1、四边形多边形的内角和一、学习目标1、知道四边形的定义，能正确说出四边形的内角、外角及对角线；2、理解四边形内外角和定理，并能运用它解决相关问题；3、知道四边形的问题常通过添对角线转化为三角形的问题研究；4、知道多边形的意义；5、理解和应用多边形内角和定理及推论；6、掌握由特殊到一般的研究方法。二、重点难点1、四边形的概念、对角线定义及内、外角和定理，转化三角形的方法、四边形的不稳定性；2、多边形内角和定理及推导方法和转化三角形的方法，灵活运用多边形内、外角和定理解决相关问题。三、例题分析第一阶段例1如图415，求：A、B、C、D、E、F 的度数和。思路分析：一个不规则的几何图形，只有转化为规则
2、的几何图形，才便于我们研究，考虑到四边形的内角和为定值，连结 AD，E、F 转移至四边形中，六角之和为360就一目了然了。解：连结 AD，在AOD 和EOF 中，AOD 与EOF 是对顶角，E+F=OAD+ODA。又B+C+BAD+ADC=360，A+B+C+D+E+F=360。例2如图417，AB、BC、CD 是三根长度分别为1cm、2cm、5cm 的木棒，它们之间连结处可以转动，现在 A、D 之间拉一根橡皮筋，请根据四边形的不稳定性思考：这根橡皮筋的最大长度可以拉到_，最短长度为_。根据这一思考方法，若一四边形的长度依次为3、7、x、2,则 x的取值范围是_,若四边形长度依次为3、7、x、
3、5，则 x的取值范围是_。思路分析：由于 B、C 两处可以转动，当 A、B、C、D 形成一条线段时，AD 最长，它等于1+2+5=8(cm)，当 A、B、C 拉直，此时 B、A 落在 CD上时，AD 最小，其值为2cm。设四边形 ABCD的边分别为 BC=3，CD=7，DA=x，AB=2，拉直 B、C、D，形成DBA，则 x的取值范围是：3+7-2x3+7+2，即8x12，如果拉直 C、B、A，形成DCA，则 x的取值范围是：7-3-2x7+3+2，即2x12，比较两种情况得出 x的取值范围应为：2x12。设四边形 MNHF的边分别为 NH=3，HF=7，MF=x，MN=5，则类似上面的四边形
4、有：3+7-5，3+5-7x3+5+7，故 x的范围是1x15。答案： 8cm，2cm，2x12，1x15。例3下列关于多边形的叙述：（1）如果一个多边形的每个内角都相等，且都等于150，那么这个多边形为12边形；（2）如果一个多边形的每个外角都相等，且都等于60，则这个多边形为六边形；（3）如果一个 n边形有 n条对角线，则 n的值为5；（4）存在一个多边形，其内角和为1900，正确说法的序号是_。思路分析：(1)如果设这个多边形的边数为 x，由多边形内角和定理有(x-2)180=n150，求得n=12，故(1)正确；(2)由于多边形的外角和恒定为360，36060=6，故说法(2)正确；(
5、3)n 边形的对角线的条数为，所以 ，求得 n=5，说法(3)正确；(4)由多边形内角和公式知：其内角的度数和应是180的整数倍，而1900不能被180整除，因此，说法(4)不正确。答案：(1) (2) (3) 。第二阶段例4如图421，A、B、C、D、E、F、G 的度数和为_。思路分析：若连结 CF，由三角形内角和定理有E+D 的度数与DCF+EFC 的度数相等，因此上述七角之和恰好为一个五边形的内角和，(5-2)180=540。答案： 540例5一个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350，求这个多边形的边数。思路分析：多边形的内角和为180的整数倍，而多边形的外角一定小于180，注
6、意到边数必为正整数这个隐含条件，可以利用不等式确定边数的范围，然后再通过边数为整数来确定边数。解：设边数为 n，这个外角为 x，则 Ox180。1350-1801350-x1350，即11701350-x1350。又(n-2)1801350-x，1170(n-2)1801350，8.5n9.5。又n 为整数，n=9。例6一个多边形的内角和不可能是（ ）A、1800 B、360 C、1080 D、910思路分析：因多边形的内角和等于180的整数倍，而910不能被180整除，故选 D。答案：D第三阶段例7一个多边形的每一个外角都等于30，这个多边形的边数是_。思路分析：多边形内角和、外角和定理。解
7、：设边数为 n，根据题意有n30=360，n=12。故应填12.例8一个多边形每一个内角都是144，求此多边形的边数。思路分析：（思路一）设边数为 n，由内角和定理列方程求解；（思路二）可先求出外角的度数，再由外角和定理求边数。解法一：设多边形的边数为 n，根据题意，得(n-2)180=n144，n=10。解法二：设多边形得边数为 n，n(180-144)=360，n=10。例9一块四边形玻璃被打碎成如图4.14所示的三块，带上哪一块到玻璃店可配出原样来？思路分析：四边形由四条边组成。解：带上第(1)块可配出原样。四、练习题1、在平面内，由不在同一直线上的四条线段_组成的图形叫做四边形。2、在
8、四边形中，连结不相邻两个顶点的线段叫做四边形的_。3、四边形_的角叫四边形的内角，四边形的内角和等于_。4、四边形_的角叫四边形的外角，四边形的外角和等于_。5、一个六边形的内角和等于_度，外角和等于_度。6、一个多边形每增加一边，其内角和增加_，其外角和_（变或不变） 。7、n 边形 n个内角与某一个外角总和1350，则 n等于（ ）A、6 B、7 C、8 D、98、一个多边形共有14条对角线，那么这个多边形的边数为（ ）A、5 B、6 C、7 D、89、下列关于四边形的说法，(1)四边形中至少有一个角不是钝角；(2)延长四边形的某一边得直线 L，若其余各边都在 L的同侧，则这个四边形是凸四
9、边形；(3)四边形的四个外角中至少有两个钝角；(4)四边形中，如果四条边长确定，那么该四边形惟一确定，其中正确说法的个数为（ ）A、0 B、1个 C、2个 D、3个10、一个四边形四个内角之比为1：2：3：4，下列说法：(1)这个四边形有两个钝角；(2)这个四边形是凸四边形；(3)这个四边形最小的内角为36；(4)这个四边形四条边之比也恰好为1：2：3：4，其中正确说法的个数为（ ）A、1个 B、2个 C、3个 D、无法确定11、一个四边形的四个外角之比为2：3：5：8，下列说法：(1)这个四边形的最小外角为40；(2)这个四边形的最大内角为160；(3)这个四边形的最大外角为160；(4)这
10、个四边形的四个内角的度数与四个外角的度数有着相同的数值，其中错误说法的序号为（ ）A、(1)和(3) B、(1)和(4) C、(2)和(3) D、(2)和(4)12、四边形 ABCD中，如果 ADBC，那么A：B：C：D 可以等于（ ）A、3：5：6：4 B、3：4：5：6 C、4：5：5：4 D、6：6：4：313、下列说法：(1)多边形中至少有一个角不是钝角；(2)多边形的外角和随着边数的增加而增加；(3)六边形的六个内角中至少有三个钝角；(4)多边形的外角中至少有一个锐角；(5)如果把一个多边形的边数增加，则所有外角的平均值将减小，其中正确说法的个数是（ ）A、1 B、2 C、3 D、4
11、14、五边形 ABCDE中，A：B：C：D：E=2：3：4：5：6，则最大角为（ ）A、150 B、135 C、162 D、5415、一个多边形除了一个内角外，其余各角之和为2570，则这个内角的度数为（ ）A、30 B、105 C、130 D、12016、有两个多边形，如果它们都是各边相等、各内角相等的多边形，且这两个多边形的边数之比为1：2，内角和之比为3：8，则这两个多边形的边数分别是（ ）A、4、8 B、5、10 C、6、12 D、7、14参考答案1、首尾顺次相接2、对角线3、相邻两边所组成 3604、的一边与另一边的延长线所组成，3605、720，3606、180，不变711 D C C C D1216 C A C C B
