1、4.2 幂级数,1、幂级数的敛散性 2、幂级数的收敛半径的求法 3、幂级数的和函数的解析性 4、例题 5、小结,1 幂级数的定义：,形式的复函数项级数称为幂级数,其中 c0,c1,c2 ,a都是复常数.,幂级数是最简单的解析函数项级数,为了搞清楚它的敛散性,先建立以下的阿贝尔(Abel)定理.,1、幂级数的敛散性,具有,若令a=0则以上幂级数还可以写成如下形式,定理4.10：如果幂级数(4.3)在某点z1(a)收敛,则它必在圆K:|z-a|z1-z|(即以a为圆心圆周通过z1的圆)内绝对收敛且内闭一致收敛.,证:设z是所述圆内任意点.因为,(n=0,1,2,),注意到|z-a|z1-a|, 故
2、级数,a,收敛,它的各项必然有界,即有正数M,使,收敛,其次,对K内任一闭圆,在圆K上有收敛的优级数,因而它在K上一致收敛.再由定理4.8,此级数 必在圆K内内闭一致收敛.,在圆K内绝对收敛.,上的一切点来说,有:,a,推论4.11 若幂级数(4.3)在某点z2(a)发散,则它在以a为圆心并且通过点z2的圆周外部发散.,a,z1,z2,其敛散性有以下三种情况:,(1) 对所有的复数z都收敛.,由阿贝尔定理知:,级数在复平面内处处绝对收敛.,2.幂级数的敛散性讨论,对于一个幂级数, 首先它在z=a点处总是收敛的，,例如, 级数,对任意固定的z,从某个n开始,总有,于是有,故该级数对任意的z均收敛
3、.,(2) 除 z=a 外都发散.,此时, 级数在复平面内除原点外处处发散.,例如,级数,通项不趋于零,故级数发散.,(3)存在一点z1a,使级数收敛(此时,根据定理4.10的第一部分知,它必在圆周|z-a|=|z1-a|内部绝对收敛),另外又存在一点z2,使级数发散.根据推论4.11知,它必在圆周|z-a|=|z2-a|外部发散,.,.,收敛圆,收敛半径,收敛圆周,定理4.12 如果幂级数(4.3)的系数cn合于,或,或,2、幂级数的收敛半径的求法,则幂级数 的收敛半径为:,R=,1/l (l0,l+) 0 (l=+); + (l=0).,(4.4),定理4.13 (1) 幂级数,(4.5)
4、,的和函数f(z)在其收敛圆K:|z-a|R(0R+)内解析.,3、 幂级数的和函数的解析性,(2)在K内,幂级数(4.5)可以逐项求导至任意阶,即：,(p=1,2,) (4.6),(3) (p=0,1,2,). (4.7),4、典型例题,例1 求幂级数,的收敛范围与和函数.,解,级数的部分和为,级数,收敛,级数,发散.,且有,在此圆域内, 级数绝对收敛, 收敛半径为1,或,因为,所以收敛半径,所以原级数在收敛圆上是处处收敛的.,级数,说明：在收敛圆周上既有级数的收敛点, 也有级数的发散点.,原级数成为,交错级数,收敛.,发散.,原级数成为,调和级数，,(2),故收敛半径,解,解,所以,解,代数变形 , 使其分母中出现,凑出,级数收敛,且其和为,解,利用逐项积分,得:,所以,解,例8 计算,解,5、小结与思考,这节课我们学习了幂级数的概念和阿贝尔定 理等内容，应掌握幂级数收敛半径的求法和幂级 数的运算性质.,思考题,幂级数在收敛圆周上的敛散性如何断定?,
