1、扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 学习目标1. 掌握基本概念：正多边形，正多边形的中心角、半径、边心距以及平面镶嵌等。2. 扇形面积公式：n 是圆心角度数，R 是扇形半径，l 是扇形中弧长。3. 圆柱是由矩形绕一边旋转 360形成的几何体，侧面展开是矩形，长为底面圆周长，宽为圆柱的高r 底面半径 h 圆柱高4. 圆锥侧面积圆锥是由直角三角形绕一直角边旋转 360形成的几何体。侧面展开是扇形，扇形半径是圆锥的母线，弧长是底面圆周长。5. 了解圆柱由两平行圆面和一曲面围成，明确圆柱的高和母线，它们相等。6. 了解圆锥由一个曲面和一个底面圆围成，明确圆锥的高和母线，知道可以通过解高、母线、底面半径
2、所围直角三角形，解决圆锥的有关问题。7. 圆柱圆柱的侧面展开图是两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面周长的矩形。圆柱的侧面积等于底面周长乘以圆柱的高。如图所示，若圆柱的底面半径为 r，高为 h，则： ，。8. 圆锥圆锥是由一个底面和一个侧面组成的。圆锥的底面是一个圆，侧面是一个曲面，这个曲面在一个平面上展开后是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线，扇形的弧长是圆锥底面的周长。因此，圆锥的侧面积是圆锥的母线与底面周长积的一半。如图所示，若圆锥的底面半径为 r，母线长为 l，则。重点、难点扇形面积公式及圆柱、圆锥侧面积公式的理解和灵活应用。【典型例题】例 1. 已知如图 1，矩形 ABCD 中，AB1c
3、m，BC2cm，以 B 为圆心，BC 为半径作 圆弧交 AD 于 F，交 BA 延长线于 E，求扇形BCE 被矩形所截剩余部分的面积。图 1解：AB1，BC2，F 点在以 B 为圆心，BC 为半径的圆上，BF2，在 Rt ABF 中，AFB 30，ABF 60例 2. 已知扇形的圆心角 150，弧长为 ，则扇形的面积为_。解：设扇形的面积为 S，弧长为 l，所在圆的半径为 R，由弧长公式，得：由扇形面积公式， ，故填 。点拨：本题主要考查弧长公式 和扇形面积公式 。例 3. 已知弓形的弦长等于半径 R，则此弓形的面积为_。 （弓形的弧为劣弧） 。解：弓形弦长等于半径 R弓形的弧所对的圆心角为
4、60扇形的面积为 。三角形的面积为 。弓形的面积为 。即 。故应填 。点拨：注意弓形面积的计算方法，即弓形的面积等于扇形面积与三角形面积的和或差。本题若没有括号里的条件，则有两种情况。例 4. 若圆锥的母线与底面直径都等于 a，这个圆锥的侧面积为_。解：圆锥的底面直径等于 a。底面半径为 ，底面圆的周长为 。又圆锥的母线长为 a，圆锥的侧面积为 。故应填点拨：圆锥的侧面积即展开图的扇形面积，可利用扇形的面积公式 求得。例 5. 如图 2 所示，OA 和 OO1 是O 中互相垂直的半径，B 在上，弧 的圆心是 O1，半径是 OO1，O2 与O、O1、OA 都相切， OO16，求图中阴影部分的面积
5、。图 2解：设O2 与O、O1、OA 分别切于点 D、C 、E，设O2的半径为 r，连结 O1O2，O2E，过点 O2 作 O2FO1O 于 F，连结O1B、 OB、 OO2。O1O6，l 又， ， （舍去）又 是等边三角形，扇形 和扇形 的面积相等且都等于 。 所组成的图形面积为扇形 O1BO 和扇形 OO1B的面积之和减去三角形 O1OB 的面积，即：又扇形 OAO1 的面积为：阴影部分的面积为：点拨：本题比较复杂，考查的知识面比较多，要正确作辅助线，找出解题的思路。例 6. 在半径为 2 的圆内，引两条平行弦，它们所对的弧分别为120和 60，求两弦间所夹图形的面积及周长。解：分两条弦在
6、圆心的同侧或两侧这两种情况：如图 3 所示，由题意 ，图 3则AOB120， COD 60又ABCD ， ，AOCBOD又AOCBOD180AOCBOD90又故所求面积为又AOC90 ， ，同理又OCD 是等边三角形，CD OCOD 2又所求的周长如图 4 所示，由第一种情况，得所求面积：图 4所求周长点拨：要注意本题的两种情况，另外，弧长公式和扇形以及弓形的面积求法要求正确掌握，熟练运用。例 7. 如图 5 所示，已知正方形的边长是 4cm，求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积。 （答案保留 ）（1999 年广州）图 5解：设正方形外接圆、内切圆的半径为 R、r，面积为。 。常见错误：此题最
7、容易产生的问题是找不出正方形边长的一半与两圆的半径之间的勾股关系。即不会运用圆内接正方形与圆外切正方形的性质来解题。这一点读者应认真体会。例 8. 如图 6 所示，已知ABC 内接于O，且AB BCCA6cm图 6（1）求证：OBC30；（2）求 OB 的长（结果保留根号） ；（3）求图中阴影部分的面积（结果保留 ） 。解：（1）ABBCCA ，A60BOC 120，又 OBOC ，OBC（2）过 O 作 ODBC 于 D，OB OC，BC 6cm， ，（3）即阴影部分面积是 。常见错误：此题常见的问题是不会运用正三角形这一条件，从而无法证明OBC 30 ；当然，解直角三角形失误，求扇形面积时
8、公式记错产生的错误，也是考试中的常见错误，应引起警惕。例 9. 一个圆锥的高是 10cm，侧面展开图是半圆，求圆锥的侧面积。点悟：如图 7 所示，欲求圆锥的侧面积，即求母线长 l，底面半径 r。由圆锥的形成过程可知，圆锥的高、母线和底面半径构成直角三角形即 RtSOA，且 SO10，SAl ，OAr，关键找出 l 与 r的关系，又其侧面展开图是半圆，可得关系 ，即 。图 7解：设圆锥底面半径为 r，扇形弧长为 C，母线长为 l，由题意得 在 RtSOA 中， 由、得： 。所求圆锥的侧面积为。例 10. 圆锥的轴截面是等腰PAB ，且 PAPB3，AB2，M是 AB 上一点，且 PM2，那么在锥
9、面上 A、M 两点间的最短距离是多少？点悟：设圆锥的侧面展开图是扇形 PBB，A 点落在 A点，则所求 A、M 之间的最短距离就是侧面展形图中线段 AM 的长度。解：如图 8 所示，扇形的圆心角360图 8APB60，在APM 中，过 A作 ANPM 于 N，则 ，【模拟试题】 （答题时间：40 分钟）一、填表（1）已知：正 n 边形边长为 a正 n 边形 中心角 半径 边心距 周长 面积n3 n4 n6 （2）已知：正 n 边形半径 R正 n 边形 中心角 半径 边心距 周长 面积n3 n4 n6 二、填空题：1. 如果扇形半径长 3cm，圆心角 120，则它的面积是_cm2。2. 若圆锥母
10、线长 5cm，高 3cm，则其侧面展开图的圆心角是_度。3. 若圆锥底面半径为 3cm，母线长 5cm，则它的侧面展开图面积是_cm2。4. 有一圆柱状玻璃杯，底面半径 3cm，高为 8cm，今有一长 12cm的吸管斜放入杯中，若不考虑吸管粗细，则吸管最少露出杯口处的长度是_cm。5. 用一个半径为 30cm，圆心角为 120的扇形纸片做成一圆锥侧面，那么圆锥底面半径是_cm。6. 如图 1，正方形 ABCD 边长为 2，分别以 AB、BC 为直径在正方形内作半圆，则图中阴影部分面积为_平方单位。图 1 图 27. 如图 2，AB2cm，AOB 90，AOBO，以 O 为圆心，OA 为半径作弧
11、 AB，以 AB 为直径做半圆 AmB，则半圆和弧 AB 所围阴影部分面积是_cm2。8. 若圆锥侧面积为 ，母线长 5cm，则圆锥的高为_cm。9. 圆柱表面积为 ，它的高为 2cm，则底面半径为_cm。10. 矩形 ABCD 中，AC4cm ，ACB 30，以直线 AB 为轴旋转一周，得到圆柱表面积为_cm2。三、解答题：11. 已知扇形的半径为 ，它的面积恰好等于一个半径为的圆面积，那么这个扇形的圆心角为多少度？12. 如图 3，已知半圆 O，以 AD 为直径，AD 2cm，B、C 是半圆弧的三等分点，求图中阴影部分面积。图 313. 已知如图，割线 PCD 过圆心 O，且 PD3PC
12、，PA、PB 切O于点 A、B，PAB60，PA ，AB 与 PD 相交于 E，求弓形 ACB 的面积。【试题答案】一、填表：（1）正 n 边形 中心角 半径 边心距 周长 面积n3 120 3an4 90 4an6 60 a 6a（2）正 n 边形 中心角 半径 边心距 周长 面积n3 120n4 90n6 60 R 6R二、填空题：1. 2. 288 3. 4. 2 5. 10 6. 7. 1 8. 4cm 9. 3cm10. 三、解答题：11. 解：由题意，设所求圆心角为 ，则答：所求扇形圆心角为 6012. 解：连结 OB、OC13. 解：连结 OA、OB，在 RtAEP 中，PAB60APD30在 RtOAP 中，AOP60，OA4，PO8AOB120由题意 ，PD3PCPC4，PD 12CD 8由题意：OE 3
