1、3.7 算符的对易关系 两力学量同时 有确定值的条件 测不准关系,讨论微观态 中某一力学量 时，总是以 的本征值谱作 为力学量 的可能值。若我们同时观测状态 中的一组不同 力学量 ，将会得到什么结果呢？这一讲我们主要讨论 这个问题。 主要内容有：一个关系：力学量算符之间的对易关系三个定理:,1 算符之间的对易关系1.1 算符的基本运算关系（1）算符之和：算符 与 之和 定义为为任意函数 一般 ，例如粒子的哈密顿算符是动能算符 与势能算符 之和（2）算符之积：算符 与 之积定义为,（1）,（2）,算符之积对函数的作用有先后作用次序问题 一般不能颠倒个相同算符 的积定义为算符 的 次幂例如 则为了
2、运算上的方便，引入量子括号,（3）,（5）,若称算符 与 是不对易的（不能交换位置） 即 若 称算符 与 是对易的 即 下面几个经常使用的对易关系 请自行证明,（6）,（7）,1.2 坐标算符与动量算符的对易关系坐标算符是乘数因子 相互对易动量算符是微分算符 因为 则坐标算符与动量算符：设 为任意函数,（12）,（13）,比较后可得 但是 同理可得坐标算符与动量算符的其它对易关系式可概括为其中 坐标算符与动量算符的对易关系是最基本的对易关系，其它力学量的对易关系均可由此导出。,（14a）,（14b）,(14c),1.3 角动量算符的对易关系只证明其中一个，请注意证明方法记忆方法：从左至右以 依
3、次循环指标为 正，任何一个指标错位即为负，相同指标则为零。,(15),以相同的推导方法和记忆规律，有另外有,（16）,（17）,（18）,1.4 几个重要的推论(1)(2)（3）球坐标下 是 的函数，若有径向函数算符则,（19）,（20）,（21）,（22）,2 共同本征函数完备系2.1共同本征函数完备系带来算符对易设两个算符 和 有一个共同的本征函数 ，则必有及 ，即在 态中可以同时确定这两个力学量的数值，那么这似乎提醒我们有 ，但下结论过早，因为 这只是针对某一个特殊函数（本征函数 ），如果 和 有 一组完备的共同本征函数，对于任意态函数,（23）,有 则这时才说 和 是对易的。这个结论可
4、以推广到多个算 符，即 如果一组算符有共同的本征函数完备系 ，则这组算符对易 例如 即在 态中 同时有确定值 及 ，所以是 的共同的本征函数，并且是完备的，所以,（24）,2.2 逆定理：如果一组算符对易，则这组算符有组成完备系的共同的本征函数。这里仅就非简并本征函数系加以证明若算符 和 相互对易，对于 的本征函数 ，有可见 也是算符 的属于本征值 的本征函数。已经 假定 非简并，所以对应 的两个本征函数 和 最多 只能相差一个常数，所以,（26）,（25）,（27）,可见， 同时也是 的属于本征值 的本征函数。同 理，对 的其它本征函数也有此结论。所以， 和 有组 成完备系的共同的本征函数。
5、例如，角动量算符 ，所以它们有组成完备系的 共同的本征函数 ，在 态中，力学量 同时有确定值 及 。氢原子哈密顿算符所以， 对易，它们有组成完备系的共同的本征函 数 ，在该态中三者同时有确定值：,（28）,2.3 力学量完全集有些情况下，力学量 的本征值是全部简并或部分简 并的，一个本征值对应若干个本征函数。所以，只以 的本 征值不足以完全确定本征函数，这时必定存在和 独立且和对易的其它力学量 。如果 的共同的本征函数仍然 有简并，则必定还存在独立于 而又和 对易的其它 力学量 ， 的共同的本征函数是否还有简并？ 我们定义：一组相互对易而又相互独立的力学量算符， 如果它们的共同的本征函数是非简
6、并的，即这组本征值完全 确定一个共同本征函数，则这组力学量称为力学量完全集。 在完全集中，力学量的数目一般称为体系的自由度。,例题一 任意态求 态中 的可能值、概率及 。解法一 可以看出 是 的共同本征函数所组成，列表对应求解：,解法二 由 得由 正交归一性得,例题二 在对某一状态进行测量时，同时得到能量能唯一确定这一状态吗？解：能。因为三个力学量对易， 故共同本征态为,例题三 求粒子处于 时角动量 分量和 分量的平均值 。解：首先应注意， 是 的共同本征函数，而不对易，故 不是 的本征函数。利用对易关系 ，则,同理 由于坐标 与 的对称性，可得 ，故3 不确定关系若算符 和 不对易时，常记为
7、是一个力学量算符或普通的数。首先定义,（29）,（30）,（31）,注意， 仍为厄米算符，若巧妙设计积分利用 的厄米性，可推出(课本p91)最后得出不确定关系(代数中二次式理论) 不确定关系,（32）,（33）,（34）,（35）,两个力学量不对易时，导致两力学量不能同时有确定值,或者说，它们不能有共同本征函数。对不确定关系 应着重掌握其物理意义例如 所以可见，若动量确定， ；则 ，即位置 完全不确定。试想，动量为 的自由粒子以波长 的状态（平面波）弥散于空间时，你能说出粒子的确定位置吗？,或,（36）,反之，根据函数的性质，坐标本征函数可写为即位于 点的波（粒子）是许多不同波长（动量）的平面 波的叠加，你能说出该波的波长（粒子的动量）是多少吗？ 总之，不确定关系所揭示的是量子力学规律的特点，是粒子 具有波动性的必然结果。应用不确定关系估算一些力学量的 不确定范围可参见教材。,（37）,例题4 一维运动的粒子处在求解：归一化后可得 利用 有,所以,所以,满足不确定关系,作业:3.11、13,
