2017高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 理（课件+习题）（打包12套）.zip

12017 高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.1.1 导数的概念及其几何意义对点训练 理1．曲线 y＝ xex－1 在点(1,1)处切线的斜率等于( )A．2e B．eC．2 D．1答案 C解析 ∵ y′＝ x′·e x－1 ＋ x·(ex－1 )′＝(1＋ x)ex－1 ，∴曲线在点(1,1)处的切线斜率为 y′| x＝1 ＝2.故选 C.2.下列四个图象中，有一个是函数 f(x)＝ x3＋ ax2＋( a2－4) x＋1( a∈R， a≠0)的导函13数 y＝ f′( x)的图象，则 f(1)＝( )A. B.103 43C．－ D．123答案 C解析 f′( x)＝ x2＋2 ax＋( a2－4)，由 a≠0，结合导函数 y＝ f′( x)的图象，知导函数图象为③，从而可知 a2－4＝0，解得 a＝－2 或 a＝2，再结合－ 0 知 a0)上点 P 处的切线垂直，则 P 的坐1x标为________．答案 (1,1)2解析 y′＝e x，则 y＝e x在点(0,1)处的切线的斜率 k 切 ＝1，又曲线 y＝ (x0)上点 P1x处的切线与 y＝e x在点(0,1)处的切线垂直，所以 y＝ (x0)在点 P 处的切线的斜率为－1，1x设 P(a， b)，则曲线 y＝ (x0)上点 P 处的切线的斜率为 y′| x＝ a＝－ a－2 ＝－1，可得1xa＝1，又 P(a， b)在 y＝ 上，所以 b＝1，故 P(1,1)．1x5．若曲线 y＝ xln x 上点 P 处的切线平行于直线 2x－ y＋1＝0，则点 P 的坐标为________．答案 (e，e)解析 y′＝ln x＋1，设 P(x0， y0)，ln x0＋1＝2 得 x0＝e，则 y0＝e，∴ P 点坐标为(e，e)．6．若对于曲线 f(x)＝－e x－ x(e 为自然对数的底数)的任意切线 l1，总存在曲线 g(x)＝ ax＋2cos x 的切线 l2，使得 l1⊥ l2，则实数 a 的取值范围为________．答案 [－1,2]解析 易知函数 f(x)＝－e x－ x 的导数为 f′( x)＝－e x－1，设 l1与曲线 f(x)＝－e x－ x 的切点为( x1， f(x1))，则 l1的斜率 k1＝－e x1－1.易知函数 g(x)＝ ax＋2cos x 的导数为 g′( x)＝ a－2sin x，设 l2与曲线 g(x)＝ ax＋2cos x 的切点为( x2， g(x2))，则 l2的斜率 k2＝ a－2sin x2.由题设可知 k1·k2＝－1，从而有(－e x1－1)( a－2sin x2)＝－1，∴ a－2sin x2＝ ，故由题意知对任意 x1，总存在 x2使得上述等式成立，则有1ex1＋ 1y1＝ 的值域是 y2＝ a－2sin x2值域的子集，则(0,1)⊆[ a－2， a＋2]，则Error!1ex1＋ 1∴－1≤ a≤2.7．已知函数 f(x)＝ ax3＋3 x2－6 ax－11， g(x)＝3 x2＋6 x＋12 和直线 m： y＝ kx＋9，且f′(－1)＝0.(1)求 a 的值；(2)是否存在实数 k，使直线 m 既是曲线 y＝ f(x)的切线，又是曲线 y＝ g(x)的切线？如果存在，求出 k 的值；如果不存在，请说明理由．解 (1)由已知得 f′( x)＝3 ax2＋6 x－6 a，∵ f′(－1)＝0，∴3 a－6－6 a＝0，∴ a＝－2.(2)存在．由已知得，直线 m 恒过定点(0,9)，若直线 m 是曲线 y＝ g(x)的切线，则设切点为( x0,3x ＋6 x0＋12)．20∵ g′( x0)＝6 x0＋6，∴切线方程为 y－(3 x ＋6 x0＋12)＝(6 x0＋6)( x－ x0)，20将(0,9)代入切线方程，解得 x0＝±1.当 x0＝－1 时，切线方程为 y＝9；当 x0＝1 时，切线方程为 y＝12 x＋9.由(1)知 f(x)＝－2 x3＋3 x2＋12 x－11，3①由 f′( x)＝0 得－6 x2＋6 x＋12＝0，解得 x＝－1 或 x＝2.在 x＝－1 处， y＝ f(x)的切线方程为 y＝－18；在 x＝2 处， y＝ f(x)的切线方程为 y＝9，∴ y＝ f(x)与 y＝ g(x)的公切线是 y＝9.②由 f′( x)＝12 得－6 x2＋6 x＋12＝12，解得 x＝0 或 x＝1.在 x＝0 处， y＝ f(x)的切线方程为 y＝12 x－11；在 x＝1 处， y＝ f(x)的切线方程为 y＝12 x－10；∴ y＝ f(x)与 y＝ g(x)的公切线不是 y＝12 x＋9.综上所述， y＝ f(x)与 y＝ g(x)的公切线是 y＝9，此时 k＝0.第三章 导数及其应用第 1讲 导数与积分考点一 导数的概念及其几何意义撬点 ·基础点 重难点 撬法 ·命题法 解题法 12017 高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.1.2 积分的运算及应用对点训练 理1.直线 y＝4 x 与曲线 y＝ x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A．2 B．42 2C．2 D．4答案 D解析 由Error!得 x＝0 或 x＝2 或 x＝－2(舍)．∴ S＝ (4x－x 3)dx＝ Error!＝4.2∫0 (2x2－ 14x4)2．已知函数 f(x)＝ sin(x－φ)，且 f(x)dx＝0，则函数 f(x)的图象的一条对称轴是( )A．x＝ B．x＝5π6 7π12C．x＝ D．x＝π 3 π 6答案 A解析 由 f(x)dx＝ sin(x－φ) dx＝－ cos(x－φ)Error!＝－ cos ＋ cosφ＝0，得 cosφ＝ sinφ ，(2π3－ φ ) 32 32从而有 tanφ＝ ，则 φ＝n π ＋ ，n∈Z，3π 3从而有 f(x)＝sin (x－ nπ －π 3)＝(－1) n·sin ， n∈Z.(x－π 3)令 x－ ＝ kπ＋ ， k∈Z，得 x＝ kπ＋ ， k∈Z，即 f(x)的图象的对称轴是π 3 π 2 5π6x＝ kπ＋ ， k∈Z，故选 A.5π63．直线 l 过抛物线 C： x2＝4 y 的焦点且与 y 轴垂直，则 l 与 C 所围成的图形的面积等于( )A. B．243C. D.83 1623答案 C解析 直线 l 的方程为 y＝1，其与抛物线的交点坐标分别为(－2,1)、(2,1)，则该直2线与抛物线 C 所围成图形的面积 S＝ dx＝Error! ＝ .2∫-2(1－ x24) 2－ 2 834. ( － x)dx 等于( )1∫0 2x－ x2A. B.π － 24 π － 22C. D.π － 12 π － 14答案 A解析 由定积分的几何意义得dx＝ ，如图阴影部分，而 Error! ＝ .1∫02x－ x2 π 4 10 12∴ ( － x)dx＝ dx－ xdx＝ ，选 A.1∫0 2x－ x21∫02x－ x21∫0 π － 245．如图所示，曲线 y＝x 2－1，x＝2，x＝0，y＝0 围成的阴影部分的面积为( )A. |x2－1|d x2∫0B.|2∫0 x2－ 1 dx|C. (x2－1) dx2∫03D. (x2－1)d x＋ (1－ x2)dx1∫02∫1答案 A解析 由曲线 y＝| x2－1|的对称性，所求阴影部分的面积与如右图形的面积相等，即 |x2－1|d x，选 A.2∫06．若 f(x)＝Error!则 f(2013)等于( )A．0 B．ln 2C．1＋e 2 D．e＋ln 2答案 D解析 f(2013)＝ f(503×4＋1)＝ f(1)＝e＋Error! ＝e＋ln 2.217．与定积分∫ dx 相等的是( )3π0 1－ cosxA. ∫ sin dx B. ∫ dx2 3π0x2 2 3π0|sinx2|C. D．以上结论都不对| 2∫ 3π0sinx2dx|答案 B解析 ∵1－cos x＝2sin 2 ，x∴∫ dx＝∫ dx3π0 1－ cosx 3π0 2|sin x2|＝ ∫ dx.2 3π0|sin x2|8. dx＋ －2 dx＝________.e∫11x2∫4－ x2答案 2π＋1解析 dx＝ln xError!＝1－0＝1，因 dx 表示的是圆 x2＋ y2＝4 的 x 轴上e∫11x2∫-24－ x24方的面积，故 dx＝ π×2 2＝2π，故答案为 2π＋1.2∫-24－ x2 129．执行如图所示的程序框图，输出的 T 的值为________．答案 116解析 开始 n＝1， T＝1，因为 13，所以T＝1＋ x1dx＝ 1＋ x2Error!＝ 1＋ ×12＝ ， n＝1＋1＝2；因为 23，所以1∫0 12 12 32T＝ ＋ x2dx＝ ＋ x3Error!＝ ＋ ×13＝ ， n＝2＋1＝3.因为 33 不成立，所以输出 T，32 1∫0 32 13 32 13 116即输出的 T 的值为 .11610．曲线 y＝ x2与直线 y＝ x 所围成的封闭图形的面积为________．答案 16解析 由题意可得封闭图形的面积为(x－ x2)dx＝ Error!＝ － ＝ .1∫0 (12x2－ 13x3) 12 13 16511．正方形的四个顶点 A(－1，－1)， B(1，－1)， C(1,1)， D(－1,1)分别在抛物线y＝－ x2和 y＝ x2上，如图所示．若将一个质点随机投入正方形 ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．答案 23解析 由对称性可知 S 阴影 ＝ S 正方形 ABCD－4 x2dx＝2 2－4×Error! ＝ ，所以所求概率为1∫0 10 83＝ .834 23第三章 导数及其应用第 1讲 导数与积分考点二 积分的运算及应用撬点 ·基础点 重难点 撬法 ·命题法 解题法 撬题 ·对点题 必刷题12017 高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.1 导数与积分课时练 理时间：60 分钟基础组1.[2016·衡水中学一轮检测]若 (sinx－a cosx)dx＝2，则实数 a 等于( )A．－1 B．1C．－2 D．2答案 A解析 由题意，得Error!Error! ＝－a－(－1)＝1－a＝2，a＝－1.2．[2016·衡水中学猜题]由曲线 f(x)＝ 与 y 轴及直线 y＝m(m0)围成的图形的面积x为 ，则 m 的值为( )83A．2 B．3C．1 D．8答案 A解析 S＝ (m－ )dxm2∫0 x＝ Error!＝m 3－ m3＝ ，解得 m＝2.23 833．[2016·枣强中学热身]函数 f(x)＝ 的图象在点(－1,2)处的切ln  2x＋ 3 － 2x2x线与坐标轴围成的三角形的面积等于( )A. B.23 43C. D.12 16答案 C解析 f′(x)＝ ＝( 22x＋ 3－ 4x)x－ [ln  2x＋ 3 － 2x2]x2，则 f′(－1)＝－4，故该切线方程为 y＝－4x－2，则该2x2x＋ 3－ ln  2x＋ 3 － 2x2x2切线在 x 轴，y 轴上的截距分别为－ ，－2，故所求三角形的面积为 .12 124．[2016·冀州中学月考]曲线 y＝x 3－2x＋4 在点(1,3)处的切线的倾斜角为( )A．45° B．60°C．120° D．135°答案 A2解析 由 y＝x 3－2x＋4，得 y′＝3x 2－2，得 y′| x＝1 ＝1，故切线的倾斜角为 45°.5．[2016·冀州中学期末]定积分 dx 的值为( )3∫09－ x2A．9 π B．3 πC. π D. π94 92答案 C解析 由定积分的几何意义知， dx 是由曲线 y＝ ，直线3∫09－ x2 9－ x2x＝0，x＝3，y＝0 围成的封闭图形的面积．故 dx＝ ＝ .3∫09－ x2 π ·324 9π46．[2016·衡水中学热身]已知偶函数 f(x)在 R 上的任一取值都有导数，且 f′(1)＝1， f(x＋2)＝ f(x－2)，则曲线 y＝ f(x)在 x＝－5 处的切线的斜率为( )A．－1 B．－2C．1 D．2答案 A解析 由于 f(x)是 R 上的偶函数，故其图象关于 y 轴对称，∴ f′(－ x)＝－ f′( x)，又 f(x＋2)＝ f(x－2)，∴ f(x)是周期为 4 的周期函数，故 f(x)在 x＝－5 处的导数就是在x＝－1 处的导数，又 f′(－1)＝－ f′(1)＝－1，∴曲线 y＝ f(x)在 x＝－5 处的切线的斜率为－1，故选 A.7．[2016·武邑中学月考]由曲线 y＝ x2， y＝ x3围成的封闭图形面积为( )A. B.16 112C. D.23 76答案 B解析 由Error!得 x＝0 或 x＝1，由图易知封闭图形的面积为 (x2－x 3)1∫0dx＝ Error!＝ － ＝ ，故选 B.(13x3－ 14x4) 13 14 11238．[2016·衡水中学期中]抛物线 C1：y＝ x2(p0)的焦点与双曲线 C2： －y 2＝1 的12p x23右焦点的连线交 C1于第一象限的点 M.若 C1在点 M 处的切线平行于 C2的一条渐近线，则p＝( )A. B.316 38C. D.233 433答案 D解析 设 M ，y′＝ ′＝ ，故在 M 点处的切线的斜率为 ＝ ，故 M(x0，12px20) (12px2) xp x0p 33.由题意又可知抛物线的焦点为 ，双曲线右焦点为 (2,0)，且 ，(33p， 16p) (0， p2) (33p， 16p)，(2,0) 三点共线， ＝ ，可求得 p＝ ，故选 D.(0，p2)16p－ 033p－ 2 p2－ 00－ 2 4339．[2016·冀州中学一轮检测]若 f(x)＝x 2－2x－4 ln x，则 f′(x)0 的解集为________．答案 (2，＋∞)解析 由题意可知 x0，f′(x)＝2x－2－ ＝ ，由 f′(x)0 解得4x 2 x＋ 1  x－ 2xx2，故 f′(x)0 的解集为(2，＋∞)．10．[2016·衡水中学期末]若 f′(x 0)＝2，则 ＝________.limk→ 0f x0－ k － f x02k答案 －1解析 f′(x 0)＝ (这里 Δx＝－k)，limk→ 0f[x0＋  － k ]－ f x0－ k所以， limk→ 0f x0－ k － f x02k＝ limk→ 0[－ 12·f[x0＋  － k ]－ f x0－ k ]4＝－ f′(x 0)＝－ ×2＝－1.12 1211．[2016·衡水中学仿真]如图所示，圆 O：x 2＋y 2＝ π 2内的正弦曲线 y＝ sinx 与 x轴围成的区域记为 M(图中阴影部分)，随机向圆 O 内投一个点 A，则点 A 落在区域 M 内的概率是________．答案 4π 3解析 阴影部分的面积为2Error! ＝4，圆的面积为 π 3，所以点 A 落在区域 M 内的概率是 .π 04π 312. [2016·衡水中学预测]过函数 y＝x (0x1)图象上一点 M 作切线 l 与 y 轴和直线12y＝1 分别交于点 P、Q，点 N(0,1)，则△PQN 面积的最大值为________．答案 827解析 设切点为 M(t2，t)，0t1，因为 y′＝ ，所以切线斜率为 k＝ ，切线方12x 12t程为 y－t＝ (x－t 2)，即 y＝ x＋ ，分别令 x＝0、y＝1 得 P 、Q(2t－t 2,1)，所以12t 12t t2 (0， t2)△PQN 的面积 S＝ · ·(2t－t 2)＝ t3－t 2＋t，S′＝ t2－2t＋1＝ (t－2)(3t－2)，12 (1－ t2) 14 34 14注意到 0t1，所以当 t＝ 时，△PQN 的面积取到最大值 × 3－ 2＋ ＝ .23 14 (23) (23) 23 827能力组13.[2016·衡水中学模拟]设 f(x)＝Error!则f(x)dx 等于( )2∫0A. B.34 45C. D．不存在565答案 C解析 f(x)dx＝ x2dx＋ (2－x) dx2∫01∫02∫1＝ x3Error!＋(2x－ x2)Error!13 12＝ ＋(4－2－2＋ )＝ .13 12 5614．[2016·衡水中学猜题]已知 f(x)＝x 3＋ax－2b，如果 f(x)的图象在切点P(1，－2)处的切线与圆(x－2) 2＋(y＋4) 2＝5 相切，那么 3a＋2b＝________.答案 －7解析 由题意得 f(1)＝－2⇒a－2b＝－3，又∵f′(x)＝3x 2＋a，∴f(x)的图象在点(1，－2)处的切线方程为 y＋2＝(3＋a)(x－1)，即(3＋a)x－y－a－5＝0，∴＝ ⇒a＝－ ，∴b＝ ，∴3a＋2b＝－7.| 3＋ a ×2＋ 4－ a－ 5| 3＋ a 2＋ 1 5 52 1415. [2016·冀州中学猜题]如图所示，则由两条曲线 y＝－x 2，x 2＝－4y 及直线y＝－1 所围成图形的面积为________．答案 43解析 由图形的对称性知所求图形的面积是位于 y 轴右侧图形面积的 2 倍．由Error! 得 C(1，－1)．同理，得 D(2，－1)．故所求图形的面积S＝2 {1∫0[－x24－  － x2 ]dx＋ 2∫1[－x24－  － 1 ]dx}＝2 [1∫03x24dx－ 2∫1(x24－ 1)dx]＝2Error! ＝ .4316. [2016·冀州中学模拟]已知点 P 在曲线 y＝ (其中 e 为自然对数的底数)上，4ex＋ 16α 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则 tanα 的取值范围是________．答案 [－1,0)解析 易知 y′＝ ，显然 y′0，又－ 4ex ex＋ 1 2＝ ≥ ＝－1－ 4ex ex＋ 1 2 － 4ex＋ 1ex＋ 2 － 42 ex·1ex＋ 2(当且仅当 ex＝ 时取“＝”)，∴ tanα 的取值范围是[－1,0)．1ex12017 高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2.1 函数的单调性与导数对点训练 理1．设函数 f(x)＝e x(2x－1)－ ax＋ a，其中 a0 时， xf′( x)－ f(x)0 成立的 x 的取值范围是( )A．(－∞，－1)∪(0,1)B．(－1,0)∪(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(－1,0)D．(0,1)∪(1，＋∞)答案 A解析 令 F(x)＝ ，因为 f(x)为奇函数，所以 F(x)为偶函数，由于 F′( x)＝f xx，当 x0 时， xf′( x)－ f(x)0 成立的 x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)．故选 A.3．若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(0)＝－1，其导函数 f′( x)满足 f′( x)k1，则2下列结论中一定错误的是( )A． f (1k)1k (1k) 1k－ 1C． f (1k－ 1) 1k－ 1 ( 1k－ 1) kk－ 1答案 C解析 构造函数 g(x)＝ f(x)－ kx＋1，则 g′( x)＝ f′( x)－ k0，∴ g(x)在 R 上为增函数．∵ k1，∴ 0，则 g g(0)．1k－ 1 ( 1k－ 1)而 g(0)＝ f(0)＋1＝0，∴ g ＝ f － ＋10，(1k－ 1) ( 1k－ 1) kk－ 1即 f －1＝ ，(1k－ 1) kk－ 1 1k－ 1所以选项 C 错误，故选 C.4．已知函数 f(x)＝ ax3－3 x2＋1，若 f(x)存在唯一的零点 x0，且 x00，则 a 的取值范围是( )A．(2，＋∞) B．(1，＋∞)C．(－∞，－2) D．(－∞，－1)答案 C解析 (1)当 a＝0 时，显然 f(x)有两个零点，不符合题意．(2)当 a≠0 时， f′( x)＝3 ax2－6 x，令 f′( x)＝0，解得 x1＝0， x2＝ .2a当 a0 时， 0，所以函数 f(x)＝ ax3－3 x2＋1 在(－∞，0)与 上为增函数，2a (2a， ＋ ∞ )在 上为减函数，因为 f(x)存在唯一零点 x0，且 x00，则 f(0)0，则 f 0，即(2a， 0) (2a)a· －3· ＋10，解得 a2 或 a0.(1)设 g(x)是 f(x)的导函数，讨论 g(x)的单调性；(2)证明：存在 a∈(0,1)，使得 f(x)≥0 在区间(1，＋∞)内恒成立，且 f(x)＝0 在区间(1，＋∞)内有唯一解．解 (1)由已知，函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)， g(x)＝ f′( x)＝2( x－ a)－2ln x－2 ，(1＋ax)3所以 g′( x)＝2－ ＋ ＝2x 2ax2 2(x－ 12)2＋ 2(a－ 14)x2当 00， φ (e)＝－ －2 2f(x0)＝0；当 x∈( x0，＋∞)时， f′( x)0，从而 f(x)f(x0)＝0.所以，当 x∈(1，＋∞)时， f(x)≥0.综上所述，存在 a∈(0,1)，使得 f(x)≥0 在区间(1，＋∞)内恒成立，且 f(x)＝0 在区间(1，＋∞)内有唯一解．6.设函数 f(x)＝ (a∈R)．3x2＋ axex(1)若 f(x)在 x＝0 处取得极值，确定 a 的值，并求此时曲线 y＝ f(x)在点(1， f(1))处的切线方程；(2)若 f(x)在[3，＋∞)上为减函数，求 a 的取值范围．解 (1)对 f(x)求导得f′( x)＝ 6x＋ a ex－  3x2＋ ax ex ex 24＝ ，－ 3x2＋  6－ a x＋ aex因为 f(x)在 x＝0 处取得极值，所以 f′(0)＝0，即 a＝0.当 a＝0 时， f(x)＝ ， f′( x)＝ ，故 f(1)＝ ， f′(1)＝ ，3x2ex － 3x2＋ 6xex 3e 3e从而 f(x)在点(1， f(1))处的切线方程为 y－ ＝ (x－1)，化简得 3x－e y＝0.3e 3e(2)由(1)知 f′( x)＝ ，－ 3x2＋  6－ a x＋ aex令 g(x)＝－3 x2＋(6－ a)x＋ a，由 g(x)＝0 解得 x1＝ ，6－ a－ a2＋ 366x2＝ .6－ a＋ a2＋ 366当 x0，即 f′( x)0，故 f(x)为增函数；当 xx2时， g(x)0 时， g(x)0，求 b 的最大值；(3)已知 1.41420， g(x)0；②当 b2 时，若 x 满足 20，ln 2 0.6928；232 2 82－ 312当 b＝ ＋1 时，ln ( b－1＋ )＝ln ，324 b2－ 2b 2g(ln )＝－ －2 ＋(3 ＋ 2)ln 20，ln 2 0.6934.232 2 2 18＋ 228所以 ln 2 的近似值为 0.693.第三章 导数及其应用第 2讲 导数的应用考点一 函数的单调性与导数 撬点 ·基础点 重难点 撬法 ·命题法 解题法 12017 高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2.2 函数的极值与最值对点训练 理1.设函数 f(x)＝ sin .若存在 f(x)的极值点 x0满足 x ＋[ f(x0)]2 2成立即可．又 2的最小值为 ，∴1－ ，解得 m2.故3m2(k＋ 12) (k＋ 12) 14 3m214选 C.2．已知函数 f(x)＝ x3＋ bx2＋ cx＋ d(b， c， d 为常数)，当 x∈(0,1)时， f(x)取得极大值，当 x∈(1,2)时， f(x)取得极小值，则 2＋( c－3) 2的取值范围是( )(b＋12)A. B．( ，5)(372， 5) 5C. D．(5,25)(374， 25)答案 D解析 因为 f′( x)＝3 x2＋2 bx＋ c， f′( x)的两个根分别在(0,1)和(1,2)内，所以f′(0)0， f′(1)0，即Error!作出可行域如图中阴影部分所示(不包括 b 轴)，22＋( c－3) 2表示可行域内一点到点 P 的距离的平方，由图象可知， P(b＋12) (－ 12， 3)到直线 3＋2 b＋ c＝0 的距离最小，即 2＋( c－3) 2的最小值为(－12， 3) (b＋ 12)2＝5， P 到点 A 的距离最大，此时 2＋( c－3) 2＝25，因为(|3－ 1＋ 3|5 ) (－ 12， 3) (－ 92， 6) (b＋ 12)可行域的临界线为虚线，所以所求范围为(5,25)，故选 D.3．若函数 f(x)＝ x3－3 x 在( a,6－ a2)上有最小值，则实数 a 的取值范围是( )A．(－ ，1) B．[－ ，1)5 5C．[－2,1) D．(－2,1)答案 C解析 令 f′( x)＝3 x2－3＝0，得 x＝±1，且 x＝－1 为函数 f(x)的极大值点， x＝1为函数 f(x)的极小值点．函数 f(x)在区间( a,6－ a2)上有最小值，则函数 f(x)的极小值点必在区间( a,6－ a2)内，且左端点的函数值不小于 f(1)，即实数 a 满足 a0；当 10，此时函数 x＝1 不是函数 f(x)的极值点，A、B 选项均错误．当 k＝2014 时， f(x)＝( x－1) 2014·cosx，则 f′( x)＝2014( x－1) 2013cosx－( x－1) 2014sinx＝( x－1)2013[2014cosx－( x－1)sin x]，当 0，此时函π 4 π 3数 f(x)在 x＝1 处取得极小值，故选 C.5．已知点 M 在曲线 y＝3ln x－ x2上，点 N 在直线 x－ y＋2＝0 上，则| MN|的最小值为________．答案 2 2解析 本题考查导数的几何意义、点到直线的距离．当点 M 处的曲线的切线与直线 x－ y＋2＝0 平行时| MN|取得最小值．令y′＝－2 x＋ ＝1，解得 x＝1，所以点 M 的坐标为(1，－1)，所以点 M 到直线 x－ y＋2＝03x的距离为 ＝2 ，即 |MN|的最小值为 2 .|1＋ 2＋ 1|2 2 26．函数 f(x)＝ x3－3 x2＋6 在 x＝________时取得极小值．答案 2解析 依题意得 f′( x)＝3 x(x－2)．当 x2 时， f′( x)0；当 00， f(x)≥0 成立，求 a 的取值范围．解 (1)由题意知函数 f(x)的定义域为(－1，＋∞)，f′( x)＝ ＋ a(2x－1)＝ ，1x＋ 1 2ax2＋ ax－ a＋ 1x＋ 1令 g(x)＝2 ax2＋ ax－ a＋1， x∈(－1，＋∞)．①当 a＝0 时， g(x)＝1，此时 f′( x)0，函数 f(x)在(－1，＋∞)单调递增，无极值点；②当 a0 时， Δ ＝ a2－8 a(1－ a)＝ a(9a－8)．a．当 0 时， Δ 0，89设方程 2ax2＋ ax－ a＋1＝0 的两根为 x1， x2(x1－ .由 g(－1)＝10，可得－10， f′( x)0，函数 f(x)单调递增；当 x∈( x1， x2)时， g(x)0， f′( x)0，函数 f(x)单调递增；因此，函数有两个极值点．③当 a0，由 g(－1)＝10，可得 x10， f′( x)0，函数 f(x)单调递增；当 x∈( x2，＋∞)时， g(x) 时，函数 f(x)有两个极值点．89(2)由(1)知，①当 0≤ a≤ 时，函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增，89因为 f(0)＝0，所以 x∈(0，＋∞)时， f(x)0，符合题意；②当 0，符合题意；4③当 a1 时，由 g(0)0.所以 x∈(0， x2)时，函数 f(x)单调递减，因为 f(0)＝0，所以 x∈(0， x2)时， f(x)0，1x＋ 1 xx＋ 1所以 h(x)在(0，＋∞)上单调递增，因此当 x∈(0，＋∞)时， h(x)h(0)＝0，即 ln (x＋1)1－ 时， ax2＋(1－ a)x0.(1)讨论 f(x)在其定义域上的单调性；(2)当 x∈[0,1]时，求 f(x)取得最大值和最小值时的 x 的值．解 (1) f(x)的定义域为(－∞，＋∞)， f′( x)＝1＋ a－2 x－3 x2.令 f′( x)＝0，得 x1＝ ，－ 1－ 4＋ 3a3x2＝ ， x1x2时， f′( x)0.故 f(x)在(－∞， x1)和( x2，＋∞)内单调递减，在( x1， x2)内单调递增．(2)因为 a0，所以 x10.①当 a≥4 时， x2≥1.由(1)知， f(x)在[0,1]上单调递增．所以 f(x)在 x＝0 和 x＝1 处分别取得最小值和最大值．②当 00)， x－ 2  ex－ kxx3由 k≤0，知 ex－ kx0，令 f′( x)＝0，则 x＝2，当 x∈(0,2)时， f′( x)0， f(x)为增函数．综上， f(x)的减区间为(0,2)，增区间为(2，＋∞)．(2)由题意知 f′( x)＝0，即 ex－ kx＝0 在(0,2)内存在两个不等实根．令 g(x)＝e x－ kx， g′( x)＝e x－ k，令 g′( x)＝0， x＝ln k，则 00，只需Error!即Error!得 e0.1x － 2ax2＋ ax＋ 1x∴当 a＝0 时， f′( x)0， f(x)在[1,2]上单调递增．∴ f(x)max＝ f(2)＝ln 2.当 a≠0 时，可令 g(x)＝－2 ax2＋ ax＋1， x∈[1,2]，g(x)的对称轴 x＝ 且过点(0,1)．14∴当 a0 在[1,2]上恒成立， f(x)在[1,2]上单调递增，∴ f(x)max＝ f(2)＝ln 2－2 a.当 a0 时，若 g(1)≤0，即 a≥1 时， f′( x)0， g(2)0， g(2)≥0，即 00 在[1,2]上恒成立， f(x)在[1,2]上单调递增，∴ f(x)max＝ f(2)＝ln 2－2 a.综上： f(x)max＝Error!.11．已知函数 f(x)＝－ x3＋ ax2－4( a∈R)， f′( x)是 f(x)的导函数．(1)当 a＝2 时，对于任意的 m∈[－1,1]， n∈[－1,1]，求 f(m)＋ f′( n)的最小值；(2)若存在 x0∈(0，＋∞)，使 f(x0)0，求 a 的取值范围．解 (1)由题意得 f(x)＝－ x3＋2 x2－4，f′( x)＝－3 x2＋4 x.令 f′( x)＝0，得 x＝0 或 .43当 x 在[－1,1]上变化时， f′( x)， f(x)随 x 的变化情况如下表：x －1 (－1,0) 0 (0,1) 1f′( x) －7 － 0 ＋ 1f(x) －1  －4  －3∴对于 m∈[－1,1]， f(m)的最小值为 f(0)＝－4.∵ f′( x)＝－3 x2＋4 x 的对称轴为直线 x＝ ，且抛物线开口向下，23∴对于 n∈[－1,1]， f′( n)的最小值为 f′(－1)＝－7.∴ f(m)＋ f′( n)的最小值为－11.(2)∵ f′( x)＝－3 x .(x－2a3)①若 a≤0，当 x0 时， f′( x)0 时， f(x)0，使 f(x0)0.②若 a0，则当 00；2a3当 x 时， f′( x)0，即 a327，解得 a3.4a327综上， a 的取值范围是(3，＋∞)．第三章 导数及其应用第 2讲 导数的应用考点二 函数的极值与最值 撬点 ·基础点 重难点 撬法 ·命题法 解题法 12017 高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2.3 导数的综合应用对点训练 理1.设 f(x)是定义在 R 上的可导函数，当 x≠0 时， f′( x)＋ 0，则关于 x 的函f xx数 g(x)＝ f(x)＋ 的零点个数为( )1xA．1 B．2C．0 D．0 或 2答案 C解析 由 f′( x)＋ 0，得 0，当 x0 时， xf′( x)＋ f(x)f xx xf′  x ＋ f xx0，即[xf(x)]′0，函数 xf(x)单调递增；当 x0f(0)＝0，又 g(x)＝ f(x)＋ x－1 ＝ ，函数 g(x)＝ 的零xf x ＋ 1x xf x ＋ 1x点个数等价于函数 y＝ xf(x)＋1 的零点个数．当 x0 时， y＝ xf(x)＋11，当 x1，所以函数 y＝ xf(x)＋1 无零点，所以函数 g(x)＝ f(x)＋ x－1 的零点个数为 0.故选 C.2．设函数 f(x)是定义在(－∞，0)上的可导函数，其导函数为 f′( x)，且有 2f(x)＋ xf′( x)x2，则不等式( x＋2014) 2f(x＋2014)－4 f(－2)0 的解集为________．答案 (－∞，－2016)解析 由 2f(x)＋ xf′( x)x2， x0 即为 F(x＋2014)－ F(－2)0，即 F(x＋2014) F(－2)，又因为F(x)在(－∞，0)上是减函数，所以 x＋20140.若 m0， f′( x)0.所以， f(x)在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．(2)由(1)知，对任意的 m， f(x)在[－1,0]单调递减，在[0,1]单调递增，故 f(x)在x＝0 处取得最小值．所以对于任意 x1， x2∈[－1,1]，| f(x1)－ f(x2)|≤e－1 的充要条件是Error!即Error! ①设函数 g(t)＝e t－ t－e＋1，则 g′( t)＝e t－1.当 t0 时， g′( t)0.故 g(t)在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．又 g(1)＝0， g(－1)＝e －1 ＋2－e1 时，由 g(t)的单调性， g(m)0，即 em－ me－1；当 m0，即 e－ m＋ me－1.综上， m 的取值范围是[－1,1]．5．设 a1，函数 f(x)＝(1＋ x2)ex－ a.(1)求 f(x)的单调区间；(2)证明： f(x)在(－∞，＋∞)上仅有一个零点；(3)若曲线 y＝ f(x)在点 P 处的切线与 x 轴平行，且在点 M(m， n)处的切线与直线 OP 平行( O 是坐标原点)，证明： m≤ －1.3a－ 2e解 (1) f′( x)＝2 xex＋(1＋ x2)ex＝( x2＋2 x＋1)e x＝( x＋1) 2ex≥0，故 f(x)是 R 上的单调递增函数，其单调增区间是(－∞，＋∞)，无单调减区间．(2)证明：因为 f(0)＝(1＋0 2)e0－ a＝1－ a0，由零点存在性定理知， f(x)在(－∞，＋∞)上至少有一个零点．又由(1)知，函数 f(x)是(－∞，＋∞)上的单调递增函数，故函数 f(x)在(－∞，＋∞)上仅有一个零点．(3)证明：设点 P(x0， y0)，由曲线 y＝ f(x)在点 P 处的切线与 x 轴平行知， f′( x0)＝0，即 f′( x0)＝( x0＋1) 2ex0＝0，( x0＋1) 2＝0， x0＝－1，即 P(－1,2e －1 － a)．由点 M(m， n)处的切线与直线 OP 平行知， f′( m)＝ kOP，即(1＋ m)2em＝ ＝ a－ .2e－ 1－ a－ 0－ 1－ 0 2e由 em≥1＋ m 知，(1＋ m)3≤(1＋ m)2em＝ a－ ，2e3即 1＋ m≤ ，即 m≤ －1.3a－ 2e 3a－ 2e6．已知函数 f(x)＝ nx－ xn， x∈R，其中 n∈N *，且 n≥2.(1)讨论 f(x)的单调性；(2)设曲线 y＝ f(x)与 x 轴正半轴的交点为 P，曲线在点 P 处的切线方程为 y＝ g(x)，求证：对于任意的正实数 x，都有 f(x)≤ g(x)；(3)若关于 x 的方程 f(x)＝ a(a 为实数)有两个正实数根 x1， x2，求证：|x2－ x1|0，即 x1 时，函数 f(x)单调递减．所以， f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．(2)证明：设点 P 的坐标为( x0,0)，则 x0＝ n ， f′( x0)＝ n－ n2.曲线 y＝ f(x)在点1n－ 1P 处的切线方程为 y＝ f′( x0)(x－ x0)，即 g(x)＝ f′( x0)(x－ x0)．令 F(x)＝ f(x)－ g(x)，即 F(x)＝ f(x)－ f′( x0)(x－ x0)，则 F′( x)＝ f′( x)－ f′( x0)．由于 f′( x)＝－ nxn－1 ＋ n 在(0，＋∞)上单调递减，故 F′( x)在(0，＋∞)上单调递减．又因为 F′( x0)＝0，所以当 x∈(0， x0)时， F′( x)0，当 x∈( x0，＋∞)时， F′( x)0 时， f(x)0，使得对任意的 x∈(0， x0)，恒有 f(x)g(x)；(3)确定 k 的所有可能取值，使得存在 t0，对任意的 x∈(0， t)，恒有| f(x)－ g(x)|0 时， F(x)0 时， f(x)0，故 G(x)在[0，＋∞)上单调递增， G(x)G(0)＝0，故任意正实数 x0均满足题意．当 00，1－ kk 1k取 x0＝ －1，对任意 x∈(0， x0)，1k有 G′( x)0，从而 G(x)在[0， x0)上单调递增，所以 G(x)G(0)＝0，即 f(x)g(x)．综上，当 k0，使得对任意 x∈(0， x0)，恒有 f(x)g(x)．(3)解法一：当 k1 时，由(1)知，∀ x∈(0，＋∞)， g(x)xf(x)，故 g(x)f(x)，|f(x)－ g(x)|＝ g(x)－ f(x)＝ kx－ln (1＋ x)．令 M(x)＝ kx－ln (1＋ x)－ x2， x∈[0，＋∞)，则有 M′( x)＝ k－ －2 x＝ .11＋ x － 2x2＋  k－ 2 x＋ k－ 1x＋ 1故当 x∈ 时，(0，k－ 2＋  k－ 2 2＋ 8 k－ 14 )M′( x)0，5M(x)在 上单调递增，[0，k－ 2＋  k－ 2 2＋ 8 k－ 14 )故 M(x)M(0)＝0，即| f(x)－ g(x)|x2.所以满足题意的 t 不存在．当 k0，使得当 x∈(0， x0)时， f(x)g(x)，此时| f(x)－ g(x)|＝ f(x)－ g(x)＝ln (1＋ x)－ kx.令 N(x)＝ln (1＋ x)－ kx－ x2， x∈[0，＋∞)，则有 N′( x)＝ － k－2 x1x＋ 1＝ ，－ 2x2－  k＋ 2 x＋ 1－ kx＋ 1当 x∈ 时， N′( x)0， N(x)在(0，－  k＋ 2 ＋  k＋ 2 2＋ 8 1－ k4 )上单调递增，[0，－  k＋ 2 ＋  k＋ 2 2＋ 8 1－ k4 )故 N(x)N(0)＝0，即 f(x)－ g(x)x2.记 x0与 中的较小者为 x1，－  k＋ 2 ＋  k＋ 2 2＋ 8 1－ k4则当 x∈(0， x1)时，恒有| f(x)－ g(x)|x2.故满足题意的 t 不存在．当 k＝1 时，由(1)知，当 x0 时，| f(x)－ g(x)|＝ g(x)－ f(x)＝ x－ln (1＋ x)．令 H(x)＝ x－ln (1＋ x)－ x2， x∈[0，＋∞)，则有 H′( x)＝1－ －2 x＝ .11＋ x － 2x2－ xx＋ 1当 x0 时， H′( x)0 时，恒有| f(x)－ g(x)|1 时，由(1)知，∀ x∈(0，＋∞)， g(x)xf(x)，故| f(x)－ g(x)|＝ g(x)－ f(x)＝ kx－ln (1＋ x)kx－ x＝( k－1) x.令( k－1) xx2，解得 01 时，对于 x∈(0， k－1)，恒有| f(x)－ g(x)|x2，故满足题意的 t 不存在．当 k0，使得 x∈(0， x0)， f(x)k1xkx＝ g(x)，此时| f(x)－ g(x)|＝ f(x)－ g(x)(k1－ k)x＝ x.1－ k2令 xx2，解得 0x2.1－ k2 1－ k2记 x0与 中的较小者为 x1，当 x∈(0， x1)时，恒有| f(x)－ g(x)|x2.1－ k26故满足题意的 t 不存在．当 k＝1 时，由(1)知， x0，| f(x)－ g(x)|＝ g(x)－ f(x)＝ x－ln (1＋ x)，令 M(x)＝ x－ln (1＋ x)－ x2， x∈[0，＋∞)，则有 M′( x)＝1－ －2 x＝ .11＋ x － 2x2－ xx＋ 1当 x0 时， M′( x)0 时，恒有| f(x)－ g(x)|2 ；(x＋x33)(3)设实数 k 使得 f(x)k 对 x∈(0,1)恒成立，求 k 的最大值．(x＋x33)解 (1)因为 f(x)＝ln (1＋ x)－ln(1－ x)，所以 f′( x)＝ ＋ ， f′(0)＝2.11＋ x 11－ x又因为 f(0)＝0，所以曲线 y＝ f(x)在点(0， f(0))处的切线方程为 y＝2 x.(2)证明：令 g(x)＝ f(x)－2 ，则 g′( x)＝ f′( x)－2(1＋ x2)＝ .(x＋x33) 2x41－ x2因为 g′( x)0(0g(0)＝0， x∈(0,1)，即当 x∈(0,1)时， f(x)2 .(x＋x33)(3)由(2)知，当 k≤2 时， f(x)k 对 x∈(0,1)恒成立．(x＋x33)当 k2 时，令 h(x)＝ f(x)－ k ，则(x＋x33)h′( x)＝ f′( x)－ k(1＋ x2)＝ .kx4－  k－ 21－ x2所以当 02 时， f(x)k 并非对 x∈(0,1)恒成立．(x＋x33)综上可知， k 的最大值为 2.9．已知函数 f(x)＝ln x－ ax2－2 x(a0)．ax2＋ 2x－ 1x依题意 f′( x)≥0 在 x0 时恒成立，即 ax2＋2 x－1≤0 在 x0 时恒成立．则 a≤ ＝ 2－1 在 x0 时恒成立，1－ 2xx2 (1x－ 1)即 a≤ min(x0)，[(1x－ 1)2－ 1]当 x＝1 时， 2－1 取最小值－1.(1x－ 1)∴ a 的取值范围是(－∞，－1]．(2)a＝－ ， f(x)＝－ x＋ b⇔ x2－ x＋ln x－ b＝0.12 12 14 32设 g(x)＝ x2－ x＋ln x－ b(x0)．14 32则 g′( x)＝ . x－ 2  x－ 12x列表：x (0,1) 1 (1,2) 2 (2,4)g′( x) ＋ 0 － 0 ＋g(x)  极大值  极小值 ∴ g(x)极小值 ＝ g(2)＝ln 2－ b－2， g(x)极大值 ＝ g(1)＝－ b－ ，又 g(4)＝2ln 542－ b－2，∵方程 g(x)＝0 在[1,4]上恰有两个不相等的实数根，则Error!得 ln 2－2 b≤－ .5410.8如图，现要在边长为 100 m 的正方形 ABCD 内建一个交通“环岛” ．以正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为 x m(x 不小于 9)的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为 x2 m 的圆形草地．为了保证道路畅通，岛口宽不小于 60 m，绕岛行驶的路宽均15不小于 10 m.(1)求 x 的取值范围(运算中 取 1.4)；2(2)若中间草地的造价为 a 元/m 2，四个花坛的造价为 ax 元/m 2，其余区域的造价为433元/m 2，当 x 取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？12a11解 (1)由题意得， Error!，解得Error! ，即 9≤ x≤15.所以 x 的取值范围是[9,15]．(2)记“环岛”的整体造价为 y 元，则由题意得y＝ a×π× 2＋ ax×π x2＋ × ＝ ＋ x3－12 x(15x2) 433 12a11 [104－ π ×(15x2)2－ π x2] a11 432Error!，令 f(x)＝－ x4＋ x3－12 x2，125 43则 f′( x)＝－ x3＋4 x2－24 x＝－4 x ，425 (125x2－ x＋ 6)由 f′( x)＝0，解得 x＝10 或 x＝15 或 x＝0(舍)，列表如下：x 9 (9,10) 10 (10,15) 15f′( x) － 0 ＋ 0f(x)  极小值 所以当 x＝10 时， y 取最小值．即当 x＝10 时，可使“环岛”的整体造价最低．