1、第五讲 函数的定义域与值域(最值),1.函数的定义域 函数的定义域是指使函数有意义的_的取值范围. 注意:(1)确定函数定义域的原则: 当函数y=f(x)用表格给出时,函数的定义域是指表格中实数x的集合; 当函数y=f(x)用图象给出时,函数的定义域是指图象在x轴上投影所覆盖的实数的集合; 当函数y=f(x)用解析式给出时,函数的定义域是指使解析式有意义的实数的集合;,自变量,走进高考第一关 基础关,教 材 回 归,当函数y=f(x)由实际问题给出时,函数的定义域由实际问题的意义确定.,(2)定义域可分为自然定义域与限定定义域两类:如果只给函数解析式(不注明定义域),其定义域应为使解析式有意义
2、的自变量的取值范围,称为自然定义域; 如果函数受应用条件或附加条件制约,其定义域称为限定定义域. (3)复合函数定义域的求法: 若已知函数f(x)的定义域为a,b,其复合函数fg(x)的定义域应由不等式ag(x)b解出.,2. 函数的值域 在函数y=f(x)中,与自变量x的值相对应的y的值叫函数值,_的集合叫做函数的值域. 注意:确定函数的值域的原则 当函数y=f(x)用表格给出时,函数的值域是指表格中实数y的集合; 当函数y=f(x)用图象给出时,函数的值域是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合;,函数值,当函数y=f(x)用解析式给出时,函数的值域由函数的定义域及其对应关系唯一确定;
3、当函数由实际问题给出时,函数的值域由问题的实际意义确定.,1.函数f(x)= +lg(3x+1)的定义域是( ),答案:B,考 点 陪 练,2.函数y=x2-2x的定义域为0,1,2,3,那么其值域为( ) A. -1,0,3 B. 0,1,2,3 C. y|-1y3 D. y|0y3,答案:A,3.如果函数y=f(4x-3)的定义域是 ,则函数f(x)的定义域是( ),答案:B,(-1,1,5.函数y=f(x)的值域是 ,则函数y=f(x-2)的值域是_.,解读高考第二关 热点关,类型一:函数的定义域 解题准备:(1)已知解析式求定义域的问题,应根据解析式中各部分的要求,首先列出自变量应满足
4、的不等式或不等式组,然后解这个不等式或不等式组,解答过程要注意考虑全面,最后定义域必须写成集合或区间的形式;,(2)确定函数的定义域 当f(x)是整式时,其定义域为R. 当f(x)是分式时,其定义域是使得分母不为0的实数的集合. 当f(x)是偶次根式时,其定义域是使得根号内的式子大于或等于0的实数的集合. 对于x0,x不能为0,因为00无意义.,f(x)=tanx的定义域为 f(x)=logax(a0,且a1)的定义域为x|x0. 由实际问题确定的函数,其定义域要受实际问题的约束,要具体问题具体分析.,分段函数的定义域是各段中自变量取值范围的并集. 抽象函数f(2x+1)的定义域为(0,1),
5、是指x(0,1)而非02x+11;已知函数f(x)的定义域为(0,1),求f(2x+1)的定义域时,应由02x+11得出x的范围即为所求.,典例1求函数f(x)= 的定义域.只需要使解析式有意义,列不等式组求解.要使函数有意义,则只需要: 即, 解得-3x0或2x3. 故函数的定义域是(-3,0)(2,3).,类型二:复合函数的定义域 解题准备:1.已知f 的定义域为x(a,b),求f(x)的定义域,其方法是:利用axb,求得g(x)的范围,此即为f(x)的定义域.,2.已知f(x)的定义域为x(a,b),求f 的定义域,其方法是:利用ag(x)b,求得x的范围,此即为f 的定义域. 定义域经
6、常作为基本条件出现在试题中,具有一定的隐蔽性.所以在解决函数问题时,必须按照“定义域优先”的原则,通过分析定义域来帮助解决问题.,典例2(1)已知函数f(x)的定义域为 ,求下列函数的定义域:f(x2);f( -1). (2)已知函数f 的定义域是 ,则函数f(2x)的定义域为_. 分析 根据复合函数定义域的含义求解.,解 (1)f(x)的定义域是 ,要使f(x2)有意义,必有0x21,解得-1x1.f(x2)的定义域为 . 由0 -11得1 2. 1x4(x0时, 才有意义) 函数f( -1)的定义域为 (2)f 的定义域为 , 0x9,1x+110,0lg(x+1)1 f(x)的定义域为
7、.由02x1,解得x0. f(2x)的定义域为(-,0.,类型三:函数的值域 解题准备:(1)要记住各种基本函数的值域;要记住具有什么结构特点的函数用什么样的方法求值域. (2)对各种求函数值域的方法要熟悉,遇到求值域的问题,应注意选择最优解法. (3)求函数的值域,不但要重视对应法则的作用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用. (4)函数的值域常常化归为求函数的最值问题,要重视函数单调性在确定函数最值过程中的应用.,典例3求下列函数的值域:,本题主要考查函数值域问题,考查运算能力数形转化的思想,对于(1),利用换元法转化为二次函数的值域问题;对于(2),利用基本不等式或利用函数的单调性求解
8、;对于(3),由函数的有界性或由几何法求解;对于(4),用求导数法求解.,当x1x2-2或2x1x2时,f(x)递增,当-2x0或0x2时,f(x)递减.故x=-2时,f(x)极大=f(-2)=-4,x=2时,f(x)极小=f(2)=4,所求函数的值域为(-,-4,性,法二:数形结合法或图象法. 原函数式可化为 此式可以看作点(2,0)和(cosx,-sinx)连线的斜率,而点(cosx,-sinx)的轨迹方程为x2+y2=1,如图所示,在坐标系中作出圆x2+y2=1和点(2,0). 由图可看出,当过(2,0)的直线与圆相切时,斜率分别取得最大值和最小值,由直线与圆的位置关系知识,评析 第(1
9、)小题利用换元法易忽视t0的条件,第(2)小题利用基本不等式时易漏掉对x0的讨论.,【探究1】 求下列函数的值域.,(1)y=3x2-x+2=3 + , 对称轴x= ,函数在x= 处取得最小值.即ymin= .结合函数的单调性知函数在x=3处取得最大值,即ymax=26.函数的值域为【 ，26】， 故函数有最大值1,无最小值,其值域为(-,1.,对于(1)利用二次函数在确定区间单调性求解或利用在区间的图象判别. 对于(2)利用换元法转化为二次函数的值域问题,还可以通过单调性求解. 对于(3)利用指数函数性质求得(2x0).,解：,类型四:函数的最值 解题准备:(1)若函数是二次函数或可化为二次
10、函数型的函数,常用配方法. (2)利用函数的单调性求最值:先判断函数在给定区间上的单调性,然后利用单调性求最值. (3)基本不等式法:当函数是分式形式且分子分母不同次时常用此法.,(4)导数法:当函数较复杂(如指对数函数与多项式结合)时,一般采用此法. (5)数形结合法:画出函数图象,找出坐标的范围或分析条件的几何意义,在图上找其变化范围.,典例4已知函数f(x)= ,x （1）当a=4时，求f(x)的最小值； （2）当a= 时,求f(x)的最小值; (3)若a为正常数,求f(x)的最小值.,分析 在解决该类型函数的最值时,首先考虑到应用均值不等式求解,但须逐一验证应用均值不等式所具备的条件.
11、若条件不具备,应从函数单调性的角度考虑.,探究2 已知函数f(x)=kx+b的图象与xy轴分别相交于AB, =2i+2j(ij分别是与xy轴正半轴同方向的单位向量),函数g(x)=x2-x-6. (1)求kb的值; (2)当x满足f(x)g(x)时,求函数 的最小值.,+,误区一:应用题中函数的定义域不考虑实际意义 典例1如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点P在AD上移动,BQCQ,Q为垂足,设BP=x,CQ=y,试求y关于x的函数关系式.,笑对高考第三关 成熟关,名 师 纠 错,【剖析】错解中对函数的定义域只考虑了函数式本身的要求,没有考虑x的实际意义.,误区二:求函数值域不考虑定
12、义域 典例2求函数f(x)= 的值域.,【剖析】错解在求解时没有考虑函数的定义域且化简过程不等价,所以出现错误.,【评析】处理函数问题时,必须树立定义域优先考虑的意识.,典例:f(x)是定义在R上的奇函数,且满足下列条件:(1)x,yR,有f(x+y)=f(x)+f(y); (2)当x0时,f(x)0,且f(1)=-2. 求函数f(x)在 上的最大最小值.,快 速 解 题,解题插入点 f(x)是奇函数,已知x0,f(x)0,于是f(x)是减函数,要由题设证明它是减函数.,【分析思维过程】 f(x)是奇函数,若能证明它是减函数,由f(1)求出f(3),就可求出f(x)的最值.证其增减性.只有利用
13、单调性的定义,由x1f(x2).需用条件x0时,f(x)0,故f(x2-x1)0.,【解】 由(1)知,f(x2)=f =f(x2-x1)+f(x1). 即f(x2)-f(x1)=f(x2-x1). 若0x10,由(2)知f(x2-x1)0. 故f(x2)-f(x1)0,即f(x2)f(x1),从而函数f(x)在区间 上是减函数.,又因为f(x2)是R上面的奇函数，故f(x)在 上也是减函数 f(x)是R上的减函数. f(x)max=f(-3)=-f(3)=-f(2+1)=-f(2)-f(1) =-f(1+1)-f(1)=-f(1)-f(1)-f(1) =-3f(1) =-3(-2)=6. f
14、(x)min=f(3)=-6. f(x)在区间 上的最大值为6,最小值为-6.,作为高考题,就此题的难度而言,一般不会以解答题的形式出现,若为选择题或填空题,解法则特别简单.,【快解】 f(x)=-2x满足题设条件,故f(x)max=f(-3)=6,f(x)min=f(3)=-6.,【方法与技巧】 证明f(x)是减函数时,用到了x2=x2-x1+x1,则出现了f(x2)f(x1)f(x2-x1),由f(x2-x1)0可知f(x2)-f(x1)0,得证.在求f(3)时,注意运用条件f(x+y)=f(x)+f(y). 抽象函数可以找到基本初等函数模型,求解就容易多了.本题函数f(x)显然是正比例函
15、数y=-2x.作为选择题或填空题,找到模型后直接代入即可.,1.求函数的定义域,其实质就是以函数解析式所含运算可以施行为准则,列出不等式或不等式组,然后求出它们的解集,其准则一般是: 分式中,分母不为零; 偶次方根中,被开方数非负; 对于y=x0,要求x0; 对数式中,真数大于0,底数大于0且不等于1; 由实际问题确定的函数,其定义域要受实际问题的约束.如果已知函数是由两个以上数学式子的和差积商的形式构成时,定义域是使各部分有意义的公共部分的集合.,解 题 策 略,(1)所谓抽象函数是指用f(x),g(x)或F(x),G(x)等表示的函数,而没有具体解析式的函数类型. (2)已知函数f(x)的
16、定义域为 ,则函数f 的定义域是指满足不等式ag(x)b的x的取值范围;一般地,若函数f 的定义域是 ,指的是x ,要求f(x)的定义域就是求x 时g(x)的值域.,(3)换元法 利用代数或三角换元,将所给函数转化成易求值域的函数, 形如y=ax+b (a,b,c,d均为常数,ac0)的函数,令 =t;形如含 的结构的函数,可利用三角代换,令x=acos, 或令x=asin, .,2. 求函数值域(最值)的常用方法: (1)基本函数法 对于基本函数的值域可通过它的图象性质直接求解. (2)配方法 对于形如y=ax2+bx+c(a0)或F(x)= (a0)类的函数的值域问题,均可用配方法求解.,
17、(4)不等式法 利用基本不等式:a+b2 ,用此法求函数值域时,要注意条件“一正二定三相等”.如利用a+b2 求某些函数值域(或最值)时应满足三个条件:a0,b0;a+b(或ab)为定值;取等号条件a=b.三个条件缺一不可.,(5)函数的单调性法 确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性求出函数的值域,例如,f(x)=ax+ (a0,b0).当利用不等式法等号不能成立时,可考虑用函数的单调性.,（对勾函数型）,(6)数形结合法 如果所给函数有较明显的几何意义,可借助几何法求函数的值域,形如: 可联想两点(x1,y1)与(x2,y2)连线的斜率.,(7)函数的有界性法 形如y= ,可用y表示出sinx,再根据-1sinx1,解关于y的不等式,可求y的值的范围.,(8)导数法 设y=f(x)的导数为f(x),由f(x)=0求得极值点坐标,若函数定义域为 ,则最值必定为极值和区间端点中函数值的最大值和最小值.,
