1、家教吗助您登上知识的高峰 更多试题下载请访问 专题一 集合和函数与导数一、选择题（每小题 6分）1（00 全国）设全集是实数，若 A=x| 0，B=x| = ,则 是( D )2x210xxRACB(A)2 (B)1 (C)x|x2 (D) 2（01 全国）已知 a为给定的实数，那么集合 Mx|x 23xa 220，xR的子集的个数为( )A.1 B.2 C.4 D.不确定解：M 表示方程 3 20 在实数范围内的解集由于 14 0，所以含有 2个元素故集合有 2 4 个子集，选3（02 全国）函数 f (x)=log1/2(x2-2x-3)的单调递增区间是（ ）（A） （,1） （B） （
2、,1） （C） （1,） （D） （3, ）解：由 x2-2x-30 有 x-1 或 x3，故函数 log1/2(x2-2x-3)的定义域为 x-1或 x3。二次函数 u=x2-2x-3在（-，-1）内单调递减，在（3，+）内单调递增。而 log1/2u在(0,+)上单调递减，所以 log1/2(x2-2x-3)在(-,-1)单调递增，故选 A。4（02 全国）函数 f(x)=x/1-2x-x/2 （ ）（A）是偶函数但不是奇函数 （B）是奇函数但不是偶函数（C）既是偶函数又是奇函数 （D）既不是偶函数也不是奇函数解：函数 f(x)的定义域是(-,0)(0,+)，当 x0 时，因为f(-x)=
3、(-x)/(1-2-x)-(-x)/2=(-x2x)/(2x-1)+(x/2)=(x+x(2x-1)/(1-2x)+(x/2)=(x/(1-2x)-x+(x/2)=(x/(1-2x)-(x/2)=f(x)，所以 f(x)为偶函数，显然 f(x)不是奇函数，故选 A。5（06 全国）已知集合 ， , ，且 ，05aA06bBNa2,34B则整数对 的个数为 （ ）ba,A. 20 B. 25 C. 30 D. 42 【解】 ； 。要使 ，则50x5x60b6x2,34AB，即 。所以数对 共有 。 【答】 （ C ）12645ba12baa,16530C6（06 全国）设 ，则对任意实数 ， 是
4、322()logfxx,ab0的()0fabA. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件 （ ）C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【解】显然 为奇函数，且单调递增。于是，若 ，则 ，322()log1fxx 0abab有 ，即 ，从而有 .反之，若 ，则fab()fafb()0fab()f,推出 ，即 。 选 A .()7（04 天津）已知函数 的反函数是 ，且 ，则（ D ）xexf)( )(1xfkf|)6.(|81家教吗助您登上知识的高峰 更多试题下载请访问 （A） （B） （C） （D）)21,0(k)1,2(k)23,1(k)2,3(k8（05 天津）已知 f(x)
5、是定义在 R上的不恒为 0的函数如果对于任意的 a、bR 都满足 f(ab)af(b)bf(a)，则函数 f(x) ( )(A)是奇函数 (B)是偶函数(C)既是奇函数又是偶函数 (D)既不是奇函数也不是偶函数解：A 由 f(1)f(1)f(1)有 f(1)0，而 f(1)2f(1)，f(1)0，f(x)f(x)xf(1)f(x)9（06 天津）已知函数 ，当 时， 恒成立，则 的取值范2)(2axxf ),1axf)(围是（ D ）（A） （B） （C） （D）12a2313a10 （06 天津）已知集合 是集合 的子集，且对任意 ，都有 ，则集合0,1 Bxx中的元素最多有（ A ）B（A
6、）67 个 （B）68 个 （C）69 个 （D）70 个二、填空题（本题满分 54分，每小题 9分）11 （01 全国）函数 yx 的值域为_.2x32解：先平方去掉根号 由题设得（） 32，则（ 2）（23）由，得（ 2）（23） 解得 132，或2由于 能达到下界 0，所以函数的值域为1，322，说明：（1）参考答案在求得 132 或2 后，还用了较长的篇幅进行了一番验证，确无必要 （2）本题还可以用三角代换法和图象法来解，不过较繁，读者不妨一试12 （02 全国）已知 f(x)是定义在 R上的函数，f(1)=1 且对任意 xR 都有 f(x+5)f(x)+5，f(x+1)f(x)+1。
7、若 g(x)=f(x)+1-x，则 g(2002)= 。解：由 g(x)=f(x)+1-x得：f(x)=g(x)+x-1，所以 g(x+5)+(x+5)-1g(x)+(x-1)+5, g(x+1)+(x+1)-1g(x)+(x-1)+1.即 g(x+5)g(x),g(x+1)g(x). g(x)g(x+5)g(x+4)g(x+3)g(x+2)g(x+1)g(x).g(x+1)=g(x).即 g(x)是周期为的周期函数，又 g(1)=1，故 g(2002)=1.13 （02 全国）若 log4(x+2y)+log4(x-2y)=1，则x-y的最小值是 。解： 由对称性只考虑 y0，因为 x0，所
8、以只须求 x-y的最小值.令 x-y=u代入 x2-4y2=4,有 3y2-2uy+(4-u2)=0.这个关于 y的二次方程显然有实根，故 =16(u 2-3)0,u3.当 x=(4/3)3,y=(3)/3 时,u=3.故x-y的最小值为3.14 （03 全国）已知 a，b，c，d 均为正整数，且 ，若 ac9，则 bd 45log23ldbca，解：由已知可得： ，从而 ，因此 ab，cd又由 ac9，4523, )(,)(家教吗助您登上知识的高峰 更多试题下载请访问 故 ，即 ，故得 ，解得 故9)(42cdab 9)(22cdab1922cdab32,156dbcabd9315 （03
9、 全国）不等式 | x | 32x 24| x | 3 0 的解集是_解：由原不等式分解可得(| x |3)(x 2| x |1)0，由此得所求不等式的解集为),215(),3(16 （03 全国）已知 Axx 24x30，xR，Bx2 1x a0，x 22(a7)50，xR，若 A B，则实数 a的取值范围是_解：易得：A(1，3)，设 ，要使 ，只需 f (x)、g 5)7(2)(,)(1 axgafx BA(x)在(1，3)上的图象均在 x轴下方，其充要条件是 f (1)0，f (3)0，g (1)0，g (3)0，由此推出4a117 （04 全国）设函数 ，且对任意:,(0)ff满 足
10、 ,yR都 有 (1)()fxyfy，则 =_。()2fyx()解： ,1)()2,yRxyyfx对 有 (ff有= ()()ff()x即 。,0,x令 得18 （05 全国）已知 是定义在 上的减函数，若 成立，x)143()12(2afaf则 的取值范围是a.513a或解： 在 上定义，又)(f),02217()0;48a 仅当 或 时，23413aa3).(在 上是减函数，)(xf), ,50,5,222 aa结合（）知 或10.519 （04 天津）若关于 的方程 只有一个实数解，则 的值等于 100 xxalg12 a20 （05 天津）已知二次函数 f(x)满足 f(1)0，且 x
11、f(x) (x21)对一切实数 x恒成立，那1么，函数 f(x)的解析式为_ (x1) 2 _41三、解答题(每小题 20分)21 （00 全国）若函数 在区间a,b上的最小值为 2a，最大值为 2b，求a,b.23(xf答案： 1313274， 或 ，家教吗助您登上知识的高峰 更多试题下载请访问 22 （02 全国）设二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a,b,cR,a0)满足条件：（1）当 xR 时,f(x-4)=f(2-x),且 f(x)x;92） ；（2）当 x(0,2)时，f(x)(x+1)/2) 2;（3）f(x)在 R上的最小值为 0.求最大的 m(m1)，使得存在 tR，只
12、要 x1,m，就有 f(x+t)x。解：f(x-4)=f(2-x),函数的图象关于 x=-1对称，-b/2a=-1,b=2a.由(3)x=-1 时，y=0，即 a-b+c=0， 由(1)得 f(1)1，由(2)得 f(1)1，f(1)=1,即 a+b+c=1,又a-b+c=0,b=1/2,a=1/4,c=1/4, f(x)=(1/4)x 2+(1/2)x+(1/4).假设存在 tR，只要 x1,m,就有 f(x+t)x.取 x=1有 f(t+1)1.即(1/4)(t+1) 2+(1/2)(t+1)+(1/4)1,解得-4t0.对固定的 t-4,0,取 x=m，有 f(t+m)m,即(1/4)(
13、t+m) 2)+(1/2)(t+m)+(1/4)m,化简有 m2-2(1-t)m+(t2+2t+1)0 解得 1-t-( )1-t+ 于是有 m1-t+ 1-(-4)+ =9.当 t=-4时，对任意的4t4t4t4tx1,9，恒有 f(x-4)-x=(1/4)(x2-10x+9)=1/4(x-1)(x-9)0.所以 m的最大值为。23 （04 全国）已知 是方程 的两个不等实根，函数 的定,10()xttR2()1xtf义域为 。 （）求 ；（）证明：对于 ，,()ma)ingtffx0,3)iui若 。123sinisin1,uu12316t(ta)(tn)4ug则解：（）设 22 240,
14、4,xxx则2111214()(),()0t t则 212222121()() tfxfxx又 11121()0()0tt ffx故 在区间 上是增函数。.5 分 ()f,4t 22()()max()in()1tgtffxf10分22518156tt（）证： 224(1,3)19cos19cosi iuu15分33 321 1(6)69)sin)(tan)i ii ii ugu ，而均值不等式与柯西不等33211s,0,),2sin(iii ii 且家教吗助您登上知识的高峰 更多试题下载请访问 式中，等号不能同时成立， 123113(759)6(tan)(t)(tan)46gugu.20分2
15、4 （04 天津）已知函数 （ ， ）的反函数是 ，而且函数xf30)(1xfy的图象与函数 的图象关于点 对称)(xgy)(1y),(a（）求函数 的解析式；（）若函数 在 上有意义，)(1xgfxF 3,2a求 的取值范围a【解】 （）由 （ ， ） ，得 5分axf3)(0lo1fa又函数 的图象与函数 的图象关于点 对称，则 ，于gy)(1xfy)0,(a)()(1xfx是， （ ）10 分log2)(1fxa（）由（）的结论，有 lg3log)( xfFaa要使 有意义，必须)(F.0,3x又 ，故 15 分0aax由题设 在 上有意义，所以 ，即 ,2a321于是， 20 分125
16、 （06 天津）已知 、 是关于 的二次方程 的两个根，且 ，若函数x0tx （）求 的值；（）对任意的正数 、 ，求证：4)(2xtf )(ff 1x2|2()| 121 x【解】 （）由书籍，根据韦达定理有 ，t1， ，2)(4)(22 tf 2)(24)(2 tf 5 分)(f（）已知函数 ， 而且对 ，142xtf 2)1()(xtf ,x，于是 ，函数 在 上是增函数 0)(2tx 0 14)(2xtf,10分。 注意到对于任意的正数 、12，2121 xx 021xx即 ，同理 15 分21 ， ，)()21fxff )(21fxff家教吗助您登上知识的高峰 更多试题下载请访问
17、)()()(21fxff 于是 ，)()( 2121 ffxf 而 ，)|()(|21xfxf |2( 20 分|)| 2126 （05 天津）已知函数 f(x) x(1)是否存在实数 a、b(ab)，使得函数 f(x)的定义域和值域都是a、b？若存在，请求出 a、b的值；若不存在，请说明理由(2)若存在实数 a、b ，使得函数 f(x)的定义域是a、b，值域是ma、mb(m0)，求实数 m的取值范围解：(1)不存在实数 a、b 满足条件事实上，若存在实数 a、b 满足条件，则有xa0故 f(x) 10,1,x(i)当 a、b(0，1)时，f(x) 在(0， ，1)上为减函数，所以 即x,)(
18、abf.1,ab由此推得 ab，与已知矛盾，故此时不存在实数 a、b(ab)满足条件(ii)当 a、b1，)时，f(x) 在1，+)上为增函数，所以 即 于x1,)(bf.1,b是 a、b 为方程 x2x10 的实根而此时方程无实根，故此时也不存在实数 a、b(ab)满足条件(iii)当 a(0，1)，b1，)时，显然 1a，b，而 f(1)0，所以 0a，b，矛盾综上可知，不存在实数 a、b(ab)满足条件(2)若存在实数 a、b(ab)满足 f(x)定义域是a、b，值域是ma、mb(m0)，易得m0，a0仿(1)知，当 a、b(0，1)或 a(0，1)，b1，)时，满足条件的实数 a、b 不存在只有当 a、b1，)时，f(x) 在1，)上为增函数，有x1,)(mf家教吗助您登上知识的高峰 更多试题下载请访问 即 于是 a、b 为方程 mx2x10 的两个大于 1的实根.1,mba 只须 解得 0m ，所以 m的取值范围为 0m ,1240x,24,0m441
