1、I毕 业 论 文题 目： 三维含时波动方程在球坐标下的求解学 号： 06110901020姓 名： 朱启龙教 学 院： 物理科学与技术学院专业班级： 09物理本科（1）班指导教师： 高慧昀完成时间： 2013 年 5 月 8 日 毕节学院教务处制II三维含时波动方程在球坐标下的求解作者姓名：朱启龙 专业班级:09 物本（1 ）班学号：06110901020 指导老师： 高 慧 昀摘要：本文利用行波法和分离变量法两种方法研究了三维含时波动方程在球坐标系下的初值问题并进行求解。关键词：波动方程 ; 分离变量法 ; 行波法 ; 球坐标系IIIThe solution of the wave equa
2、tion in spherical coordinates in three-dimensional timeCandidate:ZhuQiLong Major: phsicesStudent No:06110901020 Advisor: GaoHuiYunAbstract：This paper line wave method of separation of variables method are two ways to study the three-dimensional wave equation and solve the initial value problem in sp
3、herical coordinates.Key words: wave equation; Method of separation of variables ; Traveling wave method ; Spherical coordinatesIV目录引言 .11 行波法求解三 维含时波动方程 21.1 球面平均法降维 .21.2 行波法求解 .32 分离变量法求解三维含时波动方程 62.1 分 离 T,R, , 并求 T.62.2 球函数方程 的求解( , ).82.3 贝赛尔方 程 2.1.7 的求解(R) .113 小结 13参考文献 .14致 谢 .151引言三维含时波动方程
4、描述了波（一种重要的描述自然界中的不同种类的波动现象的偏微分方程）在均匀各项同性弹性介质中的传播。三维含时波动方程是随时间及空间的变化而变化的。对其初值问题的求解，如按我们熟悉常微分方程求解的方法是很难求解的。因此，我们熟悉的常微分方程的求解只适用于少数的某些定解问题，运用行波法（达朗贝尔法）就能解决这个难题；但是，行波法对三维情况也很难求解，故而引人球面平均法将三维情况降至一维以便于运用行波法求解。除此之外，分离变量法也适用于大量的各种各样定解问题，其基本思想是把偏微分方程分解为几个常微分方程，其中有的常微分方程带有附加条件而构成本征值问题 1-3。本文利用行波法和分离变量法两种方法研究了三
5、维含时波动方程在球坐标系下的初值问题并进行求解。21 行波法求解三维含时波动方程由于行波法对三维含时波动方程很难直接求解，故本章希望采用某种办法将三维问题转化为一维问题. 为此引入球面平均法降维 4.如三维含时波动方程：2 3(,)(,),0taUNtxyzRtu（0.1）（0.2）0(),t 3(0.3)t在球坐标系下的 算符的表达式为(0.4)222 2111()(sin)i sinr r1.1 球面平均法降维用 表示以 为中心， r为半径的球面， 表示函数 在球面0rNS0 0Nru,ut上的平均值，则0r 00 0211=(,)=(,t)d44NNr rrutdsuSS单位球面上的立体
6、角元 ，则 是只含有 r,t的二元函数，下面均sind用 代替 ，且 时， ，既 ，将（0.1）式、u0rNSu球 心 00lim(,),)rutt(0.2)式、(0.3)式在球面 上取平均值得: 0rN(1.1.1)2=autA(1.1.2)=0()tr(1.1.3)tu由于 为 r和 t的函数，所以在球坐标系下，由(0.4)式可得u3(1.1.4 ) 221=(r) =+uuur将(1.14)式代入(1.1.1)式有22()at既 (1.1.5)22()=rurt令 ，将其代入(1.1.2)、 （1.1.3） 、 （1.1.5）式后有zru(1.1.6)22=00(0,)r)()ttrza
7、tz式（1.1.6）就是用球面平均法降维后所得的形式.1.2 行波法求解到目前为止， （1.1.6）式已完全属于一维 r的含时齐次波动方程，此时利用行波法求解是非常方便的，其特征线方程为 22()()drat解之得 c令 (1.2.1)tr则 222222zzrtzzr ztaa4代入(1.1.6)式中的 有22zatr（1.2.2）20上式对 求积分得zc继续对 求积分得 12df将 z代入（1.1.6）式后得（1.2.312zratrat）又将（1.2.3）式代入（1.1.6）式中的 ， 有0t0trz（1.2.4）12,zrorrf（1.2.5）0ta将(1.2.5)变形后得 121rr
8、af代入（1.2.4）得 0012 0212rrcrdraf当 r=0时，由（1.1.6）式有 1221,0attrrf则当 ，既 时0ratta1, 22ratrtrattz d当 ，既 时0ratta50012112212rat atrcratrtt dct adff 代入（1.2.3）式得 , 22ratrattrattzt因此（1.1.6）式的解为 1, ,22, ,ratrtarattratt rzt dtattttt t 又因为 ， ， 则=u球 心 zr00lim1li22r ratrzNatrtart dttttrratt洛 比 达 法 则代入初始条件得utatt则 可以写成0
9、,utN(1.2.6)0 0220,44NNat attdsdsSS也可以将其写为6 20(,)1sinco,sin,cosin4,uxyztxatyatzatdt（1.2.7）将（1.2.6）和（1.2.7）式叫做三维含时波动方程的泊松公式，从这两式可以看出解在 处，于时刻 t的值 由以 为球心， 为半,xyz,uxyzt,xyzat径的球面 上的初始扰动 所确定.故称球面 为 点解值的决,zats,zats定区域，这是因为在球面 上的初始扰动，经过时间 t刚好都传播到了点,xyzats处，换一种说法，在一点 出的初始扰动，经过时间 t刚好传播,xyz ,在球面 上，这表示波以速度 a传播
10、4.,xyzats2 分离变量法求解三维含时波动方程分离变量法是将偏微分方程分解为几个常微分方程（有些关于空间的常微分方程带有附件条件构成本征值问题）之积的形式。分离变量法适用于大量的各种各样的定解问题，本章主要针对 n维空间的齐次问题（齐次方程和齐次边界问题） 5-7。例如：三维空间的齐次问题 2 3(,)(,),0tUNtxyzRtua2.1 分离 t,r, , 并求 T对波动方程（0.1）式 分离时间变量 t和空间变量 r,令 2(,)taut(,)rNr（2.1.1）将其代入（1.1.1）式得 2aT变形得2NaT7两边分别是空间 的函数和时间 t的函数，则是不会相等的，若要相等，r只
11、有两边都等于相同的常数 C.令 C=- ,且 为实数，由后面的解答可以知道2k是本征值或者是两个本征值相加的值.2k于是有 22NTa于是得到两个微分方程（2.1.2）20k（2.1.3）T而方程 的解为20Tka（2.1.4）12()cosin(0)(0)tkattk且方程（2.1.2）式称为亥姆霍兹方程.将（0.4）式代入（2.1.2）式有222 2111()(sin) 0i sinNNr kr（2.1.5）继续分离变量，令 ，代入(2.1.5)式，并在等式两边(,)(,)rRY同时乘以 并移项得2NY22111()(sin)isinrr Ydk左边是 r的函数，右边是 与 的函数，则左右
12、要相等，只有左边和右边同等于同一个常数 D，令 ，则有(1)l2221 1()sin)(1)isinNrr YdYlYk于是得两个方程21(si)()insilY（2.1.6）（2.1.7221()(1)dNlrk）8由（2.1.4）式可知，直接分离时间变量和空间变量便可得到 的函数表()Tt达式.2.2 球函数方程的求解( , )方程（2.1.6）变形得球函数方程，既（2.2.1）211(sin)(1)0isiYl分离变量 、 ，令 ,将其代入球函数方程（2.2.1）式,(Y有 2(sin)(10sinidld两边同时乘以 并移项有222si 1(in)(sinldd两边分别是 和 的函数，
13、则也不可能左右相等，只有左右都等于一个相同的常数 E则 22sin1(i)(sindl Ed又得两个微分方程（2.2.2）0E（2.2.3）2sin(i)(1)sindl常微分方程（2.2.2）满足自然的周期条件，一个确定的极角可以加减 2的整数倍，既 ，则方程（2.2.2 ）和上述条件构成本征值问(2)(题 6-8，本征值是（2.2.4）2(0,13.)Em将（2.2.4）式代入（2.2.2）式有 2解之得9（2.2.5）()cosinAmB将（2.2.4）式代入（2.2.3）式有（2.2.6）22sin(i)(1)i0dl令 ，相当于 ，则有arcoxcosxsindx22211sinii
14、 issin1dddxxdxx于是（2.2.6）可变为 2210dlmx既 2 21dxl（2.2.7）当 m=0时，上式变为（2.2.8）2110dxl（2.2.7）和（2.2.8）分别叫作 l阶连带勒让得方程和 l阶勒让得方程对 l阶勒让得方程（2.2.7）运用级数解法在 =0的领域上求解 l阶勒让得方程（2.2.8） ，先将其变形得0x（2.2.9） 22101lxx可见它的系数 ， 都是20p21lql有限值，二者在 =0一定是解析的。所以， =0点一定是方程的常点。0 0由常点领域上解的定理，且其解的泰勒形式为 00kkkxzax则 231kxa10 2312341kxxkaaxx
15、2 2.ka将上面的这些式子全部代入 2.16,合并同幂项后各项的系数如下表.常数项 X项 项2. 项k.2.1a3.4.a. 21k.2x2.1. ka.12.2.2k.1l01la1l2la. 1kl.令同幂项的系数和为零，找出系数的递推公式 20.1l4236a 231. 0l534a 2210k kkla既(2.2.10)2112k k klla如此，l 阶勒让得方程的解可以写为（2.2.11）01xxa将 代入后得cosx（2.2.12）01coscos对 l阶连带勒让得方程（2.2.7）的求解运用级数解法由于比较复杂，故作变换 则有 2mxf211mdxf112 1 221mmxd
16、ffx其中 、 分别表示 f对 x求二阶导、一阶导，将以上三式代入f（2.2.7）可把（2.2.7）变为 21110mlmf（2.2.13）（2.2.13）运用级数法来解会简单得多，这里不用此方法，只需要将勒让得方程（2.2.7）对 x求导 m次，可得 2 11210mmmxlx 其中 ， 分别表示对 x求 次、 次导，于是 1（2.2.14） 2110ml可见该式既为（2.2.13）式，所以（2.2.13）的解就是勒让得方程的解 （这里用 表示，以便进行区别）的 m阶导数，既xpx（2.2.15）xp2.3 贝赛尔方程（2.1.7）的求解(r)对于贝赛尔方程（2.2.7）22()(1)0dN
17、lNrkr当 k=0时，其变为欧拉型方程（2.3.1）2rld欧拉型方程（2.3.1）的解为（2.3.2）1llDNrC当 ，可将自变量 和函数 作变换 ， ，0kxkr2Nyx则（2.3.1）变为12（2.3.3）22201xyly在 的点为方程（ 2.3.3）的正则奇点，对于判定方程0的根 ， ，两根相减 是221ls12ls12l12ls正整数 9-10。则由 v阶贝塞尔方程的阶的形式得（2.3.3）的解为（2.3.4）1212!12klklxklxJ(2.3.5)12212lnklklAxyb将（2.3.5）代入（2.3.3）后可得 A=0，故（2.3.5）式变为(2.3.6)212k
18、klx令 ，可将(2.3.6)式表示为1vl(2.3.7)12120!12klklkxlxJ则(2.3.3)的通解为(2.3.8)1221l lyxxxaJ将 ，代入（2.3.4）和(2.3.7)式得xkrN(2.3.9)1212!12klklkrlrJ(2.3.10)12120!klklkrl再由(2.3.8)式可得13(2.3.11)21212llbbNrkrkrJJ综上，可得波动方程 的通解 可由2tua,uNt完全表示出来。,uNtTNr3 小结由于用我们所熟悉的求解常微分方程的方法对三维含时波动方程很难求解，所以本文主要研究了三维含时波动方程的两种求解方法。1， 运用行波法（既达朗贝
19、尔法）求解三维含时波动方程。首先，由于直接利用行波法对三维情况很难求解，于是采用球面平均法将波动方程从三维情况降至一维情况 。其次，运用行波法直接求得三维含时波动方程的解。2， 由于分离变量法适用于大量各种各样的定解问题，本文第二章阐述了分离变量法求解三维含时波动方程的方法。首先，分离时间变量和空间变量，便可直接得到的函数 表达式、球函数方程和贝塞尔方程，然后又对球函数方()Tt程和贝塞尔方程分别进行求解。尽管本文运用了两种方法求解了三维含时波动方程，对于此类方程的求解给出了一定的参考价值；但是，关于其解的物理意义有待进行研究，还需要进一步的工作，本文只是对行波法直接求得的解的物理意思做简单的
20、解释。14参考文献1 梁昆.数学物理方法（第四版）.北京：高等教育出版社，2010.2 B.H.斯米尔诺夫.高等数学教程.三卷二分册.也彦谦译 .北京：高等教育出版社，1959.3 M.A.拉甫伦捷夫，B.A.沙巴特.复变函数论方法.施祥林，夏定中译.北京：高等教育出版社，1957.4 黄大奎 , 舒慕曾.数学物理方法 .四川大学数学学院 .北京：高等教育出版社, 施普林格出版社，2005.5 管平 , 计国群 ,黄俊.数学物理方法 .北京：高等教育出版社 ,2009.6 A.H.吉洪诺夫，A.A.萨马尔斯基.数学物理方程.黄克欧等译.北京：高等教育出版社，1957.7 R.柯朗等.数学物理方
21、法.钱敏，郭敦仁译.北京：科学教育出版社，1958.8 B.A.季特金等.运用积分手册.张燮译.北京：科学出版社，1958.9 王竹溪，郭敦仁.特殊函数概论.北京：北京大学出版社，2000.10 吴赣昌.高等数学.北京：中国人民大学出版社，2010.15致谢在这篇论文完成之际，我要对从选题到写作一直指导我研究工作的高慧昀老师表示最诚挚的谢意！在我论文写作中遇到的相关难题，是在高老师的精心指导、关心和支持下，我才得以完成的。当我有问题时，没有顾及你有多忙就询问高老师，可高老师总是很耐心地向我指导。高老师不仅给了我很大的鼓励和支持，各方面的提高都与高老师对我所倾注的新血和严格要求是息息相关的；感激之情无以言表，对此，我只能用努力的工作和学习来报答你了。最后，祝您身体健康、工作顺利！此外，我还要感谢学院里我的各科任课老师，是他们渊博的知识开拓了我的视野，丰富了我的知识！感谢所有默默为我们营造良好学习环境的各位领导和非任课老师；感谢各位帮助过我的同学和朋友，感谢鼎力支持我的家人，正是这些方面的帮助，才让我拥有了这样一个充实而快乐的大学生活。朱启龙2013 年 3 月 27 日
