1、容斥原理在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。两 个 集 合 的 容 斥 关 系 公 式 ： AB = A+B - AB (:重 合 的 部 分 ） 三 个 集 合 的 容 斥 关 系 公 式 ： ABC = A+B+C - AB - BC - CA +ABC 2、 文 氏 图 分 块 标 记 如 右 图 图 ： 1245构 成 A， 2356构 成 B，
2、4567构 成 C 3、 等 式 右 边 （ ） 里 指的 是 下 图 的 1+2+3+4+5+6六 部 分 ： 那 么 ABC 还 缺 部 分 7。 4、 等 式 右 边 【 】 号 里+C（ 4+5+6+7） 后 ， 相 当 于 ABC 多 加 了 4+5+6三 部 分 ， 减 去 BC（ 即 5+6两 部 分 ） 后 ，还 多 加 了 部 分 4。 5、 等 式 右 边 里 减 去 CA （ 即 4+5两 部 分 ） 后 ， ABC 又 多 减 了 部 分5， 则 加 上 ABC（ 即 5） 刚 好 是 ABC。 容 斥 原 理 1 两 集 合 标 准 型如 果 被 计 数 的 事 物
3、有 A、 B 两 类 ， 那 么 ， A 类 B 类 元 素 个 数 总 和 = 属 于 A 类 元 素 个 数 + 属 于B 类 元 素 个 数 既 是 A 类 又 是 B 类 的 元 素 个 数 。 (AB = A+B - AB ) 总数=两集合数之和+两集合之外数两集合公共数例 1 一 次 期 末 考 试 ， 某 班 有 15人 数 学 得 满 分 ， 有 12人 语 文 得 满 分 ， 并 且 有 4人 语 、 数 都 是 满 分 ，那 么 这 个 班 至 少 有 一 门 得 满 分 的 同 学 有 多 少 人 ？ 分 析依 题 意 ， 被 计 数 的 事 物 有 语 、 数 得 满
4、分 两 类 ， “数 学 得 满 分 ”称 为 “A 类 元 素 ”， “语 文 得 满 分 ”称为 “B 类 元 素 ”， “语 、 数 都 是 满 分 ”称 为 “既 是 A 类 又 是 B 类 的 元 素 ”， “至 少 有 一 门 得 满 分 的 同 学 ”称为 “A 类 和 B 类 元 素 个 数 ”的 总 和 。 答 案15+12-4=23 试 一 试电 视 台 向 100人 调 查 前 一 天 收 看 电 视 的 情 况 ， 有 62人 看 过 2频 道 ， 34人 看 过 8频 道 ， 其 中 11人两 个 频 道 都 看 过 。 两 个 频 道 都 没 看 过 的 有 多 少
5、 人 ？ 100-(62+34-11)=15 容 斥 原 理 2 三 集 合 标 准 型如 果 被 计 数 的 事 物 有 A、 B、 C 三 类 ， 那 么 ， A 类 和 B 类 和 C 类 元 素 个 数 总 和 = A 类 元 素 个 数+ B 类 元 素 个 数 +C 类 元 素 个 数 既 是 A 类 又 是 B 类 的 元 素 个 数 既 是 A 类 又 是 C 类 的 元 素 个 数既 是 B 类 又 是 C 类 的 元 素 个 数 +既 是 A 类 又 是 B 类 而 且 是 C 类 的 元 素 个 数 。 集合 A、B、C，满足标准型公式：=总数-三者都不满足的个数总数=各
6、集合数之和两集合数之和三集合公共数三集合之外数三集合标准型公式适用于题目中各类条件都明确给出的情况。另外，可使用尾数法，判断个位数的相加减快速确定正确答案。例 2某 校 六 （ 1） 班 有 学 生 45人 ， 每 人 在 暑 假 里 都 参 加 体 育 训 练 队 ， 其 中 参 加 足 球 队 的 有 25人 ，参 加 排 球 队 的 有 22人 ， 参 加 游 泳 队 的 有 24人 ， 足 球 、 排 球 都 参 加 的 有 12人 ， 足 球 、 游 泳 都 参 加 的有 9人 ， 排 球 、 游 泳 都 参 加 的 有 8人 ， 问 ： 三 项 都 参 加 的 有 多 少 人 ？
7、分 析 ： 参 加 足 球 队 的 人 数25人 为 A 类 元 素 ， 参 加 排 球 队 人 数 22人 为 B 类 元 素 ， 参 加 游 泳 队 的 人 数 24人 为 C 类 元 素 ， 既 是A 类 又 是 B 类 的 为 足 球 排 球 都 参 加 的 12人 ， 既 是 B 类 又 C 类 的 为 足 球 游 泳 都 参 加 的 9人 ， 既 是 C类 又 是 A 类 的 为 排 球 游 泳 都 参 加 的 8人 ， 三 项 都 参 加 的 是 A 类 B 类 C 类 的 总 和 设 为 X。 注 意 ： 这个 题 说 的 每 人 都 参 加 了 体 育 训 练 队 ， 所 以
8、 这 个 班 的 总 人 数 既 为 A 类 B 类 和 C 类 的 总 和 。 答案 ： 25+22+24-12-9-8+X=45 解 得 X=3 例 3在 1到 1000的 自 然 数 中 ， 能 被 3或 5整 除 的 数 共 有 多 少 个 ？ 不 能 被 3或 5整 除 的 数 共 有 多 少 个 ？ 分 析 ： 显 然 ， 这 是 一 个 重 复 计 数 问 题 （ 当 然 ， 如 果 不 怕 麻 烦 你 可 以 分 别 去 数 3的 倍 数 ， 5的 倍 数 ） 。我 们 可 以 把 “能 被 3或 5整 除 的 数 ”分 别 看 成 A 类 元 素 和 B 类 元 素 ， 能
9、“同 时 被 3或 5整 除 的 数 （ 15的倍 数 ） ”就 是 被 重 复 计 算 的 数 ， 即 “既 是 A 类 又 是 B 类 的 元 素 ”。 求 的 是 “A 类 或 B 类 元 素 个 数 ”。 现在 我 们 还 不 能 直 接 计 算 ， 必 须 先 求 出 所 需 条 件 。 10003=3331， 能 被 3整 除 的 数 有 333个 （ 想一 想 ， 这 是 为 什 么 ？ ） 同 理 ， 可 以 求 出 其 他 的 条 件 。 例 4分 母 是 1001的 最 简 分 数 一 共 有 多 少 个 ？ 分 析 ： 这 一 题 实 际 上 就 是 找 分 子 中 不
10、能 与 1001进 行 约 分 的 数 。 由 于 1001=71113， 所 以就 是 找 不 能 被 7， 11， 13整 除 的 数 。 解 答 ： 11001中 ,有 7的 倍 数 1001/7 = 143 (个 )； 有 11的 倍 数 1001/11 = 91 (个 ),有 13的 倍 数 1001/13 = 77 (个 )； 有 711=77的 倍 数 1001/77 = 13 (个 ),有 713=91的 倍 数 1001/91 = 11 (个 ),有 1113=143的 倍 数 1001/43 = 7 (个 ).有1001的 倍 数 1个 . 由 容 斥 原 理 知 :在 1
11、1001中 ,能 被 7或 11或 13整 除 的 数 有 (143+91+7)-(13+11+7)+1=281(个 ),从 而 不 能 被 7、 11或 13整 除 的 数 有 1001-281=720(个 ).也 就 是 说 ,分 母 为1001的 最 简 分 数 有 720个 . 例 5某 个 班 的 全 体 学 生 在 进 行 了 短 跑 、 游 泳 、 投 掷 三 个 项 目 的 测 试 后 ， 有 4名 学 生 在 这 三 个 项 目 上都 没 有 达 到 优 秀 ， 其 余 每 人 至 少 有 一 项 达 到 了 优 秀 ， 达 到 了 优 秀 的 这 部 分 学 生 情 况 如
12、 下 表 ： 短 跑 游 泳 投 掷 短 跑 、 游 泳 短 跑 、 投 掷 游 泳 、 投 掷 短 跑 、 游 泳 、 投 掷1 7 1 8 1 5 6 6 5 2求 这 个 班 的 学 生 共 有 多 少 人 ？ 分 析 ： 这 个 班 的 学 生 数 ， 应 包 括 达 到 优 秀 和 没 有 达 到 优 秀 的 。 试 一 试 ： 一 个 班 有 42人 ， 参加 合 唱 队 的 有 30人 ， 参 加 美 术 组 的 有 25人 ， 有 5人 什 么 都 没 有 参 加 ， 求 两 种 都 参 加 的 有 多 少 人 ？ 原理一：给定两个集合 A 和 B，要计算 AB 中元素的个数，
13、可以分成两步进行：第一步：先求出A+ B ( 或者说把 A，B 的一切元素都“ 包含”进来，加在一起);第二步：减去AB(即“排除”加了两次的元素)总结为公式：|A B|=A+B - AB原理二：给定三个集合 A，B，C。要计算 ABC 中元素的个数，可以分三步进行：第一步：先求A+ B +C ;第二步：减去AB，BC ，CA;第三步：再加上ABC。即有以下公式：ABC =A+ B +C-AB-BC- |CA|+|ABC容 斥 原 理 3 三 集 合 复 合 型三集合容斥问题中，有些条件未知时，就不能直接使用标准型公式，而是运用整体重复型公式同样可以解答。特别当题目中说明分别满足一种、两种、三
14、种条件的个数时，使用整体重复型公式。并且，三集合整体重复型公式是现在国家公务员考试考查三集合容斥问题的重点。另外，仍可利用尾数法可以快速求解。三集合 A、B、C，用 W 代表 ，满足一个条件的数量为 x（仅单色区域），满足两个条件的数量为 y（双色区域），满足三个条件的数量为 z（三色区域），则有：W=x+y+z A+B+C=x+2y+3z【例题 3】（国家-行测-2010-50）某高校对一些学生进行问卷调查。在接受调查的学生中，准 备参加注册会计师考试的有 63 人，准备参加英语六级 考试的有 89 人，准 备参加计算机考 试的有 47 人，三种考试都准备参加的有 24 人，准 备选择 两种
15、考试参加的有 46 人，不参加其中任何一种考试的有 15 人。问接受调查的学生共有多少人？（ ）A. 120 B. 144 C. 177 D.192【答案】A。根据题意，分别已知两种条件、三种条件都满足的个数，使用三集合整体重复型公式：W=x+46+24 63+89+47=x+2*46+3*24 根据尾数法，解得 x 尾数是 5，W 尾数是 5。因此，学生总数=W+15，尾数为 0，选 A。【例题 4】（国家-行测-2011-74）某市对 52 种建筑防水卷材产品进行质量抽检，其中有 8 种产品的低温柔度不合格，10 种产品的可溶物含量不达标， 9 种产品的接缝剪切性能不合格，同时两项不合格的
16、有 7 种，有 1 种产品这三项都不合格。 则三项全部合格的建筑防水卷材 产品有多少种？（ ）A. 37 B. 36 C. 35 D. 34【答案】D。根据题意，分别已知满足一种条件、两种条件的个数，使用三集合整体重复型公式：W=x+7+1 8+9+10=x+2*7+3*1 根据尾数法，解得 x 尾数为 0，W 尾数为 8。 因此，全合格的产品数=总数-W=52-W，尾数为 4，选 D。三集合标准型公式和整体重复型公式的适用情况是不同的：标准型公式适用于各项条件都明确给出的情况，而整体重复型公式适用于分别给出满足一种、两种、三种条件的个数，因为这三者之间没有任何包含关系。区分好两种情形，特别是
17、整体重复型公式，三集合容斥问题就迎刃而解了。容斥问题在数字整除中的运用例 1 求不超过 20 的正整数中是 2 的倍数或 3 的倍数的数共有多少个。分析：设 A=20 以内 2 的倍数，B=20 以内 3 的倍数 ，显然，要求计算 2 或 3 的倍数个数，即求AB。解 1：A=2，4， 6，20，共有 10 个元素，即|A|=10B=3，6 ，9，18，共有 6 个元素，即|B|=6AB=既是 2 的倍数又是 3 的倍数=6，12，18，共有 3 个元素，即|AB|=3所以AB= A+B-AB=10+6-3=13，即 AB 中共有 13 个元素。例 2 求在不超过 100 的自然数中，不是 5
18、 的倍数，也不是 7 的倍数有多少个?分析：这个问题与前几个例题看似不相同，不能直接运用容斥原理，要计算的是“既不是 5 的倍数，也不是 7 的倍数的数的个数。 ”但是，只要同学们仔细分析题意，这只需先算出“100 以内的 5 的倍数或 7 的倍数的数的个数。 ”再从 100 中减去就行了。解：设 A=100 以内的 5 的倍数B=100 以内的 7 的倍数AB=100 以内的 35 的倍数AB=100 以内的 5 的倍数或 7 的倍数 则有A=20， B =14，AB=2由容斥原理一有：AB= A +B-AB=20+14-2=32因此，不是 5 的倍数，也不是 7 的倍数的数的个数是：100
19、-32=68(个)点评：从以上的解答可体会出一种重要的解题思想：有些问题表面上看好象很不一样，但经过细心的推敲就会发现它们之间有着紧密的联系，应当善于将一个问题转化为另一个问题。方阵问题基础学习一. 解答题2、实心方阵例1：30人一排的方阵，求最外层有多少人？【答案】116人。【解题关键点】利用公式四周人(或物)数=每边人(或物)数-14， （30-1）4=1163、实心方阵例2：20人一排的方阵共有多少人？【答案】400（人） 。【解题关键点】利用公式：实方阵总人(或物)数=每边人(或物)数每边人(或物)数，2020=400（人） 。 5、空心方阵例1：小华用围棋摆了一个六层的空心方阵,共用
20、264颗棋子,问最里层有多少个棋子？( )A 36 B 24 C 30 D 22【答案】B【解题关键点】法一：对于空心方阵，最外层每边数=总数4层数+层数最外层每边数=（26446）+6=17人；共六层，最外一层与最里一层相差5层。每层每边数差两个，所以最里层每边数=17-52=7个那么最里层个数是47-4=24个。法二：方阵每层相差8个。那么从里向外数，第二层比第一层多8个，第三比第一层多16个，第四层比第一层多24个，第五层比第一层多32个，第六层比第一层多40个；那么最里一层就是（264-8-16-24-32-40）6=24个【结束】6、空心方阵例2：一个两层空心方阵最外层有16人，一共
21、多少人？（）A.16 B.24 C.10 D.22【答案】B【解题关键点】最外层16人-四个角4人=12人 124=3，即每个边3人 内层每个边应该比外层少2人以占角拐弯，故每个边仅1人，加上4个角，内层共8人 综上，内外两层共24人总而言之，就是外层每排5人，内层每排3人，最中间空出一个人位置的两层空心方阵。7、方阵综合例1：方阵外一层总人数比内一层的总人数多8每边人数与该层人数关系是：最外层总人数（边人数1）4 方阵总人数最外层每边人数的平方 空心方阵的总人(或物)数=（最外层每边人(或物)数空心方阵的层数）空心方阵的层数4 去掉一行、一列的总人数=去掉的每边人数2-1【例1】某校的学生刚
22、好排成一个方阵，最外层的人数是96人，问这个学校共有学生？【答案】625【解题关键点】解答：最外层每边的人数是964+125，刚共有学生2525=6258、方阵综合例2：五年级学生分成两队参加学校广播操比赛，他们排成甲乙两个方阵，其中甲方阵每边的人数等于8，如果两队合并，可以另排成一个空心的丙方阵，丙方阵每边的人数比乙方阵每边的人数多4人，甲方阵的人数正好填满丙方阵的空心。五年级参加广播操比赛的一共有多少人?（）A 160 B 204 C 100 D 260【答案】D【解题关键点】设乙最外边每人数为 Y，则丙为 Y+4.88+YY+88=(Y+4)(Y+4)， 求出 Y=14,则共有人数：14
23、14+88260。9、方阵综合例3：明明用围棋子摆成一个三层空心方阵，如果最外层每边有围棋子15个，明明摆这个方阵最里层一周共有多少棋子？摆这个三层空心方阵共用了多少个棋子? 【答案】56个，144个。【解题关键点】最外层有(15-1)4=56个。则里二层为56-82=40，应用公式，用棋子（153）34144。 10、方阵综合例4：学校运动会上，晨光小学组成一个大型方阵队，方阵队最外层每边25人，共8层；中间部分是15名同学组成的运动会会徽，这个方阵共有多少名同学？【解题关键点】空心方阵问题总数的公式是：总数=(最外层每边数-层数)*层数*411、方阵综合例5：108人排成空心方阵，如果最外
24、层每边12人，那么共有几层？【答案】3【解题关键点】可以把相邻两层每边人数想成是一个等差数列，公差是2（方阵问题中有这样一个知识点，就是相邻两边每边人数相差2） 。通过“1212-108=36”计算我们知道了此方阵是中间去掉了66的空心方阵，那么从每边12人排到每边6人，通过等差数列求项数公式是：项数=（末项-首项）(公差+1） 的计算我们能求出（12-6）2+1=4（层） ，应该是有4层，还因为我们已经知道要去掉的是每边6人那一层，所以刚才的算式就不用加1了，结果就是“（12-6）2=3（层） ”。11、方阵综合例6：国庆阅兵大典，参演学生组成一个方阵，已知方阵由外到内第二层有120人，则该
25、方阵共有学生多少人？（ ）A625 B841 C1024 D1089【答案】D【解题关键点】方阵由外到内第二层有120人，那么最外层有120+8=128人，那么每边有（128+4）4=33人，则整个方阵有3333=1089人。12、方阵综合例7：某校的学生刚好排成一个方阵，最外层的人数是96人，问这个学校共有学生（） 。 A600人 B615人 C625人 D640人【答案】C【解题关键点】根据方阵问题的基本公式，可知学校共有学生=方阵总人数=（964+1） =625。13、方阵综合例8：某校参加军训队列表演比赛，组织一个方阵队伍。如果每班60人，这个方阵至少要有4个班的同学参加，如果每班70人，这个方阵至少要有3个班的同学参加。那么组成这个方阵的人数应该为几人？ （）A169 B196 C225 D256【答案】B【解题关键点】依题意知道方阵数大于180小于210，考虑到方阵人数必须是一个平方数因此只能是196人成一个1414的方阵。
