1、1.2 导数的计算 1.2.1 几种常用函数的导数及导数的运算法则,自学导引 (学生用书P11),1.能根据导数的定义,会求函数2.能利用给出的基本初等函数的导数公式及导数的运算法则求简单函数的导数.,课前热身 (学生用书P11),1.基本初等函数的导数公式,0,nxn-1,cosx,-sinx,axlna(a0),ex,2.导数的运算法则 (1)f(x)g(x)=_; (2)f(x)g(x)=_;,f(x)g(x),f(x)g(x)+f(x)g(x),名师讲解 (学生用书P11),1.有理数幂函数的导数(xn)=nxn-1(n为有理数),应注意其特点 (1)y=xn中,x为自变量,n为常数.
2、 (2)它的导数等于幂指数n与自变量x的(n-1)次幂的乘积. (3)公式中nQ,但对于nR公式也成立. (4)特别注意n为负数或分数时,求导不要搞错.如,2.两函数和差的求导法则的推广 (1)f(x)g(x)=f(x)g(x) 此法则可以推广到有限个可导函数的情形.f1(x)f2(x)fn(x)=f1(x)f2(x)fn(x). (2)af(x)bg(x)=af(x)bg(x)(a,b为常数).,4.求导运算的技巧 在求导数中,有些函数表示形式很复杂,直接求导比较困难,但经过化简整理,有可能很简单,这时再求导可能很简便,也就是说,先把复杂式子化简后再求导,减少运算量.,典例剖析 (学生用书P
3、11),题型一 求导函数,例1:求下列函数的导数.,分析:这三个小题都可归为xn类,用公式(xn)=nxn-1完成.,变式训练1:求下列函数的导数. (1)f(x)=10x;(2)f(x)=log2x;(3)g(t)=et.,解:(1)f(x)=(10x)=10xln10. (2)f(x)=(log2x)= . (3)g(t)=(et)=et.,题型二 求函数在某点处的导数,例2:(1)求函数y=ax,在点P(3,f(3)处的导数; (2)求函数y=lnx在点Q(5,ln5)处的导数.,分析:先按求导公式求出导函数,再求导函数在相应点的函数值.,解:(1)y=ax, y=(ax)=axlna,
4、 则y|x=3=a3lna.,规律技巧:求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数,一般过程是:先求导函数;把定点的横坐标代入导函数求出导数值.,题型三 利用运算法则求导数,分析:对于(1)(2)可以利用公式直接求导,(3)(4)先化简再求导.,解:(1)y=(x2 sinx+cosx) =(x2 sinx)+(cosx) =2x sinx+x2cosx- sinx =(2x-1) sinx+x2cosx.,(3)f(x)=(x3+1)(2x2+8x-5) =2x5+8x4-5x3+2x2+8x-5 f(x)=(2x5+8x4-5x3+2x2+8x-5) =10x4+32x3-15x2+4x+8.
5、,规律技巧:运用求导法则和导数公式求可导函数的导数,一定要先分析函数y=f(x)的结构特征,对于直接求导很繁琐的,一定要先化简,再求导.,题型四 求切线方程 例4:求过点(1,-1)的曲线y=x3-2x的切线方程. 分析:点(1,-1)虽然在曲线上,但它不一定是切点,故应先求切点.,规律技巧:(1)在求曲线的切线方程时,注意两个“说法”:求曲线在点P处的切线方程和求曲线过点P的切线方程.在点P处的切线,一定是以点P为切点,过点P的切线, 不论点P在不在曲线上,点P不一定是切点. (2)求过点P的曲线的切线方程的步骤为:先设出切点坐标为(x0,y0),然后写出切线方程y-y0=f(x0)(x-x
6、0),代入点P的坐标,求出(x0,y0),再写出切线方程.,变式训练4:已知曲线y=x3-3x,过点(0,16)作曲线的切线,求曲线的切线方程.,技能演练 (学生用书P13),基础强化,1.下列各式中正确的是( ) A.(sina)=cosa(a为常数) B.(cosx)=sinx C.(sinx)=cosx D.(x-5)=-x-6,答案:C,2.已知函数f(x)=x3的切线斜率等于1,则其切线方程有( ) A.1条 B. 2条 C.3条 D.不确定,答案:B,解析:令f(x)=3x2=1,得 切线斜率为1的点有两个,故有两条.,答案:D,4.若对于任意x,有f(x)=4x3,f(1)=-1
7、,则此函数为( ) A.f(x)=x4 B.f(x)=x4-2 C.f(x)=x4+1 D.f(x)=x4+2,答案:B,答案:D,6.已知f(x)=xn.若f(-1)=-4,则n的值为( ) A.4 B.-4 C.5 D.-5,解析:f(x)=xn,f(x)=nxn-1, f(-1)=n(-1)n-1=-4, n=4.,答案:A,7.过原点作曲线y=ex的切线,则切点的坐标为_,切线的斜率为_.,(1,e),e,能力提升,9.已知曲线y=x2和直线y=x+2. (1)求曲线和直线的交点; (2)求曲线在交点处的切线方程.,(2)y=x2,y=2x. f(2)=4,f(-1)=-2, 在点(2,4)和(-1,1)处的切线方程分别为 y-4=4(x-2)或y-1=-2(x+1), 即4x-y-4=0或2x+y+1=0.,品味高考,11.(2009辽宁卷)曲线 在点(1,-1)处的切线方程为( ) A.y=x-2 B.y=-3x+2 C.y=2x-3 D.y=-2x+1,答案:D,12.(2009江苏卷)在平面直角坐标系xOy中,点P在曲线C:y=x3-10x+3上,且在第二象限内,已知曲线C在点P处的切线斜率为2,则点P的坐标为_.,(-2,15),
