nN*，都有 4Sn=(an+1)2(1)求数列a n的通项公式；(2)若 2ntS n 对于任意的 nN*成立，求实数 t 的最大值。分析：利用 Sn-Sn-1=an(n2)易得an=2n-1，从而 Sn=n2 则问（2）转化为t 恒成立，故只需求出数列2n的最小项，有以下求法：2nnb23法一：研究数列b n的单调性。法二：数列作为一类特殊的函
24、数，欲求 的最小项可先研究连续函数2n的单调性，求导得2(0)xy，4ln2x易得 为函数 的极小值ln2x2xyx也是最小值点，又 ，所llnlee以 而 ，故23ln342b389tb例 17甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边 A 处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸 40 km 的 B处，乙厂到河岸的垂足 D 与 A 相距 50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米 3a 元和 5a 元，问供水站 C建在岸边何处才能使水管费用最省？解法一：根据题意知，只有点 C 在线段 AD 上某一适当位置，才能使总运费最省，设 C 点距 D 点 x
25、 km,则BD =40,AC=50x,BC= 22240B又设总的水管费用为 y 元，依题意有：y=30(5ax)+5a (0x50)240x24y =3a+ ,令 y=0,解得2405xax=30在(0,50)上，y 只有一个极值点，根据实际问题的意义，函数在 x=30(km)处取得最小值，此时 AC=50x=20(km)供水站建在 A、D 之间距甲厂 20 km 处，可使水管费用最省.解法二：设BCD= ,则 BC=,CD= , sin40 )20(,cot40ct5AC设总的水管费用为 f( ),依题意，有f( )=3a(5040cot )+5a sin40=150a+40a sinco
26、35f ( )=40a 22 sinco5340sin)(sin)co35()cos35 a令 f( )=0,得 cos = 53根据问题的实际意义，当 cos = 时，函数取得最小值，此时 sin = ,cot = ,544325AC=50 40cot =20(km),即供水站建在A、D 之间距甲厂 20 km 处，可使水管费用最省.函数、导数的综合问题往往以压轴题的形式出现，解决这类问题要注意：(1)综合运用所学的数学思想方法来分析解决问题；(2)及时地进行思维的转换，将问题等价转化；(3)由函数与导数为载体的不等式证明的方法多，应注意恰当运用。特别要重视比较法、分析法等通法以及放缩法的灵活运用；(4)可利用导数这一工具来解决函数的单调性与最值问题.（5）合理的猜想，广泛的联系（6）消除对多字母、多变元的问题恐惧。
