1、二次函数 y=ax2 的图象与性质【教学目标】知识与技能 1、使学生会用描点法画函数 y=ax2的图象； 2、使学生掌握 y=ax2 的图象特征和性质即能确定图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值和开口大小。过程与方法培养学生用数形结合的思想研究二次函数 y=ax2 的图象、性质，提高学生观察、分析、比较 、概括等能力。情感态度与价值观渗透由特殊到一般的辨证唯物主义认识论的教育。【教学重点】二次函数 y=ax2 的图象和性 质【教学难点】描点法画二次函数 y=ax2 的图象的方法【教学方法】采用引导式教学法，借助多媒体，讲练结合，着力引导学生运用观察、比较、抽象、概括等方法完成这部分内
2、容的学习。【教具手段】多媒体一、复习1.有关概念:2. 平面内点的坐标:3. 坐标平面内的点与有序实数对是: 一一对应.坐标平面内的任意一点 M,都有唯一一对有序实数(x,y)与它对应; 任意一对有序实数(x,y),在坐 标 平面内都有唯一的点 M 与它对应.4. 点的位置及其坐标特征:.各象限内的点:.各坐标轴上的点:.各象限角平分线上的点:.对称于坐标轴的两点:.对称于原点的两点:二新课讲授我们知道正比例函数、一次函数的图象是一条直线，反比例函数图象是双曲线，那么二次函数的图象是什么形状呢？我们知道二次函数中， 是最简单的形式，我们先研究它的图象。yax2一一一 二次函数 y=ax2 的图
3、象在研究一个新的函数的图象时，要用描点法画图，先列出函数的对应值表。在列表时怎样选取自变量 x 的值呢？开始时只能试着来。因自变量 x 可以取一切实数，通常以 0 为中心，均匀选取一些便于计算的 x 值，看看画出来的图形的大致形状。如果有问题，再加以修正或补充。在开始画一个函数的未知图象时，选值列表带有一定的试探成分。例 1：画出函数 y=x2 的 图象解：列表 x -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 y=x2 2.25 1 0.25 0 0.25 1 2.25 注意：列表时自变量取值要均匀和对称。用光滑曲线连结时要自左向右顺次连结.请同学们观察这一图象有什么特点？1、图象分布在
4、第一，二象限2、图象过原点3、图象关于 y 轴对称4、在 y 轴左侧图象呈下降趋势，在 y 轴右侧图象呈上升趋势。xy0事实上，函数 y=x2 的定义域是一切实数，当 x=0 时，y=0 ，当 x0 时，y 0。所以它的图象通过原点而且分布在第一，二象限；又由于当 x 取互为相反数的值时，所得的y 值 都相同，所以函数 y=x2 的图象关于 y 轴 成轴对称。可 见，函数的图象是由函数自身的特点决定的。像这样的曲线通常叫做抛物线，它有一条对称轴，抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点。例 2在同一坐标系中画出函数 y= - x2 的图象。思考：该图象会有什么特点？解：列表x -1.5 -1
5、-0.5 0 0.5 1 1.5 y= -x2 -2.25 -1 -0.25 0 -0.25 -1 -2.25 观察并比较函数 y= - x2 与函数 y = x2 的图象，你发现有什么共同点和区别？又有什么联系？共同点：1、图象都是抛物线；2、图象都关于 y 轴对称；3、图象都过原点；4、图象不闭合。区别：函数 y=-x2 的图象在第三、四象限，开口向下；函数 y=x2 的图象在第一、二象限，开口向上。 （为什么会出现开口方向的不同？）xy0联系：可以看到，对自变量的同一个值，函数 y = - x2 和 y=x2 的对应值总互为相反数，所以函数 y=-x2 和 y=x2 的图象关于 x 轴成
6、轴对 称。课堂练习：画出下列函数图象（1）y= x2 （2）y=2 x2 (3)y= - x213（二）函数 y = ax2 的性质观察并比较这几个函数的图象，你能发现什么？将所画的几个函数的图象作比较，你又能发现什么？（让学生讨论）共同点：（1）都关于 y 轴对称，（2）图象与 y 轴都只有一个交点，即原点。不同点：（1）a0，抛物线 y=ax2 开口向上；a0，开口向下。 （2）a0，在对称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升。图象有最低点。 a0，在对称轴的左边，曲线自左向右上升下降；在对称轴的右边，曲线自左向右下降。图象有最高点。（3）开口大小不同，|a |大开
7、口小，| a |小开口大。图象的这些特点，反映了函数 y=ax2 的哪些性质呢？总结：二次函数 y=ax2 的图象特征与函数性质1、抛物线 y=ax2 的顶点是原点， 对称轴是 y 轴。2、当 a0 时，抛物 线 y=ax2 在 x 轴的上方（除顶点外），它的开口向上，并且 向上无限伸展；当 a0 时，在 对称轴 的左侧，y 随着 x 的增大而减小；在对称轴右侧，y 随着 x 的增大而增大。当 x=0 时函数 y 的值最小。当 a0 时，在对称轴的左侧， y 随着 x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随着 x 增大而减小，当 x=0 时，函数 y 的值最大。三练一练1、已知抛物线 y=ax2
8、经过点 A（-2，-8）。（1）求此抛物线的函数解析式；（2）判断点 B（-1，- 4）是否在此抛物线上。（3）求出此抛物线上纵坐标为-6 的点的坐标。2、根据已画好的函数图象填空：（1）抛物线 y=2x2 的顶点坐标是 对称轴是 ，在 侧，y 随着 x 的增大而增大；在 侧，y 随着 x 的增大而减小，当 x= 时，函数 y 的值最小，最小值是 ,抛物线 y=2x2 在 x 轴的 方（除顶点外）。（2）抛物线 y= - x2 在 x 轴的 方（除顶点外），在对称轴的左侧， y 随着 x3的 ；在对称轴的右侧，y 随着 x 的 ，当 x=0 时，函数 y 的值最大，最大值是 ，当 x 0 时，
9、y0.四课堂练习1、函数 y=-3x2 的图象的顶点坐标是 ，对称轴是 ，开口向 ，当 x= 时，函数 y 有最 值，是 ，当 x0 时，y 随 x 增大而 ，当 x0 时，y 随 x增大而 。2、函数 的图 象开口向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，对于图象上253xy位于右半平面的两点（x1，y1）与（x 2，y2），如果 x1x 2，则 y1 y2。3、已知二次函数 y = - x2， ，y =15x2， 53xy = - 4x2， ，y = 4x2。109（1）开口向上的有 ，（2）开口向下且开口最大的是 ，（C） （D）xy0 xy0（3）当自变量由小到大变化时，函数值先逐渐变大，然后逐
10、渐变小的有 。4、函数 的图象是开口向下的抛物 线，求 m 的值。42mxy5、已知 a0，b0，函数 y=ax+b 与 y=ax2 在同一坐 标系中成立的是（ ）6、在同一坐标系中画出下列函数的图象。y=3x2, y=-3x2, y= x231四课堂小结1、函数 y=ax2 的图象是抛物线。抛物 线 y=ax2 的开口方向由 a 决定，开口大小由|a|决定。2、画函数 y=ax2图象时要充分运用性质，特别是对称性。3、研究函数常用数形结合的思想。五布置作业六板书设计（A） （B）xy0 xy0二次函数 y=ax2 的图象一、二次函数 y=ax2 的图象 二、二次函数 y=ax2 的性质例 1.画出函数 y=x2 的图象 例 2.画出函数 y=-x2 的图象(画图 ) 例 3.画出函数 y=2x2, y=-2x2 的图象
