1、1第 17 讲 算法案例备注：【高三数学一轮复习必备精品共 42 讲 全部免费 欢迎下载】一【课标要求】通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。二【命题走向】算法是高中数学新课程中的新增内容，本讲的重点是几种重要的算法案例思想，复习时重算法的思想轻算法和程序的构造。预测 2010 年高考队本讲的考察是：以选择题或填空题的形式出现，分值在 5 分左右，考察的热点是算法实例和传统数学知识的结合题目三【要点精讲】1求最大公约数（1）短除法求两个正整数的最大公约数的步骤：先用两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是两个互质数为止，然后把所有的除数连乘起来（2）穷举
2、法（也叫枚举法）穷举法求两个正整数的最大公约数的解题步骤：从两个数中较小数开始由大到小列举，直到找到公约数立即中断列举，得到的公约数便是最大公约数 （3）辗转相除法辗转相除法求两个数的最大公约数，其算法可以描述如下： 输入两个正整数 m 和 n； 求余数 r：计算 m 除以 n，将所得余数存放到变量 r 中；更新被除数和余数：m=n ， n=r；判断余数 r 是否为 0。若余数为 0，则输出结果；否则转向第步继续循环执行如此循环，直到得到结果为止。（4）更相减损术我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。在九章算术中记载了更相减损术求最大公约数的步骤：可半者半之，不可半者，副置分
3、母子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之步骤：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用 2 约简；若不是，执行第二步。以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。2秦九韶算法秦九韶算法的一般规则：秦九韶算法适用一般的多项式 f(x)=anxn+an-1xn-1+.+a1x+a0 的求值问题。用秦九韶算法求2一般多项式 f(x)= anxn+an-1xn-1+.+a1x+a0 当 x=x0 时的函数值，可把 n 次多项式的求值问题转化成求 n 个一次多项式的值的问题，即求v0=an
4、v1=anx+an1v2=v1x+an2v3=v2x+an3vn=vn1 x+a0观察秦九韶算法的数学模型，计算 vk 时要用到 vk1 的值，若令 v0=an。我们可以得到下面的递推公式：v0=anvk=vk1 +ank (k=1,2,n)这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，可以用循环结构来实现3.排序排序的算法很多，课本主要介绍里两种排序方法：直接插入排序和冒泡排序（1）直接插入排序在日常生活中，经常碰到这样一类排序问题：把新的数据插入到已经排好顺序的数据列中。例如：一组从小到大排好顺序的数据列1，3，5，7，9， 11，13 ，通常称之为有序列，我们用序号 1，2，3，表示数据的位置，
5、欲把一个新的数据 8 插入到上述序列中。完成这个工作要考虑两个问题：（1）确定数据“8”在原有序列中应该占有的位置序号。数据“8”所处的位置应满足小于或等于原有序列右边所有的数据，大于其左边位置上所有的数据。（2）将这个位置空出来，将数据“8”插进去。对于一列无序的数据列，例如：49，38，65，97，76， 13，27，49 ，如何使用这种方法进行排序呢？基本思想很简单，即反复使用上述方法排序，由序列的长度不断增加，一直到完成整个无序列就有序了首先，49是有序列，我们将 38 插入到有序列49中，得到两个数据的有序列：38，49，然后，将第三个数据 65 插入到上述序列中，得到有序列：38，
6、49，65按照这种方法，直到将最后一个数据 65 插入到上述有序列中，得到13，27，38，49，49，65，76，97这样，就完成了整个数据列的排序工作。注意到无序列“插入排序算法”成为了解决这类问题的平台（2）冒泡法排序所谓冒泡法排序，形象地说，就是将一组数据按照从小到大的顺序排列时，小的数据视为质量轻的，大的数据视为质量沉的。一个小的数据就好比水中的气泡，往上移动，一个较大的数据就好比石头，往下移动。显然最终会沉到水底，最轻的会浮到顶，反复进行，直到数据列排成为有序列。以上过程反映了这种排序方法的基本思路。我们先对一组数据进行分析。设待排序的数据为：49，38 ，65，97，76，13，
7、27，49排序的具体操作步骤如下：1将第 1 个数与右边相邻的数 38 进行比较，因为 3849，所以顺序不变，得到新的数据列：38，49，65，97，76，13，27，493将新数据列中的第 3 个数 65 与右边相邻的数 97 进行比较，因为 9765，所以顺序不变，得到新的数据列：38，49，65，97，76，13，27，494将新数据列中的第 4 个数 97 与右边相邻的数 76 进行比较，因为 7697，97 应下沉，所以顺序不变，得到新的数据列：38，49，65， 76，97，13，27，495将新数据列中的第 5 个数 97 与右边相邻的数 13 进行比较，因为 1397，97
8、应下沉，所以顺序改变，得到新的数据列：38，49，65， 76， 13，97，27，496将新数据列中的第 6 个数 97 与右边相邻的数 27 进行比较，因为 2797，97 应下沉，所以顺序改变，得到新的数据列：38，49，65， 76， 13，97，27，497将新数据列中的第 7 个数 97 与右边相邻的数 49 进行比较，因为 4997，97 应下沉，所以顺序改变，得到新的数据列：38，49，65， 76， 13，97， 49，27我们把上述过程称为一趟排序。其基本特征是最大的数据沉到底，即排在最左边位置上的数据是数组中最大的数据。反复执行上面的步骤，就能完成排序工作，排序过程不会超
9、过7 趟。这种排序的方法称为冒泡排序。上面的分析具有一般性，如果数据列有 n 个数据组成，至多经过 n1 趟排序，就能完成整个排序过程4进位制（1）概念进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。可使用数字符号的个数称为基数，基数为 n，即可称 n 进位制，简称 n 进制。现在最常用的是十进制，通常使用 10 个阿拉伯数字 09 进行记数。对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示。比如：十进数 57，可以用二进制表示为 111001，也可以用八进制表示为 71、用十六进制表示为 39，它们所代表的数值都是一样的。一般地，若 k 是一个大于一的整数，那么以 k 为基数的 k
10、 进制可以表示为：，10() 10. ,0,.)nnnaaka 而表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如 111001(2)表示二进制数,34 (5)表示5 进制数。（2）进位制间的转换关于进位制的转换，教科书上以十进制和二进制之间的转换为例讲解，并推广到十进制和其它进制之间的转换。这样做的原因是，计算机是以二进制的形式进行存储和计算数据的，而一般我们传输给计算机的数据是十进制数据，因此计算机必须先将十进制数转换为二进制数，再处理，显然运算后首次得到的结果为二进制数，同时计算机又把运算结果由二进制数转换成十进制数输出。非十进制数转换为十进制数比较简单，只要计算下面的式子值即可： 011
11、01 .)(. akkakannn 4第一步：从左到右依次取出 k 进制数 各位上的数字，乘以相应的 k 的幂，)(.01kank 的幂从 n 开始取值，每次递减 1，递减到 0，即 ；011,., aknn 第二步：把所得到的乘积加起来，所得的结果就是相应的十进制数。十进制数转换成非十进制数把十进制数转换为二进制数，教科书上提供了“除 2 取余法”，我们可以类比得到十进制数转换成 k 进制数的算法“除 k 取余法”。非十进制之间的转换一个自然的想法是利用十进制作为桥梁。教科书上提供了一个二进制数据与 16 进制数据之间的互化的方法，也就是先有二进制数转化为十进制数，再由十进制数转化成为 16
12、 进制数。四【典例解析】题型 1：求最大公约数例 1（1）用辗转相除法求 123 和 48 的最大公约数？（2）用更相减损来求 80 和 36 的最大公约数？解析：（1）辗转相除法求最大公约数的过程如下：（建立带余除式）12324827 4812721 271216 21363 623+0最后 6 能被 3 整除，得 123 和 48 的最大公约数为 3。（2）分析：我们将 80 作为大数，36 作为小数，执行更相减损术来求两数的最大公约数。执行结束的准则是减数和差相等更相减损术：因为 80 和 36 都是偶数，要去公因数 2。802=40，362=18 ；40 和 18 都是偶数，要去公因数
13、 2。402=20，182=9下面来求 20 与 9 的最大公约数，209=11119=292=772=552=332=121=1可得 80 和 36 的最大公约数为 221=4。点评：对比两种方法控制好算法的结束，辗转相除法是到达余数为 0，更相减损术是到达减数和差相等。例 2设计一个算法，求出 840 与 1764 的最大公因数。解析：我们已经学习过了对自然数的素因数分解的方法，下面的算法就是在此基础上设计的。5解题思路如下：首先对两个数进行素因数分解：840=23357，1764=2 23272，其次，确定两个数的公共素因数：2，3，7。接着确定公共素因数的指数：对于公共素因数 2，84
14、0 中为 23，1764 中为 22，应取较少的一个 22，同理可得下面的因数为 3 和 7。算法步骤：第一步：将 840 进行素数分解 23357；第二步：将 1764 进行素数分解 223272；第三步：确定它们的公共素因数：2，3，7；第四步：确定公共素因数 2，3，7 的指数分别是：2，1，1；第五步：最大公因数为 223171=84。点评：质数是除以外只能被和本身整除的正整数，它应该是无限多个，但是目前没有一个规律来确定所有的质数题型 2：秦九韶算法例 3（2009 福州模拟）如果执行右面的程序框图，那么输出的 S（ ）A22 B46 C 94D190 答案 C2、（2009 浙江卷
15、理）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的 值是 （ ）A 4 B 5 C 6 D 7 【解析】对于 0,1ksk，而对于 1,32ksk，则 2,38,ks，后面是 13,8,4，不 开 始1,is5?i输 出 s结 束否是2(1)s6符合条件时输出的 4k答案 A 3、（2009 天津卷理）阅读上（右）图的程序框图，则输出的 S= ( ) A 26 B 35 C 40 D 57【解析】当 1i时， 2,ST；当 i时， 7,5ST；当i时， 5,8ST；当 4i时， 6,1；当 i时，401；当 6时， 57S，故选择 C。答案 4（2009 安徽卷文）程序框图上（右）（即算法流程图）
16、如图所示，其输入结果是_。 【解析】根据流程图可得 a的取值依次为 1、3、7、15、31、63答案 127点评：秦九韶算法适用一般的多项式 f(x)=anxn+an-1xn-1+.+a1x+a0 的求值问题。直接法乘法运算的次数最多可到达 ，加法最多 n 次。秦九韶算法通过转化把乘法运算的次数2)(n减少到最多 n 次，加法最多 n 次。例 4已知多项式函数 f(x)=2x55x 44x 3+3x26x+7 ，求当 x=5 时的函数的值。解析：把多项式变形为：f(x)= 2x 55x 44x 3+3x26x+77=(2x5)x4)x+3)x6)x+7计算的过程可以列表表示为：多项式 x 系数
17、 2 5 4 3 6 7 运算运算所得的值 10 25 105 540 2670 +变形后 x 的 “系数“ 2 5 21 108 534 2677 *5最后的系数 2677 即为所求的值算法过程：v0=2v1=255=5v2=554=21v3=215+3=108v4=10856=534v5=5345+7=2677点评：如果多项式函数中有缺项的话，要以系数为 0 的项补齐后再计算。题型三：排序例 4试用两种排序方法将以下 8 个数：7,1,3,12,8,4,9,10。按照从大到小的顺序进行排序。解析：可以按照直接插入排序和冒泡排序这两种方法的要求，结合图形，分析写出。直接插入法排序：7 1 3
18、 12 8 4 9 107 1 3 12 8 4 9 107 3 1 12 8 4 9 1012 7 3 1 8 4 9 1012 8 7 3 1 4 9 1012 8 7 4 3 1 9 1012 9 8 7 4 3 1 1012 10 9 8 7 4 3 1 冒泡排序7 7 7 7 7 7 7 71 1 3 3 3 3 3 33 3 1 12 12 12 12 1212 12 12 1 8 8 8 88 8 8 8 1 4 4 44 4 4 4 4 1 9 99 9 9 9 9 9 1 1010 10 10 10 10 10 10第一趟7 7 12 12 12 123 12 8 8 9 1
19、012 8 7 9 10 988 4 9 10 8 84 9 10 7 7 79 10 4 4 4 410 3 3 3 3 31 1 1 1 1 1第 2 趟 第 3 趟 第 4 趟 第 5 趟 第 6 趟点评：直接插入法和冒泡法排序是常见的排序方法，通过该例，我们对比可以发现，直接插入排序比冒泡排序更有效一些，执行的操作步骤更少一些例 6给出以下四个数：6，3，0，15，用直接插入法排序将它们按从小到大的顺序排列，用冒泡法将它们按从大到小的顺序排列分析：不论从大到小的顺序还是按从大到小的顺序，都可按两种方法的步骤进行排序。解析：直接插入排序法：6 3 0 153 6 0 153 0 6 15
20、3 0 6 15用冒泡排序法排序：6 6 6 6 6 6 6 15 15 153 3 0 0 0 15 15 6 6 60 0 3 15 15 0 0 0 0 015 15 15 3 3 3 3 3 3 3题型 4：进位值例 7把十进制数 89 化为三进制数，并写出程序语句.解析：具体的计算方法如下：89=329+229=39+29=33+03=31+01=30+1所以:89 （10） =1011001(3)。点评：根据三进制数满三进一的原则，可以用 3 连续去除 89 及其所的得的商，然后按倒序的先后顺序取出余数组成数据即可。例 8将 8 进制数 314706（8） 化为十进制数，并编写出一
21、个实现算法的程序。解析：314706 （8） =385+184+483+782+081+680=104902。所以，化为十进制数是 104902。点评：利用把 k 进制数转化为十进制数的一般方法就可以把 8 进制数 314706（8） 化为十进制数，然后根据该算法，利用 GET 函数，应用循环结构可以设计程序。五【思维总结】91求最大公约数（1）辗转相除法程序框图与程序语句程序：INPUT “m，n=”;m,nDOr=m MOD nm=nn=rLOOP UNTIL r=0PRINT END（2）更相减损术更相减损术程序：INPUT “请输入两个不相等的正整数”；a，bi=0WHILE a MO
22、D 2=0 AND b MOD 2=0a=a/2b=b/2i=i+1WENDDOIF ba THENt=aa=bb=tEND IFc=aba=bb=cLOOP UNTIL a=bPRINT aiEND对于两个正整数如何选择合适的方法求他们的最大公约数方法 适用范围及特点短除法 适合两个较小的正整数或两个质因数较少的正整数，简便易操作。开始输入：m,nr=m MOD nm=nn=rr=0?输出： 开始YN10穷举法 适合计算机操作，但一一验证过于繁琐。辗转相除法 适用于两个较大的正整数，以除法为主，辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小差别较大时计算次数较明显。更相减损术 适用于两个较大
23、的正整数，更相减损术以减法为主，计算次数上相对于辗转相处法较多。2我们以这个 5 次多项式函数为例加以说明，设：f（x）=a 5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0首先，让我们以 5 次多项式一步步地进行改写：f（x）=（a 5x4+a4x3+a3x2+a2x+a1）x+a 0=（a 5x3+a4x2+ a3x+a2）x+a 1）x+a 0=（a 5x2+a4x+ a3）x+a 2）x+a 1）x+a 0=（a 5x+a4）x+ a 3）x+a 2）x+a 1）x+a 0上面的分层计算。只用了小括号，计算时，首先计算最内层的括号，然后由里向外逐层计算，直到最外层的括号，然后加上常数
24、项即可。3排序（1）直接插入排序插入排序的思想就是读一个，排一个。将数组的第个数据放入数组的第个位置，以后读入的数据与已存入数组的数据进行比较，确定它按从大到小（从小到大）的排列中排在正确的位置。将该位置以及以后的元素向后推移一个位置，将读入的新数填到空出的位置即可。（2）冒泡排序以从大到小为例：依次比较相邻的两个数,把大的放前面,小的放后面。即首先比较第 1个数和第 2 个数,大数放前,小数放后；然后比较完成第 2 个数和第 3 个数；直到比较完了最后两个数。第一趟排序结束,最小的一定沉到最后。重复上过程,仍从第 1 个数开始,到最后第 2 个数 由于在排序过程中总是大数往前, 小数往后,相当气泡上升,所以叫冒泡排序。4进位值开始输入 a1,a2,a3,a4,a5,x0n=1,v=v5n6? v=vx0+a5n n=n+1输出 v结束11我们常见的数字都是十进制数,比如一般的数值计算，但是并不是生活中的每一种数字都是十进制的。比如时间和角度的单位是六十进制,电子计算机的指令用的是二进制，早先的计算机的用的是十六进制的。
