1、第四章 几种重要的分布,在这一章中，我们将从分布列（或概率密度）、概率背景、数字特征等方面集中讨论一些重要的随机变量的分布。,一、常见的离散型随机变量的概率分布,（一）01分布,1、概率函数,2、数学期望和方差,3、概率背景,设随机试验 E 只有两种可能结果：A和 ，且P(A)=p (0p1)， 。用 表示一次试验中A发生的次数，则 服从参数为 p 的01分布。,例如：掷骰子：“掷出4点”，“未掷出4点”,新生儿：“是男孩”，“是女孩”,抽验产品：“是正品”，“是次品”,（二）二项分布,1、概率函数,2、概率背景,若随机变量 的概率函数为其中0p1，则称 服从参数为n，p的二项分布，记为 。,
2、用 表示 n 重伯努利试验中事件A发生的次数，且P(A)=p (0p1)，则 服从参数为n，p 的二项分布，即 。,例1、 设生男孩的概率为 p ，生女孩的概率为 q =1-p，令 表示随机抽查出生的4个婴儿中“男孩”的个数.,B (4，p),解：,概率函数为,解：,例2、将一枚均匀骰子抛掷3次， 令 表示3次中出现“4”点的次数。,B (3，1/6),概率函数为,例3、 某类灯泡使用时数在2000小时以上视为正品.已知有一大批这类的灯泡,其次品率是0.2。随机抽出20只灯泡做寿命试验,求这20只灯泡中至多有3只是次品的概率.,解: 设 为20只灯泡中次品的个数 ,则., B (20, 0.2
3、),所以,特别地，当二项分布B (n, p)的参数n=1时，B (1, p)就是参数为p的01分布。,说明,设试验E只有两个结果：A和 . 记P(A)=p,则P( )= 1- p , 0p1, B (n, p), B (1, p),我们把试验E在相同条件下,相互独立地进行n次,且记 为n次独立试验中事件A发生的次数. 为第 i 次实验中事件A发生次数。则相互独立，且,下面我们考虑二者之间的关系,一个服从二项分布B(n, p)的r.v.总可以写成n个相互独立且服从同一个01分布B(1, p)的r.v.之和,3、二项分布的期望和方差,方法一：,同理可求得,故,方法二,因为一个服从二项分布B(n,
4、p)的r.v.总可以写成n个相互独立且服从同一个01分布B(1, p)的r.v.之和。即,且,4、二项分布的最可能值,设 B (n, p)，使概率P =k 取最大值的k，记作 ，称为二项分布的最可能取值。并且,np+p的最大整数部分,证明：,例4、 设每发子弹打中飞机的概率为0.01，问500发子弹击中飞机最可能次数为多少？并求其相应概率。,B(500,0.01),解：设500发子弹击中飞机的次数为 ，则,np+p=5000.01+0.01=5.01,所以，最可能取值,=5.01=5,例5、 课本82页例4。,（三）超几何分布,1、概率背景,设箱中有N个球，其中N1个白球，N2个黑球（N1N2
5、N）。现从中不放回（即不重复）地抽取n个球，令 表示这n个球中白球（或黑球）的个数，则 服从超几何分布。,抽球问题或产品检验问题,2、超几何分布的概率函数,3、超几何分布的期望和方差,例6、 一个袋子中有5个红球3个白球，从中任取4球（无放回），若 表示取到的红球数，则 服从 分布， 的概率函数为。,如果是从中有放回地取4球，则 服从分布， 的概率函数为 。,超几何,二项,4、超几何分布与二项分布的关系,当 时，超几何分布以二项分布为极限。即,其中,例7、 一大批种子的发芽率为90，今从中任取10粒，求播种后： （1）恰有8粒种子发芽的概率； （2）不少于8粒种子发芽的概率。,解:,设 表示1
6、0粒种子中发芽的种子数,则:,由于种子数很大：“一大批”，而选取数目为10，相对较小，于是近似地,所求为:,服从超几何分布。,B(10, 0.9)。,（1）P =8C810 (0.9)8(0.1)2 =0.1937,（2）P ,(四) 泊松分布,1、概率函数,2、概率背景,泊松分布常见于所谓稠密性的问题中。,例如：一段时间内，,车站来候车的旅客数；,原子放射粒子数；,用户对电话交换台的呼叫次数；,织布机上断头的次数。,零件铸造表面上砂眼的个数；,又例如：一定面积内,耕地上杂草的数目等。,3、泊松分布的期望和方差,同理求得,所以,解:,例8、某一无线寻呼台,每分钟收到寻呼的次 数 服从参数=3的
7、泊松分布. 求:(1)一分钟内恰好收到3次寻呼的概率. (2)一分钟内收到2至5次寻呼的概率.,(1) P =3 =(33/3!)e-30.2240,解:,例8、某一城市每天发生火灾的次数 服从参数泊松分布,且平均每天发生火灾0.8次. 求:该城市一天内发生3次以上火灾的概率.,P 3=1- P 3 =1-P =0+ P =1+P =2 =1-(0.8 0/0!)+(0.81/1!)+(0.82/2!)e-0.8 0.0474,P(0.8),历史上，泊松分布是作为二项分布的近似，于1837年由法国数学家泊松引入的 .,4、泊松分布与二项分布的关系,命题,对于二项分布B(n, p),当n充分大,
8、p又很小（实际应用中一般n100 , p0.1）时,则对任意固定的非负整数k,有近似公式,即二项分布B(n, p)可由泊松分布P(np)近似.,由泊松定理，n重贝努里试验中稀有事件出现的次数近似地服从泊松分布.,我们把在每次试验中出现概率很小的事件称作稀有事件. 如地震、火山爆发、特大洪水、意外事故等等,解:,例9、某出租汽车公司共有出租车400辆,设每天每辆出租车出现故障的概率为0.02, 求:一天内没有出租车出现故障的概率.,设 表示一天内出现故障的出租车数,则: B (400, 0.02).,令=np=4000.02=8, 于是近似地P(8)。,所求为: P =0=b(0;400,0.02) (80/0!)e-8 =0.0003355,
