1、68第 3 章 函数的导数 本章讲述导数的定义和计算、微分学的各种中值定理、微分学的应用等内容.3.1 导数的定义物理背景 一个质点在直线上运动,该质点的位置是以时间 为自变t量的函数 .在时刻 ,质点的位置是 ；在时刻 ,质点的()ft0t0()ft0位置是 .在 到 这段时间内,质点运动的位移为0t,故平均速度为()(ftft.00()(ftft当 很小时,有理由认为该质点的速度不会有很大改变,因而t存在且有限,称之为质点在时刻 的瞬时速度.00()(limtftf0t几何背景 设 上的函数 的图像是一条“光滑曲线”,并设它,abf在曲线上的点 处的切线不平行于 轴.过点 和曲0()xf
2、y0(,)xf线上的另一点 作这条曲线的割线,则割线的斜率0,()x便是.00()(ffx当 很小时,割线便很接近于曲线在 处的切线.因而x,)fx存在且有限,恰为这条曲线在 处的切00()(limxffx0(,)fx线的斜率.定义 3.1 设 是 上的函数,其中常数 .若极限f(,)x690()()limlimhtxfxff存在且有限,则称 在 处可导；将该极限记为 ,称为 在 处f ()fxfx的导数.定义 3.2 设 是 上的函数,其中常数 .若极限f,)x00()limlimhtxfft存在且有限,则称 在 处右可导；将该极限记为 ,称为 在fx()fxf处的右导数.类似地,能定义 在
3、 处的左导数 .显然 在 处xfx可导 在 处左、右可导,并且 .f ()xf定义 3.3 设 是以 为左、右端点的区间.若 上的函数 满足I,abIf(1) 当 是 的内点时, 在 处可导；xf(2) 当 时, 在 处左可导；bIf(3) 当 时, 在 处右可导,aa则称 是 上的可导函数.此时,通常记fI(),()=(),.fxIfbfaI是 的 内 点 ；如 果 ；如 果显然 仍然是 上的函数,称为 的导函数.fIf导数的几何意义 是函数 的图像在 处的切线的斜0()fx 0(,)xf率； 是函数 的图像在 处的法线的斜率.01()fx 0(,)f定理 3.1 若函数 在 处可导,则必
4、处连续；若在 处右可导,f0xx0x则必 处右连续；若在 处左可导,则必 处左连续.反之,通常不0 0正确.70证: 仅证第一个结论. 0 0 000()lim()()limli()x xxff,故 ,即 在 处连续.0()fx0 f例 在 处不可导.证: ； ,故 在0()li1xf0()()li1xf()fx处不可导.0练习题 3.1( ) 2,3,4,7,8,9,10.132P问题 3.1( ) 1.713.2 导数的计算例 1 ； . (利用2.8 的例 2)0c1(),nxA例 2 ； .siosc)sinx证: (利用 )0ilmx(1) ,故sinsi2si2hh.00sini(
5、)in(i)l lmcocoshhhxx xx(2) ,故cos()cs2isi2.0 0ino()limli sih hhxx xx例 3 ； ,1(ln),()xe 1(log),()lnlnxaa.,1a证: (利用2.8 的例 1,即利用 )lim1xxe(1) 0log()log)iaaahx；00n1ln1limi()llhttxx(2) .00()ililnhhxhaaa例 4 , .1xA证:(利用2.8 的例 1,即利用 )1limxxe.11000()()limlilihhtxtx x 72定理 3.2 (求导的四则运算) 若 都在 处可导,则 都,fgx,fg在 处可导；
6、在附加上条件“ 处处不取零值”后, 也在 处可导.x x具体地说,有如下求导法则:(1) , 是常数；(线性性质)()()()fgxfgxA(2) ；f(3) . (可视为(2)的推论)2()()fxfxgg特别地,多项式函数、三角函数和有理函数都是他们各自定义域上的可导函数.证: (1) 显然.(2) 0()()()limhfxghfxgfg0 ()()lihffhfxg0 0()(li )lim()h hfxf gxgxf.fgf(3) 01()()limhxfxg0()()lihffhgxx01()()li()hffgffxghg 73.2()()fxgfx例 5 ； .21(tan)c
7、osx 21(t)sinx解: (1) ；22iico(2) .22cosins1i inxxx定理 3.3(复合函数求导的链式法则) 若 在 处可导, 在 处可tf()t导,则 在 处可导,并且 .ft()()ftf证: (),)()()()(), ,fthfththtfthftft t ；故 .()ft0()(limhfth(ft定理 3.4(反函数的求导) 设 是区间 上严格单调的连续函数,fI.若 在 处可导,并且 ,则 在 处可导,0xIf0x0()x1f0()yfx并且 .(可视为复合函数求导的链式法则的推1()y10(fy论)证: .0 01100 0()()1limlim()(
8、)y xffyfxf10()fy注记 计算导函数的所有方法基本上都依赖于求导的线性性质、乘法法则和链式法则.例 6 , .1()x0A解: .lnln1()xxex74例 7 ；21(arcsin),1xx；o,；21(arctn),xx.解: ；21(arcsi)os(arcin)xx；x；221(arctn)s(arct)xx.ioo命题 每个初等函数都是其定义域(可能除去某些特殊点)上的可导函数.例 8(对数求导法) 求幂指函数 和 的导函数,其中()vxu1()nku处处取正值.1,nu解: (1) 在等式 两边同时求导,便得()ll()vxu,()ln()vx ux .()()lvx
9、vxuv(2) 在等式 两边同时求导,便得11lnn()kkux,11()()knknkuxx.111()()nnnkkkuux75练习题 3.2( ) 1(2,5,8,11,12,14,15,17,18,19,25,29,30),2,5.14P问题 3.2( ) 2,3.3例 9 (双曲函数的导数) 双曲正弦、双曲余弦、双曲正切、双曲余切的导数分别为；2xeshchx；xcs；21shtxc.2ctsx解: ； .221hxtch221shxct shx例 10 (反双曲函数的导数) ；221ln(1),arcshxxxA；22l ,；211ln,xarcthxx .2l,12tx解:(1)
10、 记 ,则有yarcsh, , ；2ex210yyxe2241yxx76.22 211ln()xxx(2) 记 ,则有yarch, , ；2ex210yyxe2241yx.22ln(1)xx(3) 记 ,则有yarcth, , ；yex21()ye1yex.2ln2x(4) 记 ,则有yarcth, , ；yex21()ye1yxe.21ln2xx下面是必须熟记的一些求导公式 ff ff(常数)c0x1xxexelnalnaogaxlnxasinxcosxsirc2177cosxsinxcosarx21xtan21cotncoxsinxarcox21x2eshh2l(1)shxcsnarcxx
11、21xsth21chxl21thxcsrcx21x练习题 3.2( ) 3,4,6,8.14P问题 3.2( ) 4,5,6.3783.3 高阶导数高阶导数 若 是区间 上的可导函数,则 是 上的函数,称 为fIfIf在 上的(1 阶)导函数；若 又是 上的可导函数,则 是fIfI()f上的函数,称 为 在 上的 2 阶导函数；依此类推,可定义 在fI上的 阶导函数 .(没有任何困难,也能定义区间 上复值函数In()n I的 阶导函数 )f(f符号 设 是区间, ,则通常记 ；IA()():nnCIfCI()CI.显然, .1n21()()()()nCIIII 例 1 ； .()sii2nx(
12、)cossnx解: (1) 对 应用数学归纳法.A(2) 记 ,则 , ,从而cosinixex()ixyixyeixixe,()ii2ni.()()cscos)si()2nn nxxx例 2 将 次多项式 写成 的形状,其中 是给定的常()P0nkkaa数, 是待定的常数.01,na解: 易知存在常数 使得 .两边同时在01,na ()Px0()nkka处求各阶导数便得到xa79, , , .0()Pa1()a 2()!Pa()!nnPa故 .x0!knkx定理 3.5(Leibniz 公式) 设 都是区间 上的 阶可导函数,则,fgI也是 上的 阶可导函数,并且fgIn,()()(0nnk
13、kfgf其中 , .!()knC()(0),fg证: 对 应用数学归纳法.A.1(10)(1)(1)0kkfgfgfgfgfg假定 ,则()()(0nnkkff(1)(1)()(10nnknkkfgfgf(1)(10)(1nnkff(1)(1)(1)(1)0()nnknnkfgfg(1)(10)(1)(1)1nnknnnkfffg .(1)(0nnkkfg练习题 3.3( ) 1(2,6,8,10),3(1),5.147P问题 3.3( ) 2,3,4,7,8.8803.4 微分学的中值定理定义 3.4 设 是开区间 上的函数, .若 ,使得当fI0xI0时成立 ,则称 是 的一个极大值,0,
14、xI0()xf()ff是 的一个极大值点；类似地,可以定义 的极小值和极小值点；0f的极大值和极小值统称为 的极值, 的极大值点和极小值点统ff称为 的极值点.f定理 3.6(极值点的必要条件) 若函数 在其极值点 处可导,则f0x.0(fx证: 不妨设 是 的极大值点.取 ,使得当 时0f00(,)成立 .故()f,00()limxfxf,00(lixffx 从而 .0)()fff定义 3.5(无关紧要的术语) 设 是开区间 上的函数, .若 在I0xIf处可导,并且 ,则称 是 的一个驻点.于是,若函数 在0x0()fx0xf其极值点处可导,则该极值点便是 的驻点.易知 的驻点未必是f的极
15、值点(例如 是 的驻点,但并非其极值点).f 3()f定理 3.7 (Rolle 中值定理) 若函数 在有限闭区间 上连续,在fab81上可导,并且 ,则必 ,使得 .(注意()ab()fab()ab()0f其几何意义)证: 当 是常数时,结论显然成立.当 不是常数时, 在 上的f ff,ab最大值 和最小值 中必有一个异于 ,不妨设Mm()abM()f.这时, 使得 ,故 是 的极大值点,从而()fb(,)abMff.0定理 3.8(Cauchy 中值定理的另一形式) 若函数 在有限闭区间,fg上连续,在 上可导,并且 ,则必 ,使得ab(ab()gab()ab.)ff证: 记 ,则 在 上
16、连()() ()fbaxfagx,ab续,在 上可导,并且 .故 ,使得ab()0,0()fbafg即 .()()ffg定理 3.9( Lagrange 中值定理) 若函数 在有限闭区间 上连续,在fab上可导,则必 ,使得 .(注意其几何()ab(ab()bf意义)证: 在定理 3.8 中取 即可.()gx推论 1 若 是区间 上的可导函数,并且 ,则 必为常数.fI 0ff证: ,由 Lagrange 中值定理, ,使得212,x12()x82,即 .这说明 是常数.21()()0fxff21()fxff推论 2 (导函数的介值定理和零值定理) 若 是有限闭区间 上f,ab的可导函数, ,
17、则 介于 之间的实数 ,必)(fafb()fab和 使得 .作为推论,若 ,则必c(,bc0f使得 .)()0f证: 不妨设 .取 , ,满足afb12x12axb.1 2()()xf(1) .这时, 使得 .()fba,c()fafcb(2) .这时, 在 上连续,()fxa1x1()x.故 , 使得 ,从而()b1()yxb1y1()ffc,使得 .1ay1ffafc(3) .这时, 在 上连续,()fab()fbxx2a()a.故 ,使得 ,从而2x22()y2y2()fyc,使得 .()y2)fbfc推论 3 若 是区间 上的可导函数,则 也是区间.I()fI定理 3.10 (Cauc
18、hy 中值定理) 若函数 在有限闭区间 上连,g,ab续,在 上可导,并且 在 上处处不取零值,则必 ,)abg()ab()使得.()()ffgbga83证: 由 Rolle 中值定理和 在 上处处不取零值,便知g()ab.再利用定理 3.8 即得到结论.()gab注记 Rolle 中值定理、Lagrange 中值定理和 Cauchy 中值定理是彼此等价的,其中 Lagrange 中值定理尤其重要和便利,必须熟练掌握；这些中值定理中有价值的是 的存在性,而不必关注 的具体数值.例 自然对数的底 是超越数,即它不是以整数为系数的多项式的根e(代数数).证:(反证法)假定 使得 ,其中01,nC
19、A010nCe.设 是待定素数, 0,nCpA()()()!pppfxxx是 次多项式, .(1)r()0riiFf.()()01( ()rrxxixixi ieefefef当 时,在 上对函数 应用 Lagrange 中值定理,便知 kA,kx使得(0),(0)()kkeFef.k于是, 01()(0nCF1)knkFef.01(knnkkf取素数 足够大,便能使 .因此,只需证明pA1)1knkCef84即得出矛盾.当 时,0()nkCF0A1,2kn()0riif ()()10()(1)()()!r ijjppppppxkxkij xxkn ()1r ippppxkipxkn 整数.故 整数.1()nkCFp剩下要证 , 整数,0A0()即要证 , 整数.()()0()riiFf ()()10001()2!r ijjppxxij xn (1)01r ippxip (1)0()!()21r ipn xip n整数.1练习题 3.4( ) 3(3,4),4,5,8,9,10,11,12.15P问题 3.4( ) 1,2,5.6
