1、1曲面论的基本定理 第一节 由给定的第一、第二基本形式，求曲面方程的直接解法例1 已知 ，1,0,1;,0,EFGLMN求该曲面.【解】 设所求曲面为 ，(,)ruv由已知条件，可得 ，1urE，0vF，rG，1uunnrL，0vvvurnrM；0rN所以 ， ，uuvr，0uvuvr， ，0r，vr，0uuvv；uuvvrr2， ，10A10B，10，10uvurrA，10uvuvrr；10BA于是 ，10uuvvrrn，0uuvvrr；10u uv vnr展开，即得，urn，0v，r，un3，0vn由此 ，积分，得0uur；123()sin()cos()CvCvuCv 将 ，12()cs(
2、)inur，12()o()siuvCuCvu ，123()sin()co()vr Cv 123()i()s()vCvuCvu 代入 ，得 ；0uvr12()0,()0v代入 ，得 ；v3()Cv故 ，sincosraubud其中 为常向量。,d而 ， sicsuvrr所以 ，22inosinco1uaubabu因此 21,0,又 ，sincosuvracub所以 ，再注意到0,，于是 可以分别作为 x,y,z 轴上的单位向量，故所求曲面可表示1vrc,abc4为 ， cos,inruvd因此所求曲面是半径为 1 的圆柱面。例2 证明不存在曲面，使 。1,0;1,0,1EFGLMN证明 证法1假
3、若存在这样的曲面 ，(,)ruv由已知条件，可得 ，1urE，0vF，rG，1uunnrL，0vvvurnrM；rN所以 ， ，0u0uvr，uvuvr， ，00r，vr，0uuvv；uuvvrr5， ，10A10B，10，10uvurrA，10uvuvrr；101BA于是 ，0uuvvrrn，01uuvvrr；0u uv vnr展开，即得，urn，0v，r，uun6，vnr由此得到，()0uuvuvrnrr，vv于是 （常向量） ，这是矛盾的。ra所以，不存在这样的曲面。证法2 假若存在这样的曲面 ，(,)ruv一方面 ；21LNMKEG另一方面 ，()() 0uvEG这是矛盾的。所以，不存
4、在这样的曲面。例3 已知 ，2 21,0sin;1,0,sinEFGuLMNu其中 ，0u求该曲面.7解 解法1 设所求曲面为 ，(,)ruv由条件 ，222()sin()duudv，222()si()v知 ，所以 ，1nk1K因此所求曲面是球面，。(sincos,insi,cos)ruvuvu，(cs,csi,sin)urvv，inino0vuu1, ,u vErFr，2sinvGru，222()i()dudv，nr。222()sin()drduudv解法2 设所求曲面为 ，,r由已知条件，可得 ，1urE8，0uvrF，2sinGu，1uunrrL，0vvvunrM；2sinrrN所以 ，
5、 ，0u0uvr，sincosuvuvr u， ，0r，vr，0sincouuvvu；isi0uuvvrru， ，210sinAu210sinBu，1201sinu，10cosinuvurrAu9，10sincouvuvrrAu；10BA于是 ，1cos00inuuvvrrn，2sicsiuv uvrr；10u uv vnr展开，即得，urn，cosiuvvr，2sncsinv ur ，uu，vvr由此 ，积分，得0uu；123()sin()cos()rCvCvuCv 将 ，12()cs()inu10，12()cos()sinuvrCuCvu ，123()in()co()v Cv 12()si
6、()svurCvuvu代入 ，得 ；0uvr3()0C代入 ，2sincosinv uurr得 ，112()()i()cos0CvCv， ，11()()0v2()0；1()cosinCavb代入 ，得 ；sinuvvrr2()0Cv故 。23(co)sincosabuu例4 求曲面 的参数方程，使得它的第一基S本形式和第二基本形式分别为，222(1)()ududv。222()()解 11解法1 直接解曲面的微分方程比较困难。观察曲面的两个基本形式，发现 ，并且其余系数只是参数 的0FM u函数，于是可以假定该曲面是一个旋转曲面，它的参数方程是，()cos,()sin,()rfuvfuvgu易知
7、 ，2222Igdd，22222()()()()fffudvugu 由条件，得 ，()1fg(),f， ，222()()fguu222()1fgu从前两个方程得到 ，2(),()f u经直接验证可知它们也适合后两个方程。因此，所求曲面的参数方程是。21(cos,in,)ruvu解法二 设曲面为 ，(,)ruv由已知条件，可得 ，21urEu12，0uvrF，2Gu，21uunrnrLu，0uvuvvnrM；21vv unrnrN由此可得 ， ，ur0uvr， ，0vurvu， ； vurr将 分别表示为 的线性组合；,uvrr ,uvrn将 分别表示为 的线性组合，待定系数，,uvn,uvr可
8、得，2211uurrn，uvvrr，2211vurrn13，231()u unr，21v vnru由第1，4个方程得到 221( )uuurrn222321 10()1(1)uu urr nu，所以，2()()()uravubvc，()()ur，2()()()vravubvc()()uvr由 得1uvvrr，2()()()()()uavbavubvc 14，22()()()()()uuavubvavubvc比较系数，得 ，因此()0,()0c；(),()avcv再由第1个方程得到，2 21()uaabvnu ，22210()1uvu ，22211( ()unabvu由第3个方程得到，22()(
9、)11uuubvabvn ，222 ()()11uunabvuv 将两式对照得到 ，()v于是 ，12()cosinbvvbb12()cosinuravuavvb1512()(sincos)vrubuvbvb12221(sin)1navuu这里 都是常向量。12,b因为 ，2urE，0vF，2rGu，uvn代入得到，2 22| |1abu，222 2221 12(sin|cosincos|)uvvbvbu 所以 ，2 2|,0,|ab，222 221 12|cos|cosincos|1bvvbvb，2 21sin|in|vb因此 ， ，并且向量 构成右手系。221|,|1b1210abb12,
10、ab直接验证知第5个方程是成立的。取 ，12(,0)(,0)(,)(0,)c则得所求的曲面是。21(cos,in,)ruvu16解法3 设曲面为 ，(,)ruv由已知条件，可得 ，21urEu，0vF，2rG，21uunrnrLu，0uvuvvnrM；21vv unrnrN由此可得 ， ，ur0uvr， ，0vurvu， ； vurr，0uvur；uvuvrr， ，210uA221001uBu17，21201uA，221 210001uvu urruuA u，21 221100 01uvuvrruAuu ；231 210()10uBAu 于是 ，221100uuvvrrn，22011uv uv
11、rrn；2320()10u uv vn ru 18展开，即得，2211uurrn，uvvrr，2211vurrn，23()u unr，21v vnru例5 证明不存在曲面，使 。221,0cos;s,0,1EFGuLMN证明 假若曲面为 ，()ruv由已知条件，可得 ，1urE，0vF，2cosrGu，2uunnrL19，0uvuvvunrnrnrM；1N所以 ， ，0ur0uvr，sincosuvuv u， ，0rr，v将 分别表示为 的线性组合；,uvrr ,uvrn将 分别表示为 的线性组合，待定系数，,uvn,uvr可得，2cosurn，icsuvvur，inov urn，2csur，
12、21cosvvnu代入计算，2 21sinsincosvuurrun，sicouvvrru2sisicour20发现 ，矛盾。vuvr所以，不存在这样的曲面。第二节 曲面的基本方程中系数之间的关系1. 验证：曲面 的平均曲率 可以表示成 。SH2,1bg证明. (1) 证法一：直接验证. 由定义， . 21121211det,gg gg因此1212112121bbHgbgg112122bgb。,1.1()2HtrAB证法二：运用 Weingarten 变换 . 由定义，W.()rnbr所以 是 Weingarten 变换 在切空间的基 下的矩阵. ()b 12,而 ，1()(ijijgbg它的
13、两个特征值 ，也就是主曲率，满足2,，2211 11trace()bbg，2,1g21所以.212,1Hbg2. 证明下列恒等式：(1) ； 2211ggu(2) ；21u(3) ，其中 . 21lng 221g证明. (1) 因为 ，对 求偏导数，得()ijIu.()()0ijijg由于 ， ，lijlijr2211kkijlijllijg，21kklij ijlg，()ijijijjiijjigrru2211kkjiijg于是 ，1122() ()ijij ijg代入，得 ，1122()()(ij ijgu 从而，1 122()()ijg 这就是(1)的矩阵形式 . (2) 由，r，()g
14、ru 22，21g可得左边 右边.(3) 左边为 222111()ggguu 222111 u ，g右边为121212122121212211ln2gguugugu ，212211()grguu()r21g21()()g，2211（3）式得证。3、设 ， （1）22110ij milijlilmjljbbu,2ijl， （2）2211kjlklki jiijji,ijk23证明：（1）与（2）是等价的。证明: 将（1）式左边乘 ，并对 求和，得kigi2 221 11( )ijki mmilijliljiljbgbbu 22221111()()ki ki ki kij l ij ili i i
15、 il j l jgggbuuu，2211kimkimjl lji igbgb利用 ，可得2211u上式2 21 1( )kkj kmi imkl lj liji iljbgbgbu2211( )kmi imkjl jili igbgb2211ki kijml lmji i2 21 1( )kkj ki mkl mljjlimljbgbu2211()kikjlljimgb2211ki kimjl lji igb，2211kkj mkmkljlljljbu24将以上等式，写成矩阵形式，得 2211111122 22211)j mmljlljljj mmljlljljbbbug ，11221122
16、2211j mmljlljljj mmljlljljbbbu 由此，即得（1）与（2）是等价的。第三节 曲面上高斯曲率计算公式的应用1、设 曲面在参数坐标网 下的第一基(,)uv本形式为 ，2 22(,)()()uvddv，求高斯曲率 。(0)K解 由于 ， ，F2EG所以 ()()1uvE2vu(ln)(l)v25，21ln其中 是关于变量 的 Laplace 算子. uv,uv2、 求第一基本形式为 的曲面高斯曲率 。22()dsvc解 因为 ，221,0()EGFu所以 ()()1uvEKE。22222()() 4cucvuvcuv3. 已知曲面的第一基本形式和第二基本形式分别是， .2
17、2Iudv22I(,)(,)AuvdBv证明：(1) 函数 满足 ；(2) 和 只是 的函数. (,),AvB1u证明. 由已知条件可得主曲率和平均曲率、Gauss 曲率分别是， ， ， ；12u2u2H4AK由 Codazzi 方程，得， .0vvAEuBBGu因此， .()()uA由 Gauss 方程，可得. 422411ln|ABKuu因此 ，并且 仅依赖于 . 1()u264、 证明下列曲面之间不存在等距对应. (1) 球面；(2) 柱面；(3) 双曲抛物面 . 2zxy证明. (1) 球面是全脐点曲面，它的主曲率就是法曲率，也就是法截线的相对曲率. 因此，12R其中 为球面半径. 故
18、球面的 Gauss 曲率 . R 0K(2) 柱面是可展曲面，因此 Gauss 曲率 . (3) 对于双曲抛物面 ，参数方程为2zxy.2,rxy故有， ， ，1,02xr0,1y ,21xyr， ， . ,xxyr0,于是， ， ；214EF214Gy， ， . 2Lxy0M2Nx由此得. 224(1)Kxy由于这三个曲面的高斯曲率不同，根据 Gauss 定理，这 3 个曲面之间不存在等距对应. 5、证明: 曲面，（ 正螺面）(cos,in,)Sruvv， (旋转曲面)1:1111,i,lu在点 与 处的高斯曲率相等, 但曲面 S 与(,)uv1()不存在等距对应.1S27证明 容易算出正螺
19、面 与 旋转曲面 的S1S第一基本形式分别为，222()(1)(dudv2221 11121()()()uv 再利用正交网时高斯曲率的计算公式(即高斯方程) ()()1 uvGEKE经过计算得出曲面 S 和 的高斯曲率分别为1，221()Ku。1221()u因此取对应点 ，便成立 。1(,),)uv1K但是曲面 S 与 不存在等距对应.128我们用反证法. 若曲面 S 与 之间存在等距对1应,它的对应关系为 1(,)uv则对应点的高斯曲率必相等, 所以得出，1(,)(,)KuvKuv即 ，221或 ；()()u(1) 若 则 或 。221u21u1u因此对应关系为 1,()v这时 的第一基本形式1S2221 11121()()()dudv22()()uv，2222)()uvdddu因为是等距对应, 故 ， 比较得出12221,0,uv29由其中第二式得出 或 , 再由第一式0uv或第三式得出 或 ，这显然不可能成210u21立. 因此这种情况不可能.(2) 若 ， 则 。这显然不可221()()u21u能成立. 因此曲面 S 与 之间不能存在等距对应.1
