1、5.4 刚体定轴转动中的功和能,在刚体转动中，如果力矩的作用使刚体发生了角位移，那么该力矩也作了功 。,假设作用于以 z 轴为转轴的刚体上的N个外力分别是：,一、力矩的功,在刚体转动中，外力 所作的元功为：,在刚体转动中，外力 所作的元功为：,因为 dsi = ri d，并且 cosi = sini ，所以：,式中Mzi 是外力Fi 对转轴Oz的力矩。,式中Mzi 是外力Fi 对转轴Oz的力矩。,在整个刚体转过d 角的过程中，N 个外力所作的总功为：,刚体绕定轴转动时，力矩对转动物体作的功，等于相应力矩和角位移的乘积。,（力矩的功并不是新概念，只是力的功的另一种表达形式。）,注意：式中的 Mz
2、 是指作用在绕定轴转动刚体上各 外力矩的合力矩，即为合外力矩。,如果刚体在力矩Mz 的作用下绕固定轴从位置1转到2 ，在此过程中力矩所作的功为：,力矩的功率：,可见，力矩的功率等于力矩与角速度的乘积。,1、定义： 单位时间内力矩对刚体所作的功。,2、公式：,功率一定时，转速越大，力矩越小；转速越小，力矩越大。,表示力矩对刚体作功的快慢。,设系统包括有 N 个质量元，,刚体定轴转动的总动能为：,二、刚体的转动动能,（刚体上所有质元的动能之和。）,各质量元速度不同， 但角速度相同。,三、刚体绕定轴转动的动能定理,合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功，等于刚体转动动能的增量。,刚 体：各质量元间无相对
3、位移，所以内力矩不做功。,质点系：外力和内力的功对质点系的动能变化均有影响。,刚体的重力势能，可看作是刚体质量全部集中在其质心处，按质心的重力势能来计算。,刚体重力势能为：,刚体的动能：,刚体的重力势能：,刚体的机械能：,刚体的机械能守恒：,质心的势能,对于含有刚体的系统，如果在运动过程中只有保守内力作功，则此系统的机械能守恒。,例1：一根长为 l ，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平面内转动，初始时它在水平位置。求：它由此位置下摆 角时的角速度。,解：,由动能定理：,另解：对杆、地球组成的系统，,由机械能守恒定律：,*例1：一根长为 l ，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在
4、竖直平面内转动，初始时它在水平位置。求：它由此位置下摆 角时的角速度。,此题也可用机械能守恒定律方便求解。,解： 1）由转动定律：,2）由动能定理：,例2：转动惯量为 J 的圆盘绕定轴转动，初始角速度为 。设它所受的阻力矩为 ，K为正常数 ，求：1）它的角速度从 变到 所需的时间； 2）在上述过程中阻力矩所做的功。,例3： 一质量为 、半径为 R 的圆盘，可绕一垂直通过盘心的无摩擦的水平轴转动。圆盘上绕有轻绳，一端挂质量为m 的物体。问：物体由静止下落高度 h 时，其速度的大小为多少？设绳的质量忽略不计。,和 、 分别为圆盘终了和起始时的角坐标和角速度。,解：拉力 对圆盘做功，由刚体绕定轴转动
5、的动能定理可得，拉力 的力矩所作的功为：,物体由静止开始下落,解得：,并考虑到圆盘的转动惯量,由质点动能定理：,另解：据机械能守恒定律：,*例 3 一质量为 、半径为 R 的圆盘，可绕一垂直通过盘心的无摩擦的水平轴转动。圆盘上绕有轻绳，一端挂质量为m 的物体。问物体在静止下落高度 h 时，其速度的大小为多少？设绳的质量忽略不计。,例4 一长为 l ，质量为 的竿可绕支点O自由转动。一质量为 、速率为 的子弹射入杆内距支点为 处，使杆的偏转角为30 。 求：子弹的初速率为多少 ?,解：把子弹和杆看作一个系统。子弹射入杆的过程系统角动量守恒。,射入杆后，以子弹、细杆和 地球为系统 ，机械能守恒。,例5: 质量为m1的小球与质量为m2长为2 l 的棒作完全弹性碰撞，棒可绕通过中心的轴转动。求： 球的反弹速度和棒的角速度。,解：小球的重力与冲击力相比可忽略，,设小球反弹速度为v , 棒的角速度为,弹性碰撞:,解得:,
