1、数学运算一、代入排除法1)数的整除特性1，整数2，偶数（末一位）3，各位数字和（可配合消 3 法）4/25，末两位5，尾数是 0 或 5（末一位）6，2、3 偶数各位数字之和7，分割作差法，从末位开始往前数 3 位，用大数-小数，可循环作差。如，5327153/27127153=218218 不能被 7 整除，53281 不能被 7 整除8/125，末三位，如：153289，各位数字之和 如：351531=5100+310+1=599+5+39+3+1=（599+39）+（5+3+1）则 5+3+1 能被 9 整除，则 531 就能被 9 整除。10，末一位为 011，奇偶位数字求和作差，若差
2、能被 11 整除，则此数能被 11 整除，如，15327411211=1，则 1532741 不能被 11 整除。例 1. 在 865 后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被 3、4、5 整除，且使这个数值尽可能小，这个六位数是（ ）？A.865010 B.865020 C.865000 D.865230解析：能被 5 整除的数的特征最明显，ABCD 均可，被 4 整除，排除 AD，被 3 整除，选 B。例 2.一张旧发票上写有 72 瓶饮料，总价为 x67.9y 元，由于两头的数字模糊不清，分别用 x、y表示，每瓶饮料的单价也看不清了，那么 x=（）A.1 B.2 C.3 D.4解析
3、：x67.9y 能被 72 整除，即能被 8 和 9 整除，则 7.9y 能被 8 整除，得 y=2，再利用 9 整除数的特性得 x=3。例 4. 一只木箱内有白色乒乓球和黄色乒乓球若干个。小明一次取出 5 个黄球、3 个白球，这样操作 N 次后，白球拿完了，黄球还剩 8 个；如果换一种取法：每次取出 7 个黄球、3 个白球，这样操作 M 次后，黄球拿完了，白球还剩 24 个。问原木箱内共有乒乓球多少个? A246 个 B258 个 C264 个 D272 个解析：8N+8=10M+24，= 尾数是 4，且能被 8 整除，另有等式 3M+24=3N. （两次所取白球个数相等）例 5. 若干个同
4、学去划船，他们租了一些船，若每船 4 人则多 5 人，若每船 5 人则船上有 4 个空位。共有多少个同学( )。A17 B19 C26 D41解析：4 余 1，5 余 1=20 余 1.2）剩余定理在二元一次方程 Ax + By = C 中，若 AD 余 a，BD 余 b, CD 余=c,则 a+b=c。7数学竞赛团体奖品是 10000 本数学课外读物。奖品发给前五名代表队所在的学校。名次在前的代表队获奖的本数多，且每一名次的奖品本数都是 100 的整数倍。如果第一名所得的本数是第二名与第三名所得的本数之和，第二名所得的本数是第四名与第五名所得本数之和，那么，第三名最多可以获得多少本？ A16
5、00 B1800 C1700 D2100解析：列方程（单位100）设第一名得a，第二名得b,第三名得c,第四名得d,第五名得e,a+b+c+d+e=100a=b+cb=d+e求 c=3b+2c=100（b c）=等式两边同除以 b 的系数 3=3b+2c=100=2 C3 余 10 ？ 1=转化为 2 C3 余 4，则 C3 余 2.9.有一食品店某天购进了 6 箱食品，分别装着饼干和面包，重量分别为 8, 9, 16, 20, 22，27公斤。该店当天只卖出一箱面包，在剩下的 5 箱中饼干的重量是面包的两倍，则当天食品店购进了( )公斤面包。 A. 44 B. 45 C. 50 D. 52
6、解析：饼干+剩余面包+卖出面包=总量2x x y 8+9+16+20+22+27 102=3x+y=102 ,求 x+y=?=2x+(x+y)=1022 0 0=(x+y)2 余 0,排除 B或 3x + y = 102 =y3 余 0，则 y=9 或 273 0 0 0若 y=9,则 x=(102-9)3=31 则 x+y=40 无所以 y=27,x=25= x + y = 523）逐步满足法12在 1000 以内，除以 3 余 2，除以 7 余 3，除以 11 余 4 的数有多少个？ A.5 B.6 C.7 D.4解 析 ：(1)先 找 出 满 足 最 大 除 数 条 件 即 除 以 11
7、余 4的 最 小 数 ， 即 4(2)然 后 ， 在 4的 基 础 上 每 次 都 加 11， 直 到 满 足 另 两 个 条 件 之 一 ， 4+11=15（ ） ,4+11+11=26满 足 除以 3余 2；(3)然 后 在 此 基 础 上 每 次 加 11和 3的 最 小 公 倍 数 33， 直 到 满 足 除 以 7余 3为 止 ， 26+33=59(4)找 出 3个 除 数 的 最 小 公 倍 数 231(5)利 用 999231=4余 75(6)所 以 答 案 为 5（ 5975， 则 只 有 4个 )二 、 排 列 与 组 合1） 加 法 原 理 乘 法 原 理分 类 分 步事
8、件 已 完 成 事 件 未 完 成1.如下图，从甲地到乙地有 4 条路可走，从乙地到丙地有 2 条路可走，从甲地到丙地有 3 条路可走那么，从甲地到丙地共有多少种走法？解析：甲乙丙 42甲丙 32.一张节目表上原有 3 个节目，如果保持这 3 个节目的相对顺序不变，再添进去 2 个新节 目，有多少种安排方法？A.20 B.12 C.6 D.4解 析 ： 4 插 第 4个 节 目 5 插 第 5个 节 目共 45 = 20 钟3有 3 名医生、3 名护士被分配到 3 个单位为员工体检，每个单位 1 名医生、1 名护士，共 有多少种不同的分配的方法？（ ）A.36 B.24 C.48 D.72解析
9、：医生 321 6 护士 3 21 6共 66种 分 配 方 法 。注 ： 分 配 的 元 素 不 同 才 能 用 分 步 方 法2） 组 合 数 、 排 列 数从 大 集 合 中 选 出 若 干 元 素 的 问 题有 无 顺 序 关 系 ， 无 序 用 组 合 ， 有 序 用 排 列4某铁路线上有 25 个大小车站，那么应该为这条路线准备多少种不同的车票()。A625 B600 C300 D450解：从25中选2，有序P 2522524。5.在一场象棋循环赛中，每位棋手必须和其他棋手对奕一局，且同一对棋手只奕一次。这次比赛共弈了 36 局棋，问棋手共有几位？A6 B. 7 C. 8 D. 9
10、解 析 ： Cn2 36n(n 1)28.将 9 台型号相同的电脑送给三所希望小学，每所小学至少得到一台，问共有多少种不同 的分法？解析：C 82 插板法10.某单位今年新进了 3 个工作人员，可以分配到 3 个部门，但每个部门至多只能接收2个人，问：共有几种不同的分配方案？A1 2 B. 16 C. 24 D. 以 上 都 不 对解 析 ： 333 3（ 一 个 部 门 接 收 三 个 的 情 况 ） 24。3、数的因式拆分1）什么是数的因式拆分 = 把N写成若干个质因数连乘的形式2） 什么题 = 当题干中出现几个数的乘积是N3）如何拆分 = 短除法1四个连续自然数的积是 1680，则这四个
11、数的和是多少？ 解：利用短除式得1680=2 435756782.已知 A、B、C 三个自然数，其和为 22，其积是 B 的 55 倍，且 ABC。则 B 的值是 A.5 B.7 C.6 D.11解：A B C22ABC55 BAC55511 155A 5，C 11B64张大伯卖白菜，开始定价是每千克角钱，一点都卖不出去，后来每千克降低了几分钱， 全部白菜很快卖了出去，一共收入 22.26 元，则每千克降低了几分钱？ A3 B4 C6 D8解析：（50-）=2226=23753423.有四个自然数 A、B、C、D，它们的和不超过 400，并且 A 除以 B 商是 5余5，A 除以C商是 6 余
12、 6，A 除以 D 商是 7 余 7。那么，这四个自然数的和是：（）A216 B108 C314 D348解析：A B C D 400A = 5B 5 = 5（B 1）A = 6C 6 = 6（C 1）A = 7D 7 = 7（D 1）A 是5 、6、7的倍数，也是 567210的倍数，所以A 只能是 210、420或630，则210。B 21051；C 21061；D 21071B ？；C ？；D ？ A B C D340。（因210 567，则A = 5 （B 1）B 1 = 67） 5.2000 乘以一个自然数 a 乘积是一个整数的平方，那么 a 最小是（ ）A.4 B.5 C.6 D.
13、7解：利用短除式得2000=44555(四）重复数字的因式拆分方法：1）在数字中找到重复数字，如1232）把重复数字的最后一位标记出来33）把数中将与标记数相同的数标记出来4）在原来数字中有标记的地方写1，没有的地方写05）重复数字中间或末尾出现0，可忽略1230012301231242300012310000100010010100013800138000138100001000（五）数的重排1如果把 1 到 999 这些自然数按照从小到大的顺序排成一排，这样就组成了一个多位数： 123456789101112996997998999。那么，在这个多位数里，从左到右第 2000 个数字是多少
14、？ A.2 B.6 C.1 D.0解 析 ： 12345678910111299100101102999200091801811（三位数中的第1811个数）181136032（99603702后第2位）603这个区间的第一个数即100703（703的第二位0即为答案）4. 在 1、2、3、4、5499、500.问数字“2“在这些数中一共出现了多少次？ 解析：分别求“2”在个位、十位、百位上出现多少次50+50+100=200（个位每10出现1个2，十位每100出现10个2，百位每1000出现100个2）个位 十位 百位1-9 10-100 200-2992 20-29 200-2993、编一本
15、书的书页，用了 270 个数字（重复的也算，如页码 115 用了 2 个 1 和 1 个 5，共 3 个数字） ，问这本书一共有多少页？ A 117 B.126 C.127 D.189 （猜，选2个相连数字中的小的）解析：2709180818132726310027127的第0位或10026126的第3位5. 在一本 300 页的书中，数字“1”在书中出现了多少次？ A.140 B.160 C.180 D.120解 析 ： 个 位 300101 30；十 位 30010010 30；百 位 100 199共 100共 30 30 100 160（6）日期年龄闰年366天（2月29天）平年365
16、天（2月28天）大月 小月 平月7个 4个 平28闰2931天 30天星期 7天 2009365天5271四个星期四，五个星期五1号周五四个星期五，五个星期四本月最后一天是周四二月五个星期五1号、29号是周五1. 某年 10 月份有四个星期四，五个星期三，这年的 10 月 8 日是星期（）。A. 一 B. 二 C. 三 D.四解析：说明最后一天即31号周三。31-21即10号星期三，8号星期一。3某年 2 月有五个星期日，请问这年的 6 月 1 日是星期几？A. 星期一 B. 星期三 C.星期二 D.星期日解析：2.29周日，3月31天 3 317余3，大月余34月30天 2 307余2，大月
17、余25月31天 36月1日 1大月 7余3，小月7余2，答案是C。5爸爸、哥哥、妹妹现在的年龄和是 64 岁。当爸爸的年龄是哥哥的 3 倍时，妹妹是 9 岁；当哥哥的年龄是妹妹的 2 倍时，爸爸 34 岁。现在爸爸的年龄是多少岁？A. 34 B. 39 C. 40 D.42解析：列表法父 兄 妹3 934 2 2342 13931.甲对乙说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你才11岁” 乙对甲说：“当我的岁数和你现在的岁数一样的时候，你35岁” 那么甲乙现在各多少岁？（） 、 A.30 16 B.29 17 C.28 18 D.27 19解析：平均分段法 11与35相隔24，平均分成了3个8，可
18、知27，19。数学运算的常用基本方法（一）方程法2甲读一本书，已读与未读的页数之比是 3：4，后来又读了 33 页，已读与未读的页数之 比变为 5：3。这本书共有多少页？ A152 B168 C224 D280 解析：方法 1， 33 37 58方法 2，书的页数能被 7、8 整除，即书的页数为 56 的倍数，则 3：424：325：335:2124与35相差11份，即每份代表3页，则563168页（2（十字交叉法（3（代入与排除法（四）倒推法与顺推法当出现操作循环最后情况已知 倒推初始情况已知 顺推（五）数学归纳法复杂问题简单复杂例 15 3+63+73+203=？解析：1 3+23+33+
19、n3=（1+2+3+n） 2例2在一张正方形的纸片上，有 900 个点，加上正方形的 4个顶点，共有 904 个点。这些点中任意 3 个点不共线，将这纸剪成三角形，每个三角形的三个点是这 904 个点中的点，每个三角形都不含这些点。可以剪多少个三角形？（1802）解析：每加一个点，把 1 个三角形变成 3 个，即每加 1 个点增加 2 个三角形。0 1 2 32 4 6 8例 3有一楼梯共 10 级，如规定每次只能跨上一级或两级，要登上第 10 级，共有多少种不同走法？A. 89 B. 55 C. 34 D. 78解析：方法 1， 1 12 23 34 5大胆假设 5 8 8 346 13 9
20、 557 21 10 89方法 2：（ 六 ） 尾 数 法1）2 1+2+3+4+n=2005003， 则 自 然 数 n= A2000 B2001 C2002 D2003解析：方法 1，1+2+3+ n= = 2005003n(n 1)2尾数法 n(n+1)的尾数是 6。方法 2，2005003=20031001n(n+1)=2003100122）拓展末两位 末三位2468135724681357=（2400+68）（1300+57）与 6857 尾数相同3）多次方尾数0，1，5，6 始终不变4，9 两两交替2，8，3，7 四四循环48，88，888，8888，如果把前 88 个数相加，那么
21、它们的和的末三位数是多少？ 解析：8+88+888+=8+88+88886=96+368=464(七)特值法从题干中读出某个元素是任意的，就可以用特值法。(八)换元法例 3已知 ,那么？911设 ，则 a 1 1a 911 119 119 293 1 92 1 32 23数学运算的基本题型（1）数列求和等差 公式法中项法非等差 合项（运算符号循环）裂项（分式计算）（二）算式等式1一个两位数除以一个一位数，商仍是两位数，余数是 8。问：被除数、除数、商以及余数之和是多少？A. 98 B. 107 C. 114 D.125解析： = 9 8 9 10 83减数、被减数与差三者之和除以被减数，商是多
22、少( )。A. 0 B. 1 C. 2 D. 减数与差之和解析：特值法。3-2=1 = （2+3+1）3=2（三）统筹问题（最优方案）猜题：问最多选最大，问最小选最小。1）空瓶换酒问题1.如果 4 个矿泉水空瓶可以换一瓶矿泉水，现有 15 个矿泉水空瓶，不交钱最多可以喝矿泉水：A3瓶 B4瓶 C5瓶 D6瓶解析：154= 3 364= 2 132）时间安排问题2.A、B、C、D 四人同时去某单位和总经理洽谈业务，A 谈完要 18 分钟，B 谈完要 12 分钟，C 谈完要 25 分钟，D 谈完要 6 分钟。如果使四人留住这个单位的时间总和最少，那么这个时间是多少分钟?A.91 分钟 B.108
23、分钟 C.111 分钟 D.121 分钟解析：时间统筹：尽量让谈话时间短的人先谈，以节省总谈话时间。3）拆数求积3.将 14 拆成几个自然数的和，再求出这些数的乘积，可以求出的最大乘积是多少?A.72 B.96 C.144 D.162解析：拆数求积问题核心法则：将一个正整数(2)拆成若干自然数之和，要使这些自然数的乘积尽可能的大，那么我们应该这样来拆数：全部拆成若干个 3 和少量 2(1 个 2 或者 2 个 2)之和即可。利用“核心法则”可知：14=3+3+3+3+2，最大乘积为 33332=162。4）货物集中问题4.在一条公路上每隔 100 公里有一个仓库，共有 5 个仓库，一号仓库存有
24、 10 吨货物，二号仓库存有 20 吨货物，五号仓库存有 40 吨货物，其余两个仓库是空的。现在要把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输 1 公里需要 0.5 元运输费，则最少需要多少运费?( )A.4500 元 B.5000 元 C.5500 元 D.6000 元解析：答案 B。利用“核心法则”可知：本题四条“路”都具备“左边总重量轻于右边总重量”的条件，所以这些“路”上的流通方式都是从左到右，因此集中到五号仓库是最优选择。“非闭合”货物集中问题在非闭合的路径上(包括线形、树形等，不包括环形)有多个“点”，每个点之间通过“路”来连通，每个“点”上有一定的货物，需要用优化的方法把货物集中到一个“点”上的时候，通过以下方式判断货物流通的方向：判断每条“路”的两侧的货物总重量，在这条“路”上一定是从轻的一侧流向重的一侧。特别提示
