1、1,第4章 根轨迹法,引言 根 系统特征方程的根，即系统的闭环极点。系统闭环极点对系统特性起着决定性作用：(1) 决定系统的稳定性(2) 决定系统瞬态响应的模式及性能指标（单极点响应、共轭极点响应）,2,闭环极点的位置决定系统瞬态响应各分量的模式： 若极点是在左半S平面,则对应的响应各分量是 收敛的; 若极点是在负实轴上, 则对应的响应分量是指数衰减的; 若极点是左半S平面的复共轭极点对, 则对应的响应分量是衰减振荡的。,3,1948年，伊文思（W.R.Evans）提出了根轨迹法。根轨迹法是一种基于 S 域的一种图解分析法，它是在系统的开环零、极点分布基础上，用作图的方法简便地确定系统的闭环极
2、点及其变化轨迹，进而对系统的特性进行定性分析和定量计算。,4,本章讨论: 根轨迹方程 绘根轨迹的依据 常规根轨迹的绘制规则 特殊根轨迹的绘制 用根轨迹法分析系统的动态特性 用MATLAB绘制系统的根轨迹,5,4.1-1 什么是根轨迹 系统开环传递函数的某一个参数从零变化到 无穷大时，闭环系统特征方程的根在 S 平面上 的变化轨迹。,4.1 根轨迹法的基本概念,6,研究开环放大系数K与闭环特征根的关系,7,当取不同K值时，算得闭环特征根如下：,8,K由0变化时，闭环特征根在S平面上移动的轨迹如下图所示，这就是该系统的根轨迹。,根轨迹决定的响应模式：过阻尼、临界阻尼、欠阻尼,9,4.1-2 根轨迹
3、方程 （绘制根轨迹图的依据）,系统的开环传递函数：,系统的闭环传递函数：,系统的特征方程：,10,本教材采用的符号形式,11,该方程的解即为闭环特征根，当Kg在可能范围连续变化时，特征根变化形成轨迹，因此该式又称为根轨迹方程。,此方程也揭示了闭环传递函数极点（即闭环极点）与开环传递函数极点、零点的联系。,12,由于S是复变量：,此方程是一个复方程，可表示成幅值和辐角的形式。根轨迹方程又可分别表示成幅值（条件）方程和辐角（条件）方程。,13,或表示为：,14, 同时满足幅值条件和辐角条件的s，就是特征方程式的 根，也就是闭环极点。 根轨迹上的任一点，同时满足幅值条件和辐角条件。,15,例1：某系
4、统开环传递函数有1个零点，4个极点（m=1,n=4 ），S平面上某试验点对应的各矢量幅值和相角关系如图所示。,图（a）、图（b）各矢量幅值和相角关系都满足幅值方程和相角方程,16,例2,已知系统的开环传递函数：,试证明复平面上点 是该系统的闭环极点（是根轨迹上的点）。,若s1、s2 是系统的闭环极点，,解： 该系统的开环极点:,则 s1、s2 应满足相角方程.,无开环零点。,17,以 为试验点，观察图2，可得,图2,（k=-1),(k=0),以 为试验点，可得,2,2,由于 都满足相角条件， 所以， 点是闭环极点（根轨迹上的点）。,18,19,4.2 根轨迹的绘制法则,4.2.1 绘制根轨迹的
5、一般法则,根轨迹方程,20,绘制根轨迹的一般法则,1. 根轨迹关于实轴对称,2. 根轨迹始于开环极点, 终于开环零点, 分支数为n.,3. 实轴上的根轨迹,4 分离点和会合点,5 根轨迹的渐近线,6. 根轨迹的起始角与终止角（出射角与入射角）,7 根轨迹与虚轴的交点,21,1. 根轨迹关于实轴对称 特征方程是关于变量S的实系数代数方程,它的根是实根或共轭复根，因此根轨迹必然关于实轴对称.,22,2. 根轨迹始于开环极点, 终于开环零点, 分支数为n. 根轨迹起点条件: Kg = 0,说明当 Kg = 0时，闭环极点就是开环极点， 因此根轨迹始于各开环极点。,等效为：,Kg = 0 时， 闭环系
6、统特征方程,23,根轨迹终点条件: Kg = 当 Kg =时，闭环系统的特征方程式等效为可见，当 Kg=时，闭环极点就是开环有限零点。 说明根轨迹的终点是开环传递函数的各个零点-zi 。物理可实现系统: n m . 当n = m时, 根轨迹有n 个起点,n个终点,根轨迹有n条. 当n m时, 根轨迹有n 个起点,有m个终点在开环零点,另 外(n-m)个终点在S平面无限远处零点.根轨迹仍然为n条.,24,3. 实轴上的根轨迹,判断准则: 若实轴上某点右侧线段的开环零、极点的个数之和为奇数，则该线段是实轴上的根轨迹。否则该线段不是根轨迹。,用相角条件证明这个规则，基于以下事实：, 复平面上的所有零
7、、极点是共轭的，它们到实轴上根轨迹（任意试验点）的矢量辐角之和总为零。 根轨迹（任意试验点）左侧的实数零、极点到根轨迹的矢量 辐角总为零； 根轨迹（任意试验点）右侧的实数零点、极点到根轨迹的矢 量辐角均为180。,25,证明：设实轴上根轨迹右侧的开环有限零点数目为Nz， 实轴上根轨迹右侧的开环极点数目为Np，由辐角条件:整理得 所以，实轴上存在根轨迹的条件应满足,即实轴上根轨迹右侧的开环零、极点的个数之和为奇数.,26,例: 已知实轴上的根轨迹如图所示对于根轨迹A，Nz+Np=1, ( Np=1，Nz=0 ) ；对根轨迹B，Nz+Np=3；对根轨迹C，Nz+Np=5。它们都是奇数。,27,4分
8、离点和会合点 两条或两条以上的根轨迹分支在 s 平面上相遇又立即分 开的点称为分离点（或会合点）。,实轴上根轨迹的分离点,复平面上的分离点,分离点表示特征方程式出现重根,28,实轴上分离点(会合点)的判断: 1. 若根轨迹位于实轴上两个相邻的开环极点之间，则在这 两个极点之间至少存在一个分离点； 2. 若根轨迹位于实轴上两个相邻的开环零点之间（其中一个可以是无限零点），则在这两个零点之间也至少有一个会合点。 3. 若根轨迹位于实轴上一个开环零点和一个开环极点之间，则在这两个点之间不存在分离点或会合点,或既存在一个分离点又存在一个会合点。,29,分离点（会合点）位置的计算： 产生分离点（会合点）
9、的实质是：特征方程在一定K下出现重根。分离点与会合点必须满足方程: 并由此可以计算分离点（会合点）的位置。,30,31,分离点的坐标d可由下面方程求得：,32,5根轨迹的渐近线 研究根轨迹是按什么走向趋向无穷远 当开环极点数n大于开环零点数m时，系统有n-m条根轨迹终止于S平面的无穷远处，这n-m条根轨迹变化趋向的直线为根轨迹的渐近线，因此，浙近线也有n-m条，且它们交于实轴上的一点。渐近线与实轴的交点位置 和与实轴正方向的交角(渐进线倾角) 分别为: （Pj是极点）,33,例 已知系统的开环传递函数为: 试画出该系统根轨迹的渐近线。,解 对于该系统有n=4，m=1，n-m=3；三条渐近线与实
10、轴交点位置为: 它们与实轴正方向的交角分别是: 渐近线如图所示:,34,35,6. 根轨迹的起始角与终止角（出射角与入射角） 当开环传递函数中有复数极点或零点时，根轨迹是沿着什么方向离开开环复数极点或进入开环复数零点的呢？这就是所谓的起始角和终止角问题。确定起始角（终止角）的依据 根轨迹的幅角条件 起始角 (出射角)根轨迹离开开环复数极点处切线方向与实轴正方向的 夹角。,起始角计算公式（第K个极点的出射角）:,36,终止角计算公式（第K个零点的入射角）:,例,设系统开环传递函数,试绘制系统概略根轨迹。,37,解：将开环零、极点画在图412的根平面上，逐步画图：,1、两个开环极点、两个开环零点, n=2，有两条根轨迹。,2、两条根轨迹分别 起始于开环极点：(-1-j2), (-1+j2) 终止于开环零点：(-2-j) ,(-2+j),图412,38,图413,3、确定起始角、终止角计算（如图所示）,39,40,41,7根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴相交时，特征方程式的根s=j，此时系统处于临界稳定状态，令此时的 Kg=Kl。由此可计算对应的临界放大系数Kl值。 确定交点的方法： 方法一：把 s=j代入特征方程式计算。 方法二：利用劳斯判据。,42,43,44,45,
