1、中学学科网 http:/中学学科网 http:/初三数学正多边形和圆的有关计算复习正多边形和圆是初中几何课本中的最后一单元,它包括正多边形的定义、正多边形的判定、性质,正多边形的有关计算,圆周长及弧长公式，圆、扇形、弓形的面积。今天我们一起学习正多边形的定义、判定、性质及有关计算.一、基础知识及其说明：1.正多边形的定义:各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形.此定义中的条件各边相等,各角也相等 “缺一不可 ”.如:菱形各边相等,因四个角不等,所以菱形不一定是正多边形.矩形的四个角相等,但因四条边不一定相等,故矩形不一定是正四边形,只有正方形是正四边形.2.正多边形的判定,正多边形的定义当然
2、是正多边形的判定方法之一,但如同全等三角形的判定一样,用定义来证明两个三角形全等显然不可取,因此需用判定定理来证.判定定理:把圆几等分( )3n依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正 边形n经过各分点做圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正 边形.n也就是说,若要证明一个多边形是圆内接正多边形,只要证明这个多边形的顶点是圆的等分点即可, 如：要证明一个圆内接 边形 ABCDEF是圆内接正 边形,就要证A、B、C、D、E、F各点是圆的 n 等分点,就是要证 AB=BC=CD=DE=EF=.同样,要证明一个圆外切 边形是圆外切正 边形,只要证明各切点是圆的等分点即可.n例 1
3、:证明：各边相等的圆内接多边形是正多边形.已知:在O 中,多边形 ABCDE是O 的内接 n 边形, O E且 AB=BC=CD=DE=. 求证:n 边形 ABCDE是正 n 边形. A D证明: AB=BC=CD=DE= B C AB=BC=CD=DE OEB=AEC= BED=COE= DCBA又AB=BC=CD=DE= n 边形 ABCDE是正 n 边形.例 2:证明:各角相等的圆外切 n 边形是正 n 边形.已知:多边形 是圆外切 n 边形,切点分别是 A,B,C,D,E,FE=.DCBA求证:n 边形 是正 n 边形.A证明:连结 OB,OC,OD,在四边形 COD 和四边形 BOC
4、 中CB 切O 于 B,C,D, 90ODBO A F 18而 CAE中学学科网 http:/中学学科网 http:/ CODBBC=CD(在同圆中,相等的圆 B O E心角所对的弧相等). D同理 BC=CD=DE=FE= DBA,B,C,D,E,F是圆的 n 等分点 C多边形 ABCDEF是圆外切 n 正多边形 3.正多边都是轴对称图形,若 n 是奇数,正 n 边形是轴对称图形,n 是偶数,正 n 边形既是轴对称图形又是中心图形.4.正多边形的性质:任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆.5.正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫正多边形的中心.外接圆半径叫正多边形的半径.
5、内切圆的半径叫正多边形的边心距.正多边形的每一边所对的圆心角叫中心角,中心角的度数是 .n360如图:OA,OB 是半径,O 是中心,OHAB 于 H,OH 是边心距, AOB是中心角. OA H B6.正多边形的有关计算,一般是围绕正 边形的半径 R,边长 ,边心距 ,周长 及面nnanrnp积 来进行,但关健是 之间的计算,因为正 边形的边心距把正 边形的一边与该边nSnrRa所对应的两条半径所围成的等腰三角形分成两个全等的直角三角形,所以在 RtAOH 中,斜边是 R,直角边分别是 和 ,锐角 ,利用直角三角形的有关知识(勾股定理,2nnAOH180锐角三角函数等)来解直角三角形即可.例
6、：已知正六边形 ABCDEF 的半径是 R,求正六边形的边长 S6.面 积,6a解:作半径 OA、OB，过 O 做 OHAB，则AOH= =306180 E DAH3sin F O C0si R21Ra26A H B r630cos R2S6= 26 36211Rra中学学科网 http:/中学学科网 http:/同学们在进行正多边形的计算时,应很好的理解、掌握如何用解直角三角形的方法进行计算,但也可以推出公式,然后利用公式变形进行计算. nAOH180则 ORa2siA H Bnn180ircos这是已知半径 R,求 的公式,若记住公式则正多边形的计算就简单了很多,如已知nra和半径 R,求
7、 64,a解: RR245si2180si2rr36co6再如：已知正三角形的边长为 ,可以先由 ,求出半径5ra求 3180sin2a,再将求得的 R 代入 ；若已知边心距求边长,aR3 a660cos3则先用 ,求出 R,再代入求边长公式 即可求出,此法好处是不nrn180cos nRan180si2用画图,只需将上面两个公式反复变形即可.7.如何求同圆的圆内接正 边形与圆外切正 边形的边长比,半径比,边心距比.如：求同圆的圆内接正 边形和圆外切正 边形的边长比.n设O 的半径的为 R则圆内接正 边形的边长是nRan180si2OA DB HC而在 RtOBC 中,OB=R,则 , 即外切
8、正ntgROCntg 180,180ntgR1802边形的边长是 ,nRt2 ntgnRtgn 180si1802si边 形 的 边 长圆 外 切 正 边 形 的 边 长圆 内 接 正中学学科网 http:/中学学科网 http:/= nnn 180cossi180icosi180si 实际上， 边 形 的 半 径圆 外 切 正 边 形 的 半 径圆 内 接 正边 形 的 边 长圆 外 切 正 边 形 的 边 长圆 内 接 正= ,OB 是 的邻边,OC 是 RtBOC 的斜边,OCBn边 形 的 边 心 距圆 外 切 正 边 形 的 边 心 距圆 内 接 正 n180,希望同学们记住此结论.
9、如圆内接正四边形的边心距与圆外BOC180cos斜 边的 斜 边切正四边形的边心距之比是 ,圆内接正六边形与圆外切正六边形的边长之比是24,而圆内接正三角形与圆外切正三角形的面积之比是 .(注意:236180cos 41)380(cos2此结论必须是同圆的边数相同的圆内接正 边形与圆外切正 边形的相似比是 .nnns若求圆外切正 边形与圆内接正 边形的相似比则是 ).n 180cos二、练习题:1.判断题:各边相等的圆外切多边形一定是正多边形.( )各角相等的圆内接多边形一定是正多边形.( )正多边形的中心角等于它的每一个外角.( )若一个正多边形的每一个内角是 150,则这个正多边形是正十二
10、边形.( )各角相等的圆外切多边形是正多边形.( )2.填空题:一个外角等于它的一个内角的正多边形是正_边形.正八边形的中心角的度数为_,每一个内角度数为_,每一个外角度数为_.边长为 6cm 的正三角形的半径是_cm,边心距是_cm,面积是_cm.面积等于 cm2的正六边形的周长是_.36同圆的内接正三角形与外切正三角形的边长之比是_.正多边形的面积是 240cm2,周长是 60cm2,则边心距是_cm.正六边形的两对边之间的距离是 12cm,则边长是_cm.同圆的外切正四边形与内接正四边形的边心距之比是_.同圆的内接正三角形的边心距与正六边形的边心距之比是_.3.选择题:下列命题中,假命题
11、的是( )A.各边相等的圆内接多边形是正多边形.B.正多边形的任意两个角的平分线如果相交,则交点为正多边形的中心.C.正多边形的任意两条边的中垂线如果相交,则交点是正多边形的中心.D.一个外角小于一个内角的正多边形一定是正五边形.若一个正多边形的一个外角大于它的一个内角,则它的边数是( )中学学科网 http:/中学学科网 http:/A.3 B.4 C.5 D.不能确定同圆的内接正四边形与外切正四边形的面积之比是( )A.1: B.1: C.1:2 D. :1322正六边形的两条平行边间距离是 1,则边长是( )A. B. C. D.643周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积 S3、S 4、S 6之间的大小关系是:( )A.S3S4S6 B.S6S4S3 C.S6S3S4 D.S4S6S3正三角形的边心距、半径和高的比是( )A.1:2:3 B.1: : C.1: :3 D.1:2:22三、练习答案:1.判断题 2.填空题 四 45,135,45 12 39,21:2 1:4 8 :1 1:343.选择题 D A C C B A
