1、1,傅里叶级数与变换,内容提要 傅里叶级数和傅里叶级数的性质 傅里叶变换和傅里叶变换的性质 周期信号和非周期信号的频谱分析 卷积和卷积定理 抽样信号的傅里叶变换和抽样定理,2,傅里叶生平,1768年生于法国 1807年提出“任何周期信号都可用正弦函数级数表示” 1829年狄里赫利第一个给出收敛条件 拉格朗日反对发表 1822年首次发表在“热的分析理论”一书中,3,傅立叶的两个最主要的贡献,“周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和”傅里叶的第一个主要论点 “非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示” 傅里叶的第二个主要论点,4,频域分析：傅里叶变换，自变量为 j 复频域分析：拉氏变换, 自变
2、量为 S = +j Z域分析：Z 变换，自变量为z,一 变换域分析,5,周期信号可展开成正交函数线性组合的无穷级数：. 三角函数式的 傅立里叶级数 cosn1t, sinn1t . 复指数函数式的傅里叶级数 e j n 1t ,二 周期信号的频谱分析,6,1 三角函数形式的傅里叶级数:,直流 分量,基波分量 n =1,谐波分量 n1,7,直流系数,余弦分量 系数,正弦分量 系数,8,狄利赫利条件：,在一个周期内只有有限个间断点； 在一个周期内有有限个极值点； 在一个周期内函数绝对可积，即 一般周期信号都满足这些条件.,9,三角函数是正交函数,10,周期信号的另一种 三角函数正交集表示,11,比
3、较几种系数的关系,12,周期函数的频谱：,周期信号的谱线只出现在基波频率的整数倍的频率处。直观看出：各分量的大小，各分量的频移，Cn,13,2 指数形式的傅里叶级数,由前知由欧拉公式其中,引入了负频率,14,指数形式的傅里叶级数的系数,两种傅氏级数的系数间的关系,15,周期复指数信号的频谱图,16,两种傅氏级数的系数间的关系,17,3 周期信号的功率特性,P为周期信号的平均功率符合帕斯瓦尔定理,18,4 对称信号的傅里叶级数,三种对称： 偶函数 ：f (t )=f (-t) 奇函数 ：f (t )= - f (-t) 奇谐函数 ：半周期对称 任意周期函数有：偶函数项 奇函数项,19,周期偶函数
4、只含直流和,其中a是实数bn=0 Fn是实数,20,例如:周期三角函数是偶函数,E,f(t),T1/2,-T1/2,t,21,周期奇函数只含正弦项,Fn为虚数,22,例如周期锯齿波是奇函数,E/2,-E/2,T1/2,-T1/2,f(t),t,0,23,奇谐函数 ：,沿时间轴移半个周期；反转；波形不变； 半周期对称,24,奇谐函数 的波形：,f(t),T1/2,-T1/2,0,t,25,奇谐函数的傅氏级数,奇谐函数的偶次谐波的系数为0,26,例：利用傅立叶级数的对称性判断所含有的频率分量,周期偶函数，奇谐函数，只含基波和奇次谐波的余弦分量,周期奇函数，奇谐函数，只含基波和奇次次谐波的正弦分量,
5、27,含有直流分量和正弦分量,只含有正弦分量,含有直流分量和余弦分量,28,三 典型周期信号的频谱,周期矩形脉冲信号 周期锯齿脉冲信号 周期三角脉冲信号 周期半波脉冲信号 周期全波脉冲信号,29,1 周期矩形脉冲信号的频谱,30,31,x(t),Fn,t,0,0,E,T,-T,32,33,频谱分析表明,离散频谱，谱线间隔为基波频率，脉冲周期越大，谱线越密。 各分量的大小与脉幅成正比，与脉宽成正比，与周期成反比。 各谱线的幅度按 包络线变化。过 零点为： 主要能量在第一过零点内。主带宽度为：,34,周期矩形的频谱变化规律：,若T不变，在改变的情况 若不变，在改变T时的情况,T,35,对称方波是周
6、期矩形的特例,对称方波 奇次余弦,实偶函数,周期矩形 奇谐函数,36,对称方波的频谱,37,对称方波的频谱变化规律,T,T/4,-T/4,奇次谐波,0,0,0,38,傅立叶级数,傅立叶级数 的系数,T1 信号的周期,脉宽,基波频率1,傅立叶级数小结,39,四 非周期信号的频谱分析,当周期信号的周期T1无限大时,就演变成了非周期信号的单脉冲信号,频率也变成连续变量,40,频谱演变的定性观察,-T/2,T/2,T/2,-T/2,41,从周期信号FS推导非周期的FT,傅立叶 变换,42,傅立叶的逆变换,傅立叶 逆变换,43,三。从物理意义来讨论FT,(a) F()是一个密度函数的概念(b) F()是
7、一个连续谱(c) F()包含了从零到无限高 频的所有频率分量(d) 各频率分量的频率不成谐波关系,44,傅立叶变换一般为复数,FT一般为复函数,若f(t)为实数，则幅频为偶函数,相频为奇函数,45,傅立叶变换存在的充分条件,用广义函数的概念，允许奇异函数也能满足上述条件，因而象阶跃、冲激一类函数也存在傅立叶变换,46,单边指数信号 双边指数信号 矩形脉冲信号 符号函数 冲激函数信号 冲激偶函数信号 阶跃函数信号,四 典型非周期信号的频谱,47,信号表达式幅频相频,单边指数信号,48,49,f(t),0,t,0,双边指数信号,50,51,矩形脉冲信号,52,53,符号函数,54,55,五 冲激函数傅立叶变换对,1,t,0,1,0,t,0,0,56,冲激偶的傅立叶变换,57,六 阶跃信号的傅立叶变换,u(t),0,t,0,
