1、 A2A1 F2F1 xOy A2A1FF xOy双曲线知识点总结及典型例题分析加练习知识点：1.双曲线的定义：平面内到两定点 的距离的差的绝对值为常数（小于 ）的动点的轨迹叫双曲21,F21F线。即 。当 2 2 时，轨迹是双曲线；当 2 =2 时，轨迹是两条射线；当 2 2aMF21caca时，轨迹不存在。c2焦点在 轴上时： ；焦点在 轴上时： （ ）x12byay12bxa22b3范围、对称性 顶点： 特殊点：0,),(1aAB,0),(1实轴： 长为 2a, a 叫做半实轴长 奎 屯王 新 敞新 疆 虚轴： 长为 2b，b 叫做虚半轴长 奎 屯王 新 敞新 疆21A214渐近线：双曲
2、线 的渐近线方程是 （ ） 奎 屯王 新 敞新 疆 12byxxay0y双曲线 的渐近线方程是 （ ） 奎 屯王 新 敞新 疆 2ayb5等轴双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，6共渐近线的双曲线系：渐近线为 ，双曲线方程就是： 奎 屯王 新 敞新 疆xay2byax7离心率：双曲线的焦距与实轴长的比 奎 屯王 新 敞新 疆22ce范围： ， “e 的大小”与“开口的阔窄”的关系 奎 屯王 新 敞新 疆 1e8共轭双曲线： 的共轭为 奎 屯王 新 敞新 疆 12byax2byax9 双曲线的第二定义：到定点 F 的距离与到定直线 的距离之比为常数 的点的轨迹是l )0(ace双曲线
3、奎 屯王 新 敞新 疆 其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线 奎 屯王 新 敞新 疆 常数 e 是双曲线的离心率10准线方程：左焦点 对应着左准线 ，右焦点 对应着右准线 ；)0,(1ccaxl21:)0,(2Fcaxl22:上焦点 对应着上准线 ；下焦点 对应着下准线),0(1cFcayl21:),0(2 cayl2:焦点到准线的距离 （也叫焦参数） 奎 屯王 新 敞新 疆bp211.双曲线的焦半径（ 分别是双曲线的左（下） ，右（上）焦点）21,F即有焦点在 x 轴上的双曲线的焦半径公式： 焦点在 y 轴上021exaMF021eyaMF12焦点弦：过焦点的直线割双曲线所成的
4、相交弦 奎 屯王 新 敞新 疆 通径：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 奎 屯王 新 敞新 疆基本题型：1双曲线 16x29 y2=144 的实轴长、虚轴长、离心率分别为_2顶点在 x 轴上，两顶点间的距离为 8， e= 45的双曲线的标准方程为_3双曲线214y的两条准线间的距离等于_4若双曲线 上一点 P 到双曲线上焦点的距离是 8，那么点 P 到上准线的距离是_263x5经过点 M(3, 1)，且对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程是_6以 y= x 为渐近线的双曲线的方程是_7等轴双曲线的离心率为 ；等轴双曲线的两条渐近线的夹角是 8从双曲线 的一个焦点到一条渐近线的距离是 .)0,(
5、12babya9与 有公共焦点，且离心率 e= 45的双曲线方程是 24x10以 5x2+8y2=40 的焦点为顶点，且以 5x2+8y2=40 的顶点为焦点的双曲线的方程是 _. 11已知双曲线 上一点到其右焦点距离为 8，求其到左准线的距离 奎 屯王 新 敞新 疆1362x12若共轭双曲线的离心率分别为 e1和 e2，则 e1和 e2必满足的关系式为_13若双曲线经过点(6, )，且渐近线方程是 y= 3x，则这条双曲线的方程是_14双曲线的渐近线为 y= 43x，则双曲线的离心率为_双曲线复习单元测试一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中
6、，只有一个选项是符合题目要求的）1.（09 年高考全国卷二）已知双曲线 210,xyCab：的右焦点为 F,过 且斜率为 3的直线交 C于 AB、 两点，若 4FB,则 的离心率为A 65B 75C 58D 952.（09 年高考江西卷）设 F1 和 F2 为双曲线 的两个焦点, 若 F1,F2，P(0,2 b)是正)0,(12bayx三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为 A B2 C D32353.（2008 年高考数学试题全国卷 2（理）全解全析）设 ，则双曲线 的离心率 的取1a221()xyae值范围是（ ）A B C D(2)， (5)， (25)， (5)，4.（2008 年高考数
7、学试题全国卷 2（文）全解全析）设 是等腰三角形， ，则以AB 120ABC为焦点且过点 的双曲线的离心率为（ ）， CA B C D213121315.（08 年高考陕西卷）双曲线 （ ， ）的左、右焦点分别是 ，过 作倾斜2xyab0ab12F， 1角为 的直线交双曲线右支于 点，若 垂直于 轴，则双曲线的离心率为30 M2FxA B C D6336.（2008 年高考数学海南、宁夏文数全解全析）双曲线 的焦距为（ ）210xyA 3 B 4 C 3 D 42237.（08 年高考四川卷）已知双曲线 的左右焦点分别为 ， 为 的右支上一点，且2:196xy12,FPC，则 的面积等于21P
8、F12PFA B C D43648968.（08 年高考浙江卷）若双曲线 的两个焦点到一条准线的距离之比为 3：2,则双曲线的离心12byax率是A3 B5 C D359.（09 年高考山东卷）设双曲线 12byax的一条渐近线与抛物线 y=x 2+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为 A 45B 5 C 25D 510.（2008 年高考数学福建文数全解全析）若双曲线 的离心率为 2，则 等于213xyaoaA 2 B C. D 1311.（09 年高考湖北卷）已知双曲线 的准线过椭圆 的焦点，则直线 y=kx+2 与12yx42byx椭圆至多有一个交点的充要条件是AK BK 21, ),
9、1,(C.K D , ,2,12.（08 年高考重庆卷）已知双曲线 （a0,b0）的一条渐近线为 y=kx(k0),离心率 e= ,则21xy 5k双曲线方程为A =1 B C. D2xa4y25a214xy215xb二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13.（2010 年高考试题（江西卷）解析版（文） ）点 在双曲线 的右支上，若点 到0(,)Axy2143xyA右焦点的距离等于 ，则 ；02x14.（09 年高考湖南卷）过双曲线 C：21(,)xyab的一个焦点作圆 x2+y2= 的两条切线，a切点分别为 A，B，若AOB=120（O 是坐标原点） ，则双曲线线
10、C 的离心率为 15.（2010 年高考试题（北京卷）解析版（理） ）已知双曲线 的离心率为 2，焦点与椭圆21xyab的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 。2159xy16.（08 年高考山东卷）已知圆 .以圆 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一2:6480CxyC个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为 .三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）17.（2008 高考试题（全国卷 1）文科全解析）（注意：在试题卷上作答无效）双曲线的中心为原点 O，焦点在 x 轴上，两条渐近线分别为 l1,l2,经过右焦点 F 垂直于 l1的直线分别交 l1，l 2于 A，B 两
11、点.已知| |、| |、| |成等差数列，且 与 同向.ABOBA（）求双曲线的离心率；（）设 AB 被双曲线所截得的线段的长为 4，求双曲线的方程. 18.（2010 年高考试题（全国卷 2）解析版（理） ）己知斜率为 1 的直线 l 与双曲线 C： 相交于 B、 D 两点，且 BD 的中点为210xyabb ， ,3M（）求 C 的离心率；（）设 C 的右顶点为 A，右焦点为 F， ，证明：过 A B、 D 三点的圆与 x 轴相17DBA切19.（2008 年高考数学重庆文数全解全析） （本小题满分 12 分， （）小问 5 分， （）小问 7 分.）如题（21）图，M（-2，0）和 N（
12、2，0）是平面上的两点，动点 P 满足： 2.MPN（）求点 P 的轨迹方程;（）设 d 为点 P 到直线 l： 的距离，若 ,求12x2MN的值.20.（09 年高考江西卷）已知点 10(,)Pxy为双曲线218xyb（ b为正常数）上任一点, 2F为双曲线的右焦点,过 1P作右准线的垂线,垂足为 A,连接 2F并延长交 y轴于 2P.求线段 2的中点 的轨迹 E的方程;设轨迹 E与 x轴交于 BD、 两点,在 上任取一点 1,(0)Qxy（ ） ,直线 QBD， 分别交 y轴于MN，两点.求证:以 为直径的圆过两定点 .21.（09 年高考重庆卷）(文）已知以原点 O为中心的双曲线的一条准线方程为 5x，离心率 5e.(1)求该双曲线的方程；(2)如题（20）图，点 A的坐标为 (5,0)， B是圆22(5)1xy上的点，点 M在双曲线右支上，求 MAB的最小值，并求此时 点的坐标；22.（2008 年高考数学天津理数全解全析）已知中心在原点的双曲线 C 的一个焦点是 ，一条渐近线的方0,31F程是 .025yx（）求双曲线 C 的方程；（）若以 为斜率的直线 与双曲线 C 相交于两个不同的点 M，N，线段 MN 的垂直平分线与kl两坐标轴围成的三角形的面积为 ，求 的取值范围.281k
