1、第一课时 直线与平面垂直的概念和判定,2.3.1 直线与平面垂直的判定,问题提出,1.前面我们全面分析了直线与平面平行的概念、判定和性质，对于直线与平面相交，又有哪些相关概念和原理？我们有必要进一步研究.,2.直线与直线存在有垂直关系，直线与平面也存在有垂直关系，我们如何从理论上加以认识？,直线与平面垂直的 概念和判定,知识探究（一）：直线与平面垂直的概念,思考1：田径场地面上竖立的旗杆与地面的位置关系给人以什么感觉？你还能列举一些类似的实例吗？,思考2：将一本书打开直立在桌面上，观察书脊（想象成一条直线）与桌面的位置关系呈什么状态？此时书脊与每页书和桌面的交线的位置关系如何？,思考3：如图，
2、在阳光下观察直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC，随着时间的变化，影子BC的位置在移动，在各时刻旗杆AB所在直线与影子BC所在直线的位置关系如何？,思考4：上述旗杆与地面、书脊与桌面的位置关系，称为直线与平面垂直.一般地，直线与平面垂直的基本特征是什么？怎样定义直线与平面垂直？,如果一条直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直.,思考5：在图形上、符号上怎样表示直线与平面垂直？,画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直。,如果直线l与平面垂直，则直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面，它们的交点叫做垂足.,1、过一点可作多少条平面的垂线
3、？ 2、过一点可作多少个直线l的垂面？,知识探究（二）：直线与平面垂直的判定,思考1：对于一条直线和一个平面，如果根据定义来判断它们是否垂直，需要解决什么问题？如何操作？,思考2：我们需要寻求一个简单可行的办法来判定直线与平面垂直.,2、如果直线l与平面内的两条直线垂直，能保证l吗？,1、如果直线l与平面内的一条直线垂直，能保证l吗？,思考3：如图，将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起，把翻折后的纸片竖起放置在桌面上，使BD、DC与桌面接触，观察折痕AD与桌面的位置关系.,思考4：由上可知当折痕AD垂直平面内的两条相交直线时，折痕AD与平面垂直.由此我们是否能得出直线与平面垂直的判定方法？,如
4、何调整折痕AD的位置，才能使翻折后直线AD与桌面所在的平面垂直？,定理： 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.,直线与平面垂直的判定定理,“线线垂直，则线面垂直”,思考5：如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直吗？,理论迁移,例1 已知 .求证：,例2 在三棱锥P-ABC中，PA平面ABC，ABBC，PA=AB，D为PB的中点，求证：ADPC.,例3 侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，当底面四边形ABCD满足什么条件时，有A1CB1D1，说明你的理由.,ACBD,D. 小结作业,P67 练习： 1.
5、 P74习题2.3 B组：2，4.,第二课时直线和平面所成的角,2.3.1 直线与平面垂直的判定,问题提出,1.直线和平面垂直的定义和判定定理分别是什么？,定义：如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，则称这条直线与这个平面互相垂直.,定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.,2.当直线与平面相交时，对于直线与平面垂直的情形，我们已作了一些相关研究，对于直线与平面不垂直的情形，我们需要从理论上作些分析.,直线和平面 所成的角,（一）：平面的斜线,1、当直线与平面相交时，它们可能垂直，也可能不垂直，如果一条直线和一个平面相交但不垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜
6、线和平面的交点叫做斜足.,思考：过一点作一个平面的斜线有多少条？,2、过斜线上斜足外一点向平面引垂线PO，连结垂足O和斜足A的直线AO叫做这条斜线在这个平面上的射影.,思考：斜线l在平面内的射影有几条？,3、两条平行直线、相交直线、异面直线在同一个平面内的射影可能是哪些图形？,4、如图，过平面外一点P引平面的两条斜线段PA、PB，斜足为A、B，再过点P引平面的垂线，垂足为O，如果PAPB，那么OA与OB的大小关系如何？反之成立吗？,5、如图，过平面内一点P引平面的两条斜线PA、PB，这两条斜线段在平面内的射影分别为PC、PD，如果PAPB，那么PC与PD的大小关系确定吗？,不确定，由直线和这个
7、平面所成的角确定。,（二）：直线和平面所成的角,1、平面的一条斜线与这个平面总存在一个相对倾斜度，我们设想用一个平面角来反映这个倾斜度，并且这个角的大小由斜线与平面的相对位置关系所确定，那么角的顶点宜选在何处？,2、如图，AB为平面的一条斜线，A为斜足，AC为平面内的任意一条直线，能否用BAC反映斜线AB与平面的相对倾斜度？为什么？,3、反映斜线与平面相对倾斜度的平面角的顶点为斜足，角的一边在斜线上，另一边在平面内的哪个位置最合适？为什么？,4、我们把平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角.在实际应用或解题中，怎样去求这个角？,（1）一条直线与平面垂直时，规
8、定它们所成的角为90； （2）一条直线和平面平行或在平面内时，规定它们所成的角为0. （3）直线与平面所成的角的取值范围是什么？,5、如图，BAD为斜线AB与平面所成的角，AC为平面内的一条直线，那么BAD与BAC的大小关系如何？,BAC BAD,6、两条平行直线与同一个平面所成的角的大小关系如何？反之成立吗？一条直线与两个平行平面所成的角的大小关系如何？,7、过平面外一点P引平面的斜线，斜足为A，若斜线PA与平面所成的角为50，那么点A在平面内的运动轨迹是什么图形？,理论迁移,例1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中. （1）求直线A1B和平面ABCD所成的角； （2）求直线A1B和平面A
9、1B1CD所成的角.,（2）求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.,例2 如图，AB为平面的一条斜线，B为斜足，AO平面，垂足为O，直线BC在平面内，已知ABC=60，OBC=45，求斜线AB和平面所成的角.,作业: P67 练习：2. P74习题2.3A组：9.,我们已经学习过直线与平面的垂直关系，请大家回答下列几个问题：(1) 、直线与平面垂直的定义.(2) 、直线与平面垂直的判定定理.(3) 、有关概念：平面的垂线、斜线、斜线在平面上的射影.,一、知识拓展,P,l,A,O,结论1：斜线上任意一点在平面的射影一定在该斜线的射影上。 结论2：当直线与平面垂直时，直线在平面内的射影是一个点。
10、,二、猜想与发现,根据直线和平面垂直的定义，我们知道，平面内的任意一条直线都和平面的垂线垂直。现在我们想一想，平面内的任意一条直线是否也都和平面的一条斜线垂直呢？,l,m,结论：平面内的一条直线如果和平面的一条斜线的射影垂直就和平面的斜线垂直.,平面内的一条直线具备什么条件，才能和平面的一条 斜线垂直呢？即怎样判定平面内的直线与平面的一条斜线 垂直呢？,P,A,O,三、证明,现在我们把实验发现的结论表达成命题的形式.已知:如图,PA、PO分别是平面的垂线和斜线,AO是PO在平面上的射影,在内，aAO求证:PO分析：这是证明两条直线互相垂直的问题.在立体几何中怎样证明两条直线互相垂直呢？证明：,
11、P,A,P,O,a,三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的 一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.,四、剖析定理,p,p,p,A,A,A,A,O,O,O,O,a,a,a,a,p,(2)直线是平面内垂直于的任意一条直线,和斜线 的位置关系有几种?反映三垂线定理的图形有几种可能的情况?并画出图形.,(2)因为是平面内的任意一条直线,所以与斜线的 位置关系有两种情况:一是不过斜足的异面垂直；一是过 斜足的相交垂直.反映三垂线定理的图形有四种情况(如图).,答案: (1)三垂线定理对任意位置的平面都成立.因为定理中并没有 水平平面的限制.定理的实质是研究平面内的一条直线与这 个平面的斜
12、线及斜线在这个平面内的射影三者的垂直关系, 与平面的位置无关.,(1)本定理的证明过程是对水平位置的平面而进行的.那么定理对其他位置的平面是否成立？并说明理由.,五、定理的应用,归纳：应用三垂线定理的思维过程是 “一定”定平面及平面内的一条直线 “二找”找这个平面的垂线、斜线及 斜线在这个平面上的射影； “三证”证明平面内的一条直线与射影垂直。,三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的 一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直.,例 侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，当底面四边形ABCD满足什么条件时，有A1CB1D1，说明你的理由.,ACBD
13、,六、小结,（1）本节课的教学可概括为四个字： 即猜想平面内的直线与平面的斜线垂直的特征；证明三垂线定理；剖析定理的内容；应用定理证题. （2）叙述三垂线定理的内容，定理的证明方法是证明空间两条直线互相垂直的基本方法，称为线面垂直法. （3）此定理是空间两条直线垂直的判定定理，与平面的位置无关.运用定理的步骤是：“一定、二找、三证明”.,用,剖、,证、,猜、,返回,2.3.2 平面与平面垂直的判定,第一课时 二面角的有关概念,问题提出,1.空间两个平面有平行、相交两种位置关系，对于两个平面平行，我们已作了全面的研究，对于两个平面相交，我们应从理论上有进一步的认识.,2.在铁路、公路旁，为防止山
14、体滑坡，常用石块修筑护坡斜面，并使护坡斜面与水平面成适当的角度；修筑水坝时，为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面与水平面成适当的角度，如何从数学的观点认识这种现象？,二面角及其平面角,（一）：二面角的有关概念,1、直线上的一点将直线分割成两部分，每一部分都叫做射线. 平面上的一条直线将平面分割成两部分，每一部分叫半平面。,2、将一条直线沿直线上一点折起，得到的平面图形是一个角；将一个平面沿平面上的一条直线折起，得到的空间图形称为二面角，你能画一个二面角的直观图吗？,3、在平面几何中，我们把角定义为“从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角”，按照这种定义方式，二面角的定义如何？,从一条直线出发的两个
15、半平面所组成的图形叫做二面角。,二面角定义：,相关概念： 一个二面角是由一条直线和两个半平面组成，其中直线l叫做二面角的棱，两个半平面、都叫做二面角的面。,二面角的表示 二面角通常记作“二面角-l-”. 或“二面角-AB-” 或“二面角P-l-Q”,4、两个相交平面共组成几个二面角？,（二）：二面角的平面角,思考:把门打开，门和墙构成二面角；把书打开，相邻两页书也构成二面角.随着打开的程度不同，可得到不同的二面角，这些二面角的区别在哪里？,思考2:我们设想用一个平面角来反映二面角的两个半平面的相对倾斜度，那么平面角的顶点应选在何处？角的两边在如何分布？,思考3:在二面角-l-的棱上取一点O，过
16、点O分别在二面角的两个面内任作两条射线OA，OB，能否用AOB来刻画二面角的张开程度？,思考4:在上图中如何调整OA、OB的位置，使AOB被二面角-l-唯一确定？这个角的大小是否与顶点O在棱上的位置有关？,如图，在二面角-l-的棱l上任取一点O为顶点，在两个半平面和内分别作垂直于棱的两条射线OA和OB，这两条射线OA和OB所成的角 AOB叫做二面角的平面角.,二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说二面角是多少度. （1）平面角是直角的二面角叫做直二面角； （2）二面角的两个面重合时，二面角的大小为零度； （3）二面角的两个面合成一个平面时，二面角的大小为180 一般地
17、，二面角的平面角的取值范围为,思考5:如图，过二面角-l-一个面内一点A，作另一个面的垂线，垂足为B，过点B作棱的垂线，垂足为O，连结AO，则AOB是二面角的平面角吗？为什么？,思考6:如图，平面垂直于二面角的棱l，分别与面、相交于OA、OB，则AOB是二面角的平面角吗？为什么？,理论迁移,例1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 求二面角B1-AC-B大小的正切值.,例2 如图所示，河堤斜面与水平面所成二面角为 ，堤面上有一条直道CD，它与堤角的水平线AB的夹角为 ，沿这条直道从堤脚C向上行走10m到达E处，此时人升高了多少m？,作业: P73习题2.3 A组：4，7.,第二课时 平面与
18、平面垂直,2.3.2 平面与平面垂直的判定,问题提出,1.二面角与二面角的平面角分别是什么含义？二面角的平面角有哪几个基本特征？,(1)顶点在棱上；,(2)边在两个面内；,(3)边垂直于棱.,平面与平面垂直,2.直线与直线，直线与平面可以垂直，平面与平面是否存在垂直关系？如何认识两个平面垂直？,（一）：两个平面垂直的概念,思考1:空间两条直线垂直是怎样定义的？直线与平面垂直是怎样定义的？,思考2:什么叫直二面角？如果两个相交平面所成的四个二面角中，有一个是直二面角，那么其他三个二面角的大小如何？,一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.,在你的周围或空间几
19、何体中，有哪些实例反映出两个平面垂直？,图形与符号表示两个平面互相垂直,思考3:如果平面平面，那么平面内的任一条直线都与平面垂直吗？,（二）：两个平面垂直的判定,思考1:根据定义判断两个平面是否 垂直需要解决什么问题？,两个平面垂直的判定定理,一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.,文字语言,图形语言,符号语言,“线面垂直，则面面垂直”,思考3:过一点P可以作多少个平面与平面垂直？过一条直线l可以作多少个平面与平面垂直？,例1 如图，AB是O的直径，PA，C为圆周上不同于A、B的任意一点， 求证：平面PAC平面PBC.,证明： 设O在平面内，由已知条件，,例2 如图，四棱锥P-ABCD
20、的底面为矩形，PA底面ABCD，PA=AD，M为AB的中点，求证：平面PMC平面PCD.,例3 在四面体ABCD中，已知ACBD，BAC=CAD=45，BAD=60， 求证：平面ABC平面ACD.,作业: P73习题2.3A组：3，6. P74习题2.3B组：1.,2.3.3 直线与平面垂直的性质,问题提出,1.直线与平面垂直的定义是什么？如何判定直线与平面垂直？,2.直线与平面垂直的判定定理，解决了直线与平面垂直的条件问题；反之，在直线与平面垂直的条件下，能得到哪些结论？,直线与平面 垂直的性质,（一）直线与平面垂直的性质定理,思考1:如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，棱AA1，BB1
21、，CC1，DD1所在直线与底面ABCD的位置关系如何？它们彼此之间具有什么位置关系？,思考2:如果直线a，b都垂直于同一条直线l，那么直线a，b的位置关系如何？,思考3:一个平面的垂线有多少条？这些直线彼此之间具有什么位置关系？,思考4:如果直线a，b都垂直于平面，由观察可知a/b，从理论上如何证明这个结论？,直线与平面垂直的性质定理,定理 垂直于同一个平面的两条直线平行,符号语言,文字语言,图形语言,思考1:设a，b为直线，为平面，若a，b/a，则b与的位置关系如何？为什么？,（二）直线与平面垂直的性质探究,思考2:设a，b为直线，为平面，若a，b/，则a与b的位置关系如何？为什么？,思考3
22、:设l为直线，为平面，若l，/，则l与的位置关系如何？为什么？,思考4:设l为直线，、为平面，若l，l，则平面、的位置关系如何？为什么？,理论迁移,例1 如图，已知 于点A， 于点B， 求证： .,例2 如图，已知 求证：,a,b,（2）若 ，求证：MN 面PCD,P,A,B,C,D,M,N,作业: P71练习：1，2.（做书上）,2.3.4 平面与平面垂直的性质,问题提出,1.平面与平面垂直的定义是什么？如何判定平面与平面垂直？,2.平面与平面垂直的判定定理，解决了两个平面垂直的条件问题；反之，在平面与平面垂直的条件下，能得到哪些结论？,平面与平面 垂直的性质,（一）平面与平面垂直的性质定理
23、,思考1:如果平面与平面互相垂直，直线l在平面内，那么直线l与平面的位置关系有哪几种可能？,（一）平面与平面垂直的性质定理,思考2:黑板所在平面与地面所在平面垂直，在黑板上是否存在直线与地面垂直？若存在，怎样画线？,思考3:如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，平面A1ADD1与平面ABCD垂直，其交线为AD，直线A1A，D1D都在平面A1ADD1内，且都与交线AD垂直，这两条直线与平面ABCD垂直吗？,文字语言,定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直交线的直线与另一个平面垂直.,图形语言,两平面垂直的性质定理,线线垂直，则线面垂直,符号语言,（二）平面与平面垂直的性质探究,思考1:若，过平面内一点A作平面的垂线，垂足为B，那么点B在什么位置？,思考2:上述分析表明：如果两个平面互相垂直，那么经过一个平面内一点且垂直于另一个平面的直线，必在这个平面内.,思考3:对于三个平面、，如果， ，那么直线l与平面的位置关系如何？为什么？,思考4:上述结论如何用文字语言表述？,如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么这两个平面的交线垂直于这个平面.,理论迁移,m,作业: P73练习：1，2.（做书上） P73习题2.3A组：2. P74习题2.3B组：3.,线线垂直,线面垂直,线线平行,线面平行,面面平行,面面垂直,判定,定义,判定,性质,性质,性质,判定,判定,定义,
