1、一、自变量趋于有限值时函数的极限,二、自变量趋于无穷大时函数的极限,第三节 函数的极限,自变量变化过程的六种形式:,根据自变量的这种变化过程，本节主要研究以下两种情况：,二、当自变量x的绝对值无限增大时，f(x)的变化趋势，,一、当自变量x无限地接近于x0时，f(x)的变化趋势,一、自变量趋向有限值时函数的极限,这个函数虽在x=1处无定义，但从它的图形上可见，当点从1的左侧或右侧无限地接近于1时， f(x)的值无限地接近于4，我们称常数4为f(x)当x1 时 f(x) 的极限。,怎样用数学语言刻划,问题,无限接近,于确定值A？,1.定义,定义1,设函数,有定义.,记作,或,恒有,在点x0某去心
2、邻域内,注, 定义习惯上称为极限的定义其三个要素： 10。正数，20。正数，30。不等式, 定义中,所以x x0时，f(x) 有无极限与 f(x)在x0处的状态并无关系，这是因为我们所关心的是f(x) 在x0附近的变化趋势，即 x x0时f(x) 变化有无终极目标，而不是f(x) 在x0这一孤立点的情况 。约定x x0但 xx0,0反映了x充分靠近x0的程度，它依赖于， 对一固定的而言，合乎定义要求的并不是唯 一的。由不等式 |f(x) A| 来选定， 一般地，越小，越小,必存在x0的去心邻域,对于此邻域内的 x,对应的函数图形位于这一带形区域内.,作出带形区域,一般说来,应从不等式,出发,推
3、导出应小于怎样的正数,这个正数就是要找的与 相对应的,这个推导常常是困难的.,但是, 注意到我们不需要找最大的,所以,适当放大些,的式子,变成易于解出,找到一个需要的,找到,就证明完毕.,可把,证,这是证明吗？,非常非常严格！,例1,例2 证明,证,于是,恒有,例3,证,min,可用,保证,练习,(1) 证明,证,由于,要使,解出,只要,可取,有,解不等式,(2) 证明,证,可取,有,3. 左、右极限(单侧极限),例如,两种情况分别讨论!,左极限,右极限,或,或,或,或,且,性质常用于判断分段函数当x趋近于,分段点,时的极限.,(1) 左、右极限均存在, 且相等；,(2) 左、右极限均存在,
4、但不相等；,(3) 左、右极限中至少有一个不存在.,找找例题！,函数在点 x0 处的左、右极限可能出现 以下三种情况之一：,试证函数,证,左、右极限不相等,故,例4,练习,y = f (x),x,O,y,1,1,在 x = 1 处的左、右极限.,解,练习,证,左右极限存在但不相等,二、自变量趋向无穷大时函数的极限,返回,通过上面演示实验的观察:,问题:,如何用精确的数学数学语言刻划函数“无限接近”.,2. 另两种情形,解,显然有,可见,和,虽然都存在,但它们不相等.,例5,讨论极限 是否存在?,图形,完全落在:,例6,证,成立. 由极限的定义可知:,例7,证,要使,成立.,只要,有,解不等式,
5、练习,试证,证,注意,有,为了使,只要使,有,的图形的,水平渐近线(horizontal asymptote).,结论,则直线,三、函数极限的性质,函数极限与数列极限相比,有类似的性质,定理1(极限的唯一性),有极限,若在自变量的某种变化,趋势下,则极限值必唯一.,定理2(局部有界性),f(x)有极限,则f(x)在 上有界;,f(x)有,极限,且证明方法也类似.,定理3(局部保号性),证,(1) 设A0,取正数,即,有,自己证,只要取,便可得更强的结论:,证,(1),也即,(2),自己证.,定理3 (1)的证明中,不论,定理,证,假设上述论断不成立,那末由(1)就有,在该邻域内,这与,所以,类
6、似可证 的情形.,假设矛盾,若定理3(2)中的条件改为,必有,不能!,如,思考,是否,定理3,定理4(函数极限与数列极限的关系),如果极限,存在,为函数,的定义域内任一收敛于x0的数列,那么相应的函数值数列,且满足:,必收敛,且,证,设,则,有,对此,有,有,即,例8,证,二者不相等,1. 函数极限的,或,定义;,2. 函数极限的性质,局部保号性;,四、小结,唯一性;,局部有界性;,函数极限与数列极限的关系;,3. 函数的左右极限判定极限的存在性.,思考题,1. 设函数,且,存在, 则,2.,4.,试证,3.,解,（1）,(2),证,(3),试证,提示,仅需在,附近讨论问题,如限定,即限定在,范围内,讨论问题.,这时,作业,习题1-3 (37页),1.(3) 2.(2) 5. 6,
