1、双曲线专题复习讲义知识梳理1. 双曲线的定义（1）第一定义：当 时, P的轨迹为双曲线; 1212|PFaF当 时, 的轨迹不存在; 2|PFa当 211| 时, 的轨迹为以 21、 为端点的两条射线（2）双曲线的第二义平面内到定点 与定直线 l(定点 F不在定直线 l上)的距离之比是常数 e( 1)的点的轨迹为双曲线2. 双曲线的标准方程与几何性质标准方程 )0,(12bayx )0,(2baxy焦点 )0,c， ),0c焦距 c2范围 Ryx,| Rxy,|顶点 )(a )(a对称性 关于 x 轴、y 轴和原点对称离心率 (1,)ce准线 cx2cy2性质渐近线 aby xba与双曲线 1
2、2byax共渐近线的双曲线系方程为： )0(2byax与双曲线 2共轭的双曲线为21yb等轴双曲线 ayx的渐近线方程为 x ，离心率为 2e.； 重难点突破1.注意定义中“陷阱”问题 1：已知 12(5,0)(,F，一曲线上的动点 P到 21,F距离之差为 6，则双曲线的方程为 点拨：一要注意是否满足 ，二要注意是一支还是两支12|aFA BCPO xy， P的轨迹是双曲线的右支.其方程为 )0(1692xyx12|610PF2.注意焦点的位置问题 2：双曲线的渐近线为 xy23，则离心率为 点拨：当焦点在 x轴上时， ab， 1e；当焦点在 y轴上时， 23ba， 1e热点考点题型探析考点
3、 1 双曲线的定义及标准方程题型 1：运用双曲线的定义例 1 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚 4s. 已知各观测点到该中心的距离都是 1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为 340m/ s :相关各点均在同一平面上)【解题思路】时间差即为距离差，到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的解析如图，以接报中心为原点 O，正东、正北方向为 x 轴、y 轴正向，建立直角坐标系.设 A、B、C 分别是西、东、北观测点，则 A（1020，0） ，B（1020，0） ，C （0，10
4、20）设 P（x,y）为巨响为生点，由 A、C 同时听到巨响声，得|PA|=|PC|，故 P 在 AC 的垂直平分线 PO 上，PO 的方程为 y=x，因 B 点比 A 点晚 4s 听到爆炸声，故|PB| |PA|=3404=1360由双曲线定义知 P 点在以 A、B 为焦点的双曲线 12byax上，依题意得 a=680, c=1020， 13405681222yxacb故 双 曲 线 方 程 为用 y=x 代入上式，得 ，|PB|PA|, 1068),568,(,50 POPy故即答：巨响发生在接报中心的西偏北 450距中心 m10处.【名师指引】解应用题的关键是将实际问题转换为“数学模型”
5、【新题导练】1.设 P 为双曲线 12yx上的一点 F1、F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|：|PF 2|=3：2，则PF 1F2的面积为 （ ）A 36B12 C 312D24解析： :|:,13,2,121PFcba由 又 |aPF由、 解得 .4|,6|21,5| 1221 为2FP直角三角形， .246|2121 S故选 B。2.如图 2 所示， 为双曲线 19:yxC的左焦点，双曲线 上的点 iP与 3,7i关于 y轴对称，则 FFP654321的值是（ ）A9 B16 C18 D27 解析 615243P，选 C3. P是双曲线 )0,(12bayx左支上的一点，F 1、F
6、2分别是左、右焦点，且焦距为 2c，则 1F的内切圆的圆心的横坐标为（ ）（A） a（B） b（C） c（D） cba解析设 21P的内切圆的圆心的横坐标为 0x，由圆的切线性质知， axccF001 2|)(|题型 2 求双曲线的标准方程例 2 已知双曲线 C与双曲线 162x 4y=1有公共焦点，且过点（3 2，2）.求双曲线C的方程【解题思路】运用方程思想，列关于 cba,的方程组解析 解法一：设双曲线方程为 2x y=1.由题意易求 c=2 5.又双曲线过点（3 ，2） ， 2)3(a 24b=1.又 a2+b2=（2 5） 2， a2=12， b2=8.故所求双曲线的方程为 12x
7、8y=1.解法二：设双曲线方程为 k6 421，将点（3 2，2）代入得 k=4，所以双曲线方程为 2x 8y1.【名师指引】求双曲线的方程，关键是求 a、b，在解题过程中应熟悉各元素（a、b、c、e及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用.【新题导练】4.已知双曲线的渐近线方程是 2xy，焦点在坐标轴上且焦距是 10，则此双曲线的方程为 ； 解析设双曲线方程为 24，当 0时，化为 12yx， 2015，当 时，化为 42， 4，综上，双曲线方程为2105xy或 120x5.以抛物线 y382的焦点 F为右焦点,且两条渐近线是 03yx的双曲线方程为_.解析 抛物线 x的焦点 为 ),3(，
8、设双曲线方程为 2，9)2(34，双曲线方程为 192yx6.已知点 ,0M， (3,)N， (1,0)B，动圆 C与直线 MN切于点 B，过 、 N与圆C相切的两直线相交于点 P，则 点的轨迹方程为A21()8yxxB21()8yxxC2（x 0） D2()0解析 2NBMP， P点的轨迹是以 M、 N为焦点，实轴长为 2的双曲线的右支，选 B考点 2 双曲线的几何性质题型 1 求离心率或离心率的范围例 3 已知双曲线21,(0,)xyabb的左，右焦点分别为 12,F，点 P 在双曲线的右支上，且 12|4|PF，则此双曲线的离心率 e 的最大值为 【解题思路】这是一个存在性问题，可转化为
9、最值问题来解决解析(方法 1)由定义知 12|PF，又已知 12|4|P，解得183a， 23a，在 中，由余弦定理，得 2221 8917496cos ecPF，要求 的最大值，即求 21cosPF的最小值，当 21时，解得 53即 的最大值为 53(方法 2) acPFaPF21| 222 ，双曲线上存在一点 P 使 14，等价于 35,4e(方法 3)设 ),(yx，由焦半径公式得 axPFex21 ，214， )(aex， 35， ， ， e的最大值为 53【名师指引】 （1）解法 1 用余弦定理转化，解法 2 用定义转化，解法 3 用焦半径转化；（2）点 P 在变化过程中， |2PF
10、的范围变化值得探究；（3）运用不等式知识转化为 cba,的齐次式是关键【新题导练】7.已知双曲线21xymn的一条渐近线方程为 43yx，则该双曲线的离心率 e为 解析当 0,时， 169， 9252mne，当 0,n时， 916m，16252ne， e3或 548. 已知双曲线 )0,(2bayx的右顶点为 E，双曲线的左准线与该双曲线的两渐近线的交点分别为 A、 B 两点，若AEB=60，则该双曲线的离心率 e 是（ ）A 215 B 2 C 15或 2 D不存在解析设双曲线的左准线与 x 轴交于点 D,则 cabA， caE2， 2cab3， 2e题型 2 与渐近线有关的问题例 4若双曲
11、线 )0,(12bayx的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为 （ ）A. 2 B. 3 C. 5 D.2【解题思路】通过渐近线、离心率等几何元素，沟通 cba,的关系解析 焦点到渐近线的距离等于实轴长，故 2， 5122ae,所以 e【名师指引】双曲线的渐近线与离心率存在对应关系,通过 c,的比例关系可以求离心率,也可以求渐近线方程【新题导练】9. 双曲线2149xy的渐近线方程是 ( )A. 3 B. 49yx C. 32yx D. 94yx解析选 C10.焦点为（0，6） ，且与双曲线 12yx有相同的渐近线的双曲线方程是 （ ）A 124yx B 412xC 124xy D
12、 124yx解析从焦点位置和具有相同的渐近线的双曲线系两方面考虑，选 B基础巩固训练1. 以椭圆21694xy的右焦点为圆心，且与双曲线2196xy的渐近线相切的圆的方程是 （A） 209xy （B） 210xy （C） 1 （D） 9解析椭圆与双曲线共焦点，焦点到渐近线的距离为 b，选 A 2.已知双曲线的两个焦点为 1(0,)F、 2(10,)， M是此双曲线上的一点，且满足120MF， 12|FM，则该双曲线的方程是 （ ）A 9xy B 9yx C2137xyD2173xy解析由 12|和 4021PF得 6|2PF，选 A3.两个正数 a、b 的等差中项是 ，一个等比中项是 5，且
13、,ba则双曲线12yx的离心率为( ) A 53 B 4 C 5 D 41解析 1,cba，选 D4.设 1e， 2分别为具有公共焦点 F与 2的椭圆和双曲线的离心率， P为两曲线的一个公共点，且满足 021P，则 1)(e的值为( C )A 2 B1 C2 D不确定解析 C. 设 aF|， mPF2|1， a|1，maPF|2， 24)()(c 212ec5.已知 F1，F 2分别是双曲线 )0,(2bayx的左、右焦点，过 F1且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A， B 两点，若ABF 2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）(A). ),( (B). )1,( (C). )3
14、,1( (D). )2,3(解析 02122 eeaccab ，选 B6.曲线 )6(60myx与曲线 )95(1952nynx的 （ ）A焦距相等 B焦点相同 C离心率相等 D以上都不对解析 方程 )6(61022myx的曲线为焦点在 x 轴的椭圆，方程)95(952nynx的曲线为焦点在 y 轴的双曲线，)5(6)10( m，故选 A综合提高训练7. 已知椭圆 1532nymx和双曲线 1322nymx有公共的焦点， （1）求双曲线的渐近线方程（2）直线 l过焦点且垂直于 x 轴，若直线 l与双曲线的渐近线围成的三角形的面积为 4，求双曲线的方程解析（1）依题意，有 22353n，即 28
15、n，即双曲线方程为263xyn，故双曲线的渐近线方程是 2016xy，即 xy43， （2）设渐近线 x43与直线 cl:交于 A、B ，则 2|c，21cSOAB，解得 1即 2ba，又 43a， 193,62b双曲线的方程为 3962yx8.已知 21,F是双曲线 12ba的左，右焦点,点 yxP,是双曲线右支上的一个动点,且 1P的最小值为 8,双曲线的一条渐近线方程为 34. 求双曲线的方程;解析 时 取 等 号， 当 且 仅 当 axcex,8.1 acF的 最 小 值 为. 12by双 曲 线的一条渐进线方程为xy34ab，又 22b 由得 9,54,2xc所 以 所 求 双 曲
16、线 方 程 为 16y9.已知中心在原点的双曲线 C的右焦点为 2,0，右顶点为 3,0.（）求双曲线 C的方程（）若直线 :2lykx与双曲线恒有两个不同的交点 A和 B且 2O（其中O为原点） ，求 k的取值范围解（1）设双曲线方程为21yab由已知得 3,c，再由 22，得 1b故双曲线 C的方程为21xy.（2）将 2ykx代入213xy得 2(3)690kxk由直线 l与双曲线交与不同的两点得 222063(1)6()0kk即 213k且 2. 设 ,(,)AABxy，则2269,13ABABxyxyk，由 2O得 2ABxy，而 ()()(1)()bxkkx2222967(1)31
17、3kk.于是27，即 290k解此不等式得 213.k 由+得 213故的取值范围为 3(,),1参考例题：已知双曲线 C： )0,(12bayx的两个焦点为 21,F，点 P 是双曲线 C 上的一点， 021PF，且 21PF（1）求双曲线的离心率 e；（2）过点 P 作直线分别与双曲线的两渐近线相交于 21,P两点，若 1274OP，120，求双曲线 C 的方程（1）设 rF，则 r21， 21FP， rF522121， 5221Pace（2）由（1）知 e，故 21eab，从而双曲线的渐近线方程为 xy2，依题意，可设 )2,(),(),1xPxyxP，由 472211O，得 491 由
18、 0221P，得 1230xy，解得 321xy点 ),(yx在双曲线 12bax上， 9)4(9)(2121bax，又 b2，上式化简得 18 由，得 a，从而得 2b故双曲线 C 的方程为 182yx双曲线专题练习一一、填空题1椭圆 与双曲线 的焦点相同，则 k= 。192kyx132ykx2双曲线 的渐近线为 两渐近线夹角为 。43已知 为椭圆的两个焦点， 为它的短轴的一个端点，若该椭圆的长轴长为 ，12F、 A 4则 面积的最大值为 A4过点（-6，3）且和双曲线 x2-2y2=2有相同的渐近线的双曲线方程为 。5过原点与双曲线 交于两点的直线斜率的取值范围是 1342y6、若双曲线
19、的一个焦点是（0，3） ，则 k的值是 。88kx7. 已知直线 y=kx-1与双曲线 ,试列出实数2xk需满足的不等式组,使直线与双曲线交同支于两点， 。8点 P是双曲线 上一点，F 1、F 2是双曲线焦点，若F 1PF2=120o，342y则F 1PF2的面积 。9过点（，）的直线 L与椭圆 x22y 22 交于 、 两点，线段 的中点为，设直线 l的斜率为 k1（k 10） ，直线的斜率为 k2，则 k1k2的值为_.10若对任意 kR，直线 by)(与双曲线 12y总有公共点，则 b范围 。11若方程 x+k- =0只有一个解，则实数 k的取值范围是_。 21x12给出问题：F 1、F
20、 2是双曲线 =1的焦点，点 P在双曲线上.若点 P到焦点 F1的206y距离等于 9，求点 P到焦点 F2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为 8，由|PF1|PF 2|=8，即|9|PF 2|=8，得|PF 2|=1或 17.该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确，将正确的结果填在下面空格内. 。二、选择题13.平面内有定点 A、B 及动点 P，设命题甲是“|PA|+|PB|是定值” ，命题乙是“点 P的轨迹是以 A、B 为焦点的椭圆” ，那么甲是乙的 ( )A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件14. 经过双曲线 的右
21、焦点 作直线 交双曲线与 、 两点，若|AB|=4,12yx2FlAB则这样的直线存在的条数为 （ ）（A）； （B）3； （C）2； （D）15双曲线与其共轭双曲线有 （ ）A相同的焦点 B. 相同的渐近线 C.相等的实轴长 D. 相等的虚轴长16过点 P(3,4)与双曲线 只有一个交点的直线的条数为 （ ）169:2yxcA4 B. 3 C.2 D. 1三、解答题17已知动圆与圆 C1:(x+5)2+y2=49和圆 C2：(x-5) 2+y2=1都外切，（1）求动圆圆心 P的轨迹方程。（2）若 动 圆 P与 圆 C2内 切 ， 与 圆 C1外 切 ， 则 动 圆 圆 心 P的 轨 迹 是
22、。若 动 圆 P与 圆 C1内 切 ， 与 圆 C2外 切 ， 则 动 圆 圆 心 P的 轨 迹 是 。若 把 圆 C1的 半 径 改 为 1， 那 么 动 圆 P的 轨 迹 是 。（只需写出图形形状）18已知直线 与双曲线 交于 、 点。axy132yxAB（1）求 的取值范围；（2）若以 为直径的圆过坐标原点，求实数 的值；a（3）是否存在这样的实数 ，使 、 两点关于直线 对称？若存在，xy21请求出 的值；若不存在，说明理由。解：19(1)椭圆 C: (ab0)上的点 A(1, )到两焦点的距离之和为 4,12byax 23求椭圆的方程;(2)设 K是(1)中椭圆上的动点, F 1是左
23、焦点, 求线段 F1K的中点的轨迹方程;(3)已知椭圆具有性质:若 M、N 是椭圆 C上关于原点对称的两点，P 是椭圆上任意一点, 当直线 PM、PN 的斜率都存在并记为 kPM、k PN时，那么 是与点 P位置无关的NPMk定值。试对双曲线 写出具有类似特性的性质，并加以证明。2byax：20. 已知双曲线方程为 ,（1）求过点 P（1，2）的直线 的斜率 的取值范围，使直线与双曲线lk有一个交点，两个交点，没有交点。(2) 过点 P（1，2）的直线交双曲线于 A、B 两点，若 P为弦 AB的中点，求直线 AB的方程；（3）是否存在直线 ，使 Q（1，1）为 被双曲线所截弦的中点？若存在，l
24、l求出直线 的方程；若不存在，请说明理由。21、已知中心在原点，顶点 A1、A 2在 x 轴上，离心率 e= 的双曲线过点 P(6，6) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (1)321求双曲线方程 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (2)动直线 l 经过A 1PA2的重心 G，与双曲线交于不同的两点 M、N，问 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 是否存在直线 l,使 G 平分线段 MN，证明你的结论 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 22已知双曲线2,问过点 A（1，1）能否作直线 l,使 与双曲线交于 P
25、、Q 两点，并且 A 为线段 PQ 的中点？若存在，求出直线 l的方程，若不存在，说明理由。一、填空题1 k= 2 。2 。 32 4 5 .15arcos 19182yx ),(),(236、-1 。7. 。8 。 9 . 10 11 -1，1）0122xk23,212 |PF 2|=17。二、选择题13. ( B )14 （ B ）15 （ B ）16C三、解答题17已知动圆与圆 C1:(x+5)2+y2=49和圆 C2：(x-5) 2+y2=1都外切，（1）求动圆圆心 P的轨迹方程。解：（1）从已知条件可以确定圆 C1、C 2的圆心与半径。两圆外切可得：两圆半径和圆心距动圆半径 r,依题
26、意有 7r|PC 1|,1r|PC 2|，两式相减得：|PC 1|PC 2|6 |C 1C2|。由双曲线定义得：点 P的轨迹是以 C1、C 2为焦点的双曲线的右支。（x3）1692yx（2）若 动 圆 P与 圆 C2内 切 ， 与 圆 C1外 切 ， 则 动 圆 圆 心 P的 轨 迹 是 （ 双 曲 线 右 支）若 动 圆 P与 圆 C1内 切 ， 与 圆 C2外 切 ， 则 动 圆 圆 心 P的 轨 迹 是 （双曲线左支）若 把 圆 C1的 半 径 改 为 1， 那 么 动 圆 P的 轨 迹 是 。 （ 两 定 圆 连 心 线 的 垂 直 平 分线）18已知直线 与双曲线 交于 、 点。ax
27、y132yxAB（1）求 的取值范围；（2）若以 为直径的圆过坐标原点，求实数 的值；ABa（3）是否存在这样的实数 ，使 、 两点关于直线 对称？若存在，ABxy2请求出 的值；若不存在，说明理由。a解：（1）由 消去 ，得 （1）132yx 0)3(2ax XO Y 5-5 2 依题意 即 且 （2）032a6a3（2）设 ， ，则),(1yxA),(2yB)4(321ax 以 AB为直径的圆过原点 OBA021yx但 1)(212121 xaxy由（3） （4） ， ，3223a 解得 且满足（2）01)1( 222aa 1（3）假设存在实数 ，使 A、B 关于 对称，则直线 与 垂直x
28、yaxyxy21 ，即 直线 的方程为12a2l12将 代入（3）得 41x AB 中点的横坐标为 2 纵坐标为 3y但 AB中点 不在直线 上，即不存在实数 ，使 A、B 关于直线 对称。),2(xyaxy2119(1)椭圆 C: (ab0)上的点 A(1, )到两焦点的距离之和为 4,12bax 23求椭圆的方程;(2)设 K是(1)中椭圆上的动点, F 1是左焦点, 求线段 F1K的中点的轨迹方程;(3)已知椭圆具有性质:若 M、N 是椭圆 C上关于原点对称的两点，P 是椭圆上任意一点, 当直线 PM、PN 的斜率都存在并记为 kPM、k PN时，那么 是与点 P位置无关的NPMk定值。
29、试对双曲线 写出具有类似特性的性质，并加以证明。12byax解：(1) 1342yx(2)设中点为(x,y), F 1(-1,0) K(-2-x,-y)在 上 1342yx 134)2(2yx(3)设 M(x1,y1), N(-x1,-y1), P(xo,yo), xox 1 则 )(22axoby)(212aby221021022101010 )(abxbxyxyxyPNM axk 为定值.20. 已知双曲线方程为 与点 P(1,2),22yx（1）求过点 P（1，2）的直线 的斜率 的取值范围，使直线与双曲线lk有一个交点，两个交点，没有交点。(2) 过点 P（1，2）的直线交双曲线于 A
30、、B 两点，若 P为弦 AB的中点，求直线 AB的方程；（3）是否存在直线 ，使 Q（1，1）为 被双曲线所截弦的中点？若存在，ll求出直线 的方程；若不存在，请说明理由。解：(1)当直线 l的斜率不存在时，l 的方程为 x=1,与曲线 C有一个交点.当 l的斜率存在时，设直线 l的方程为 y2=k(x1),代入 C的方程，并整理得(2k 2)x2+2(k22k)xk 2+4k6=0 (*)()当 2k 2=0,即 k= 时，方程( *)有一个根，l 与 C有一个交点()当 2k 20,即 k 时2=2(k 22k) 24(2k 2)(k 2+4k6)=16(32k)当 =0,即 32k=0,
31、k= 时，方程( *)有一个实根，l 与 C有一个交点.当 0,即 k ,又 k ,故当 k 或 k 或 k 时，22223方程( *)有两不等实根，l 与 C有两个交点.当 0，即 k 时，方程( *)无解，l 与 C无交点.3综上知：当 k= ,或 k= ，或 k不存在时，l 与 C只有一个交点；2当 k ,或 k ,或 k 时，l 与 C有两个交点；2322当 k 时，l 与 C没有交点.（2）假设以 P为中点的弦为 AB，且 A(x1,y1),B(x2,y2)，则 2x12y 12=2,2x22y 22=2两式相减得：2(x 1x 2)(x1+x2)=(y1y 2)(y1+y2)又x
32、1+x2=2,y1+y2=4 2(x 1x 2)=y1y 1 即 kAB= =121x但渐近线斜率为 ,结合图形知直线 AB与有交点，所以以 P为中点的弦为： .1xy(3)假设以 Q为中点的弦存在，设为 AB，且 A(x1,y1),B(x2,y2)，则2x12y 12=2,2x22y 22=2两式相减得：2(x 1x 2)(x1+x2)=(y1y 2)(y1+y2)又x 1+x2=2,y1+y2=2 2(x 1x 2)=y1y 1 即 kAB= =221xy但渐近线斜率为 ,结合图形知直线 AB与 C无交点，所以假设不正确，即以 Q为中点的弦不存在.21 已知中心在原点，顶点 A1、A 2在
33、 x 轴上，离心率 e= 的双曲线过点 P(6，6) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (1)求321双曲线方程 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (2)动直线 l 经过A 1PA2的重心 G，与双曲线交于不同的两点 M、N，问 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 是否存在直线 l,使 G 平分线段 MN，证明你的结论 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco (1)如图，设双曲线方程为 =1
34、 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 由已知得 ,解得2ba 3,122abebaa2=9,b2=12 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 所以所求双曲线方程为 =1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 9(2)P、A 1、A 2的坐标依次为(6,6)、(3 ，0)、(3，0） ，其重心 G 的坐标为(2，2）假设存在直线 l，使 G(2，2)平分线段 MN，设 M(x1,y1)，N (x2,y2) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 则有，k l= l 的方程为2121124984, 93xxyyyy= (x2)+2,由 ,消去 y,整
35、理得 x24x +28=0 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j =164280,所3)2(340xy求直线 l 不存在 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 22 已知双曲线 12,问过点 A（1，1）能否作直线 l,使 与双曲线交于 P、Q两点，并且 A 为线段 PQ 的中点？若存在，求出直线 的方程，若不存在，说明理由。错解 设符合题意的直线 l存在，并设 ),(21xP、 ),(2yQ则 )2(1221yx（1） )(得 )(2121xx 3)(1212因为 A（1，1）为线段 PQ 的中点， 所以)5(421yx将(4)、(5)代入（3）得 )(2211yx若
36、 ，则直线 l的斜率 21xyk 所以符合题设条件的直线 l存在。 A1 A2M NGPoy x其方程为 012yx 剖析 在（3）式成立的前提下，由(4)、 （5）两式可推出(6)式，但由(6)式不能推出(4)(5)两式，故应对所求直线进行检验，上述错解没有做到这一点，故是错误的。 应在上述解题的基础上，再由12yx得 0342x 根据 08,说明所求直线不存在。双曲线专题练习二1. 过点 且与双曲线 有公共渐近线的双曲线方程是（ ）)2,(12yxA. B. 14xy42C. D. 212yx2. 已知定点 A、B，且|AB|=4，动点 P 满足|PA|PB|=3，则|PA|的最小值是（
37、）A. B. C. D. 51373. 设双曲线以椭圆 长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲1925yx线的渐近线的斜率为（ ）A. B. C. D. 342434. 设 A 为双曲线 右支上一动点，F 为该双曲线的右焦点，连结 AF 交双曲1962yx线于 B，过 B 作直线 BC 垂直于双曲线的右准线，垂足为 C，则直线 AC 必过定点（ ）A. B. C. （4，0） D. )0,14()0,58( )0,52(5. 把曲线 C1： 按向量 平移后得曲线 ，曲线 有一条准线方程12kyx)2,(a22为 ，则 的值为（ ）5xA. B. C. 3 D. 36. 在 中，若 ，
38、则方程 表示（ ABBAsincos1coss22CyAx）A. 焦点在 x 轴上的椭圆 B. 焦点在 y 轴上的椭圆C. 焦点在 x 轴上的双曲线 D. 焦点在 y 轴上的双曲线7. 已知椭圆 与双曲线 有相同的焦点)0(12bay )0,(12nmnx和 ，若 是 的等比中项， 是 与 的等差中项，则椭圆的)0,(c,()0cm, c离心率是（ ）A. B. C. D. 324128. 设 分别为具有公共焦点 与 的椭圆和双曲线的离心率， P 为两曲线的一个公21,e1F共点，且满足 ，则 的值为（ ）021PF21)(eA. 1 B. C. 2 D. 不确定二. 解答题9. 已知双曲线
39、M 过点 ，且它的渐近线方程是 。)26,4(P02yx（1）求双曲线 M 的方程；（2）设椭圆 N 的中心在原点，它的短轴是双曲线 M 的实轴，且 N 中斜率为 的弦4的中点轨迹恰好是 M 的一条渐近线在 N 内的部分，试求椭圆 N 的方程。10. 已知双曲线 C 的中心在原点，抛物线 的焦点是双曲线 C 的一个焦点，且双xy82曲线 C 过点 。)3,2(（1）求双曲线 C 的方程；（2）设双曲线 C 的实轴左顶点为 A，右焦点为 F，在第一象限内任取双曲线 C 上一点 P，试问是否存在常数 ，使得 恒成立？并证明你的结论。)0(PA11. 双曲线的中心是原点 O，它的虚轴长为 ，相应于焦
40、点 的准线 与62)0(,cl轴相交于点 A，且 ，过点 F 的直线与双曲线交于 P、Q 两点。x|3|AF（1）求双曲线的方程及离心率；（2）若 ，求直线 PQ 的方程。0QP12、已知点 N（1，2） ，过点 N 的直线交双曲线 于 A、B 两点，且12yx（1）求直线 AB 的方程；（2）若过 N 的直线 l 交双曲线于 C、D 两点，)(21OBAN且 ，那么 A、B、C 、D 四点是否共圆？为什么？0CD13、如图，点 为双曲线 的左焦点，左准线 交 轴于点 ，点 P 是 上的一点，已知FlxQl，且线段 PF 的中点 在双曲线 的左支上.1|QPMC（）求双曲线 的标准方程；C（）
41、若过点 的直线 与双曲线 的左右m两支分别交于 、 两点，设 ，当ABFA时，求直线 的斜率 的取值范围. ),6k【试题答案】一.1. A解析：设与 有公共渐近线的双曲线方程为 ，把点 代12yx 2yx)2,(入可求得 。2. C解析：P 点轨迹是以 A（左） 、B （右）为焦点的双曲线的右支（如图）P 与双曲线右支顶点 M 重合时 最小，最小值为 。| 273ca3. C解析：椭圆的长轴两端点和焦点分别为（5，0） ， ， （4，0） ，),5(),(设双曲线的方程为 ，则有 ， ，12byaxc2a22cb ，20a5故其渐近线为 xy4. AAyxOMFBm解析：（特殊值法）取 ，则
42、)49,5(),BA)49,516(C 直线 AC 与 x 轴相交于点 ，故选 A015. C解析：无论曲线 为椭圆还是双曲线都可得到 ，且由题意可知曲线中心由1 kc42（0，0） （1，2）后，曲线 的一条准线为 ，可判定为 的右准线2C5x2C故 ，即 ，故5ca514k3k6. C解析： 0)cos(sinosBABA即 C20c)c(， ，20s1cssyx表示焦点在 x 轴上的双曲线，故选 C。7. D解析：由题意得 )3(222nmcca由（2） （3）可得 ，代入（1）得椭圆的离心率 ，故选 D。21ace8. C解析：设 nPF|,|21设椭圆的长轴为 ，双曲线的实轴长为 ，
43、a2acF|21则 2122144cmncnm222 aa由此可得 2144c即 221a将 ， 代入 ，选 C1ace2 2)()(21221ace二. 9. 解析：（1）所求双曲线的方程为 12502yx（2）由（1）知双曲线的焦点在 x 轴上 椭圆的焦点在 y 轴上由于双曲线 M 的实轴长为 102 设椭圆方程为 （其中2ax)10a又设 N 中斜率为 的弦的两端点为 ，其中点为4),(,(21yxBA),(yx则 )2(1021ayx由（1） （2）得 N 中斜率为 的弦的中点的轨迹是直线x404在 N 内的部分。根据题意得 xay40210a20a 椭圆 N 的方程为 12yx10.
44、 解析：（1）由题意设双曲线方程为 ，把 代入得 12byax)3,(132ba又抛物线 的焦点是（2，0）xy8故 42bac由得 3,12所以所求双曲线方程为 132yx（2）假设存在适合题意的常数 ，此时)0()0,1(,2AF先来考虑特殊情形下的 值；当 轴时，将 代入双曲线方程xPF2解得 3|y因为 ，所以 是等腰直角三角形， ，|APFA90PFA45F此时 2以下证明当 PF 与 x 轴不垂直时， 恒成立2设 ，由于点 P 在第一象限内，所以直线 PA 的斜率存在，为),(1yxP 1xykPA因为 PF 与 x 轴不垂直，所以直线 PF 的斜率也存在，为 21xykPF所以 21122 )(tan12tan yxkPAFPAFPA因为 321yx所以 )1()(121x将其代入上式并化简得 2)1(3)(2tan11xyyPAF因为 ，所以180xPFAt 1kPF即 tan2tan因为 ，),()32,()4,0(A)3,(所以 0PFA所以 恒成立综合以上两种思路，得存在常数
