1、 1函数与方程思想考题精选【例 1】（湖北卷）关于 x 的方程（x 2-1） 2-x2-1+k=0，给出下列四个命题：存在实数 k，使得方程恰有 2 个不同的实根；存在实数 k，使得方程恰有 4 个不同的实根；存在实数 k，使得方程恰有 5 个不同的实根；存在实数 k，使得方程恰有 8 个不同的实根.其中假命题的个数是（ ）. 0 . . . 本题是关于函数、方程解的选择题，考查换元法及方程根的讨论，属一题多选型试题，要求考生具有较强的分析问题和解决问题的能力.思路分析：. 根据题意可令 x2-1=t（t0），则方程化为 t2-t+k=0，（*）作出函数 t=x2-1 的图象，结合函数的图象可
2、知当 t=0 或 t1 时，原方程有两上不等的根，当 00、=0、0，对于函数 f（x）= （00）.过 A、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为 M.（1）证明 为定值；（2）设ABM 的面积为 S，写出 S=f（）的表达式，并求 S 的最小值.解：（1）证明：由已知条件，得 F（0，1），0.设 A（x 1，y 1），B（x 2，y 2）.由 ，得6（-x 1，1-y 1）=（x 2，y 2-1），即 将式两边平方并把 代入得解、式得 y1=，y 2= ，且有 x1x2= =-4y 2=-4，抛物线方程为y= x2，求导得 y= x.所以过抛物线上 A、B 两点的切线方程分别是y= x1
3、（x-x 1）+y 1，y= x2（x-x 2）+y 2，即 .解出两条切线的交点 M 的坐标为 ，所以= . 所以为定值，其值为 0.（2）由（1）知在ABM 中，FMAB，因而 S= |AB| |FM|.|FM|= = = = .因为|AF|、|BF|分别等于 A、B 到抛物线准线 y=-1 的距离，所以|AB|=|AF|+|BF|=y1+y2+2=+ +2=（ ） 2.于是 S= |AB| |FM|= （ ） 3由 2 知 S4，7且当 =1 时，S 取得最小值 4.【点评】在解析几何中考查三角形面积最值问题是高考的重点和热点，求解的关键是建立面积的目标函数，再求函数最值，至于如何求最值应视函数式的特点而定，本题是用均值定理求最值的.
