1、1专题： 图形的相似 复习课时分配：3 课时2014 年中考说明：1题型预测相似是解决函数和其它几何知识的工具，中考考法有 2 种，一是直接考查相似的基本概念和基本计算，题型一般为填空和选择，二是作为解决其它问题的工具，一般出现在压轴题中2知识梳理：图形的相似 相似图形的性质 相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积比等于对应边的比的平方三角形相似的概念 两个三角形相似的条件 射影定理 图形的位似 放大、缩小图形（用位似） 利用相似解决实际问题 知识技能目标 过程性目标知识要点 了解理解掌握灵活运用经历体验探索2应 用 :解 决 实 际 问 题3.面 积 的 比 等 于 相 似 比 的 平
2、方2.对 应 边 、 对 应 中 线 、 对 应 角 平 分 线 、 对 应 高 线 、 周 长 的 比 等 于 相 似 比1.对 应 角 相 等4.三 边 对 应 成 比 例3.两 边 对 应 成 比 例 且 夹 角 相 等2.两 角 对 应 相 等1.定 义图 形 的 运 动 与 坐 标用 坐 标 来 确 定 位 置位 似性 质识 别 方 法相 似 多 边 形 的 特 征概 念图 形 与 坐 标相 似 三 角 形相 似 的 图 形图形的相似3考点分布：图形的相似考点一 成比例线段与比例的性质 考点二 平行线分线段成比例定理(2013 年山东滨州)考点三 相似多边形的判定及性质 （2013
3、枣庄）考点四 位似图形及性质 (2013泰州)（2013孝感）考点五 黄金分割（2013威海）相似三角形 考点一 相似三角形的判定考点二 相似三角形的性质 考点三 网格中的三角形相似问题考点四 相似的实际应用考点五 相似与其它知识的综合 4.典型例题讲解考点一：相似三角形的判定命题方向：（1）相似基本图形得出比例关系；（2）动点问题，寻找能使两个三角形相似的点的位置例 1(2013 年山东淄博)在 ABC 中， P 是 AB 上的动点( P 异于 A， B)，过点 P 的一条直线截 ABC，使截得的三角形与 ABC 相似，我们不妨称这种直线为过点 P 的 ABC 的相似线如图 6421， A3
4、6， AB AC，当点 P 在 AC 的垂直平分线上时，过点 P 的ABC 的相似线最多有_条3例 2(2013淄博)如图，直角梯形 ABCD 中， AB CD， C90， BDA90，AB a， BD b， CD c， BC d， AD e，则下列等式成立的是( )A b2 ac B b2 ce C be ac D bd ae例 3（2013 上海）如图，已知在 ABC 中，点 D、 E、 F 分别是边 AB、 AC、 BC 上的点，DE BC， EF AB， 且 AD DB35，那么 CF CB 等于（ ）A58 B38 C35 D25.例 4（2013 湖北恩施）如图，在平行四边形 AB
5、CD 中， AC 与 BD 交于点 O， E 为 OD 的中点，连接 AE 并延长交 DC 于点 F，则 DF FC（ ）A14 B13 C23 D12 考点二、相似三角形的性质命题方向：（1）相似三角形的线段比的计算问题；（2）求相似三角形的周长之比；（3）求相似三角形的面积之比；（4）相似三角形的高、中线的比值问题例 1.（2013 云南省西双版纳州，8，3 分）如图 3， AB CD， ，则 AOB 的周长与AOOD 23 DOC 的周长比是 ( )A B C D25 32 49 23例 2(2013湘西)如图，在 ABCD 中， E 是 AD 边上的中点，连接 BE，并延长 BE 交
6、CD 的延长线于点 F，则 EDF 与 BCF 的周长之比是( )A12 B13 C14 D15 4例 3(2013 年北京)如图 6414，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点 A，在近岸取点 B， C， D，使得 AB BC， CD BC，点 E 在 BC 上，并且点 A， E， D 在同一条直线上若测得 BE20 m， EC10 m， CD20 m，则河的宽度 AB( )A. 60 m B. 40 m C. 30 m D. 20 m例 4(2013 年江苏无锡)如图 6416，在梯形 ABCD 中， AD BC，对角线 AC， BD 相交于O， AD1， BC4，则 AOD 与 B
7、OC 的面积之比等于( )A. B. C. D.12 14 18 116例 6 14 如图， ABC 是斜边 AB 的长为 3 的等腰直角三角形，在 ABC 内作第 1 个内接正方形A1B1D1E1（ D1、 E1在 AB 上， A1、 B1分别在 AC、 BC 上），再在 A1B1C 内接同样的方法作第 2 个内接正方形 A2B2D2E2，如此下去，操作 n 次，则第 n 个小正方形 AnBnDnEn 的边长是 例 7.26（2013 泰安）如图，四边形 ABCD 中，AC 平分DAB，ADC=ACB=90，E 为 AB 的中点，（1）求证：AC 2=ABAD；（2）求证：CEAD；（3）若
8、 AD=4，AB=6，求 的值考点三 网格中的三角形相似问题命题方向：（1）网格中的位似问题；（2）网格中的相似三角形问题例 1. （2013青岛）8、如图，ABO 缩小后变为 OBA ，其中 A、B 的对应点分别为BA、， 、 均在图中格点上，若线段 AB 上有一点 ),(nmP，则点 在 上的对应点P的坐标为（ ）A、 ),2(nm B、 ),(nm C、 2, D、 )2,(n 5例 215 （3 分） （2013 宜昌）如图，点 A，B，C ，D 的坐标分别是（1，7） ， （1，1） ，（4，1） ， （6，1） ，以 C，D，E 为顶点的三角形与ABC 相似，则点 E 的坐标不可能
9、是（ ）A（6，0） B （6，3） C （6，5） D（4，2）例 39 （3 分） （2013 孝感）在平面直角坐标系中，已知点 E（4，2） ，F（ 2，2） ，以原点 O 为位似中心，相似比为，把 EFO 缩小，则点 E 的对应点 E的坐标是（ ）A （2 ，1 ）B （8 ，4 ） C （8 ，4 ）或（8，4 ）D （2 ，1 ）或（2，1 ）考点四 相似的实际应用命题方向：相似三角形在测量中的应用 例 1（2013 北京）如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点 A，在近岸取点 B， C， D，使得 AB BC， CD BC，点 E 在 BC 上，并且点 A， E， D
10、在同一条直线上若测得 BE20 m， EC10 m， CD20 m，则河的宽度 AB 等于（ ）A60 m B40 m C30 m D20 m考点五 相似与其它知识的综合6命题方向：（1）用相似知识解决函数问题；（2）相似与圆的综合问题例 1。12 （3 分） （2013 威海）如图，在平面直角坐标系中，AOB=90 ，OAB=30 ，反比例函数 的图象经过点 A，反比例函数 的图象经过点 B，则下列关于 m，n 的关系正确的是（ ）A m=3nB m= n C m= n D m= n例 2（2013 四川广安）25. 如图 11，在 ABC 中， AB=AC，以 AB 为直径作半圆 AO，交
11、 BC于点 D，连接 AD，过点 D 作 DE AC，垂足为点 E，交 AB 的延长线于点 F.（ 1）求证： EF 是 AO 的切线.（2）如 果 O 的半径为 5， 4sin=5，求 BF 的长.例 3（2013黄冈） 如图 225，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，AD 和过 C 点的直线互相垂直，垂足为 D，且 AC 平分DAB.(1)求证：DC 为O 的切线；(2)若O 的半径为 3，AD4，求 AC 的长75方法总结1、相似三角形的基本图形：(5)2判断三角形相似，若已知一角对应相等，可先考虑另一角对应相等，注意公共角或对顶角或同角（等角）的余角（或补角）相等，若找不到第二对角
12、相等，就考虑夹这个角的两对应边的比相等；若无法得到角相等，就考虑三组对应边的比相等。3直角三角形相似的条件：1）两直角边对应成比例的两个直角三角形相似；2）有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似；3）有斜边和一直角边对应成比例的两个直角三角形相似；4）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似.4在综合题型中，存在三角形问题相似时，一定要找准原三角形的基本图形，弄清三边比值，特别是两个特殊三角形5相似三角形如果没有确定对应边，则需要分情况讨论。6“三等角问题”是这样的，三个顶点在同一直线上的三个角相等，那么就有三角形相似的典型结论下面几个图形中的 EPF B C，都有 EBP P
13、CF 的结论82013 年相似中考题练习：1(2013 年山东滨州)某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图 6424.其中BA CD， BC20 cm， BC， EF 平行于地面 AD 且到地面 AD 的距离分别为 40 cm,8 cm，为使板凳两腿底端 A， D 之间的距离为 50 cm，那么横梁 EF 应为多长(材质及其厚度等暂忽略不计)?2。.(2013枣庄)如图，已知矩形 ABCD 中， AB1，在 BC 上取一点 E，沿 AE 将 ABE 向上折叠，使 B 点落在 AD 上的 F 点，若四边形 EFDC与矩形 ABCD 相似，则 AD_.3(2013泰州)如图，平面直角坐标
14、系 xOy 中，点 A， B 的坐标分别为(3,0)，(2，3)， AB O是 ABO 关于点 A 的位似图形，且点 O的坐标为(1,0)，则点 B的坐标为_8 （3 分） （2013 威海）如图，在 ABC 中，A=36，AB=AC，AB 的垂直平分线 OD 交AB 于点 O，交 AC 于点 D，连接 BD，下列结论错误的是（ ）9AC=2A B BD 平分 ABCC SBCD=SBOD D点 D 为线段 AC 的黄金分割点4（2013孝感）在平面直角坐标系中，已知点 E(4，2)， F(2，2)，以原点 O 为位似中心，相似比为 ，把 EFO 缩小，则点 E 的对应点 E的坐标是( )12
15、A(2，1) B(8，4)C(8，4)或(8，4) D(2，1)或(2，1)5如图 227， ABC 是一块锐角三角形的材料，边 BC120 mm，高 AD80 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB、 AC 上，这个正方形零件的边长是_mm. 6如图 223，一个人拿着一把刻有厘米刻度的小尺，站在离电线杆约 20 m 的地方，他把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约 12 个刻度恰好遮住电线杆，已知臂长约 40 cm，你能根据以上数据求出电线杆的高度吗？7（2013巴中） 如图 224，在平行四边形 ABCD 中，过点 A 作 AEBC，垂足为 E，
16、连接 DE，F 为线段 DE 上一点，且AFEB.(1)求证：ADFDEC；(2)若 AB8，AD6 ，AF4 ，求 AE 的长108、（2013 四川眉山）如图，在函数 )0(1xky和 )0(xky2的图象上，分别有A、B 两点，若 AB x 轴，交 y 轴于点 C，且 OAOB，S AOC = 1，S BOC = 9，则线段 AB 的长度=_9。（2013 四川南充）如图，等腰梯形 ABCD 中， AD BC， AD3， BC7， B60， P为 BC 边上一点（不与 B， C 重合），过点 P 作 APE B， PE 交 CD 于 E.（1）求证： APB PEC;（2）若 CE3，求 BP 的长10（2013 福建福州）如图，等腰梯形 ABCD 中， AD BC， B45， P 是 BC 上一点，PAD 的面积为 0.5，设 AB x， AD y（1）求 y 与 x 的函数关系式；（2）若 APD45，当 y 1 时，求 PBPC 的值；（3）若 APD90，求 y 的最小值11 （2013 宜宾）如图，AB 是O 的直径， B=CAD（1）求证：AC 是 O 的切线；11（2）若点 E 是 的中点，连接 AE 交 BC 于点 F，当 BD=5，CD=4 时，求 AF 的值
