1、第一章 、复数与复平面习题课（2）：7、试证：分别以 、 、 及 、 、 为顶点的两个三1z231w23角形相似的必要与充分条件是。0321z证明： 3210wz)(2312132 wzzz21)( 2313132 )( zzz)( 211w所以， 3232同理，有， 2121z所以 231312wzzw|z即三角形的三边成比例，所以相似，反之，若三角形相似，则对应三边成比例，对应角相等，可以证明，所以结论成立。231312wzzw8、如果 ，且 ，证|2 031明 、 、 是内接于单位圆的一个正三角形。1z3证明：由于 ，所以它们在单位圆上；又|3z因为 ，故02321z如图，则 与 的夹角
2、和 与 的夹角相等；1z32z3同理， 与 的夹角和 与 的夹角相等；212312z与 的夹角和 与 的夹角相等；1z23z2因此，容易证明， 、 、 的夹角为 120 度，所以结论成立。19、求证： )2sin(co2s)sinco( n证明： i)1|i1| 222ss，co4)co(所以 ，2sinsins12i)(c2故。)2sin(co2ssino1n11、设 ，证明：|0z如果 ，那么；10z如果 ，那么1|z（1） 、 ；0（2） 、 ；2020|1|)(zz（3） 、 ；|1000（4） 、 。|0zz证明： ，所以 ，因此1|；1|)(00zz(1)、 022Re|z，00)
3、(1zz所以 20202020 |)(|1|1| zzzz)|(|即 ，2020|所以 ；1z(2)、由上面的讨论，有：，)|1(| 2022020 z即 00|)1(1zz(3)、 20020|Re|z2|z200|)1(zzzz 0240204332Re|e| 02020Re|)(|1| zzzzzz024020302042Re| | 20202020 |)|(1|)|1(| zzzz zz002 02333Re| |z0200202e)1|()1|(|zz020020|e| |，)Re|)()(所以， ；2020)|1(zz2| zzzz 02402043300 Re|Re02020|)
4、(|1|zzzzz024020302042Re| | 20202020 |)|(|1|)|1(| zzz002 02333Re| |zzz0200202Re)1|(Re)1|(| |020|)e|)(|)(20zzz所以 2020200 |(|1|1| ；zz00|(4)、类似于(3) ，可以证明结论。14、满足下列条件的点 所组成的点集是什么？如果是区域，是单连通区域还是多连通区域：（1） 、 ； 3Imz解：直线，不是区域；（2） 、 ；Re解：半平面，单连通无界区域；（3） 、 ； |iz解： ，圆心5i 在i，半径为 的闭圆盘，5有界闭区域；（4） 、 ；5|2|z解：椭圆，不是区域；（5） 、 ； 4)arg(iz解：半射线，不是区域；（6） 、 ；21Re,|z解：半园，不是区域，因为既不是开集，也不是闭集；（7） 、 ；|0iz解：去心圆盘，有界多连通区域；（8） 、 ；21z解：圆盘的外区域，无界多连通闭区域；， ；iyxz83)4(2y（9） 、 ；Re,)1arg(zz解：梯形区域，有界单连通区域； （10） 、 ；4ar0iz解： )arg()(giz圆盘的外区域，无界多连通闭区域。
