1、NOI2001 第七届全国青少年信息学（计算机）奥林匹克分区联赛复赛试题解析提高组题一 一元三次方程求解解析题目已告知解在-100,100 内，且任两根差的绝对值=1，并且精度只要求到百分位，规模并不大。因此，最简单的方法就是在-100,100中以 0.01 的步长搜索所有的解。这个方法编程简单，在考试中应作为首选。但如果解的精度要求进一步提高，此法就不适用了。本题具有普遍性的方法是二分法。由题意可知(I,I+1)中若有根，则只有一个根。因此，设f(x)=ax3+bx2+cx+d，让 I 从-100 到 100 搜索，当 f(I)f(I+1)=0 时说明在I,I+1中有根，然后以它们的中点(I
2、+I+1)/2 为界，进一步缩小根的范围，迭代直到根的范围达到要求的精度。由于题中涉及实数运算，考虑到计算机处理的精度误差，判断两数相等不能直接用等号，而要用|l-r|e，其中 e 为一足够小的数（例如 1e-6） 。类似的误差处理技术还有许多，比如计算的值，从后往前加就n1321比从前往后加精度要高，并且随着规模的扩大误差会越来越大。题二 数的划分解析组合计数问题一般考虑采用动态规划解决。题中要求分法不考虑顺序，我们可以等价的规定分法中后一位数始终不小于前一位数，比如规定分法 1 1 5 合法，而 1 5 1 不合法。这种处理方法是很常见的。由此，我们可设 fk,n,I表示以不小于 I 的数
3、字起头的划分数。例如 f(4,7,2)=1（当 n=7,k=4 时划分有 1 1 5,1 3 3,1 2 4,2 2 3 四种，以不小于 2 起头的只有223） 。由此得出状态转移方程 )(0),1()(),(),(niinf knjijkfikf由于当前阶段只和上一阶段有关，可以只存储两个阶段节省空间。本题的方法其实很多，也可用母函数法，这也是解决组合计数问题常用的方法，且比较模式化，效率与动态规划类似。由于题中阶段 k 很小，因此搜索+剪枝也是可接受的。题三 统计单词个数解析本题与 NOI2000 的“古城之谜”十分类似，问题具有明显的最优子结构，可以考虑使用动态规划。设 f(k,I)表示
4、将字串 1i 分成 k 份的最大单词数。易得状态转移方程 ，其中),1(, )1(),1(),maxigif ijijigjifk 算法 1 1:lI2:rI+13:Repeat4: 判断 l,r 是否为方程的根5: mid(l+r)/26: if f(l)*f(mid)=0 Then rmid7: if f(mid)*f(r )=0 Then lmid8:Until abs(l-r)e or 已找到解9:if abs(l-r)e then l 为方程的解g(I,j)表示在字串 ij 中包含的单词数。处于提高时间效率的考虑，一般先进行预处理将 g(I,j)的每个值先求出，以避免重复计算。但本题
5、 g(I,j)是一个 200*200 的数组，空间不够，因此这种空间换时间的交易无法完成。只能即时的计算 g(I,j)的值。计算 g(I,j)时遇到有相同字母开头的单词，选择长度最小的单词，因此计算一次 g(I,j)只要一个循环就可以了，速度还是很快的。题四 CAR 的旅行路线解析本题是一道计算几何与图论相结合的题目，这也是分区赛首次涉及到这两方面的知识。先将问题转化为图论模型，将城市的四个顶点看成图的顶点，边权为两点的几何距离*相应的单价。这样，原题即转化为图的最短路问题。原题的解即为从 A 城市四个顶点到 B城市四个顶点权和的最小值。求最短路可用 Floyd 算法。在编程时还应注意一些细节
6、：1、本题也涉及浮点运算同样要考虑精度问题，判断相等不能用等号，处理方法见第一题。2、题中只给了矩形的 3 个坐标，计算第四点坐标时应先找出距离最大的两点d1,d3，这两点所在直线必为矩形的对角线，因为矩形两对角线互相平分，可得 d4=d1+d3-d23、在预处理时要判断两点是否属于同一城市，以便计算权值时乘以不同的单价。我们可以按顺序存储各顶点，但(编号 I-1) Div 4 的值相同时，两点即在同一城市。4、本题属于计算几何中的运动规划问题，题源丰富，本题是其中最简单的一题。比如ACM96 中的“邮递问题”由于邮递员不能穿过建筑物，在预处理时还应加上对角线的判断；再如 CTSC2000 的“冰原探险 ”由于矩形与坐标轴平行，可用线段树这样高效的数据结构加以解决。更进一步，如果将运动物体改为不规则形状的物体，可以证明它已变成 NP 问题了。（福建省南平一中 陈研）Email: 算法 2 1:for k1 to n2: for I1 to n3: for j1 to n4: if gI,k+gk,jgI,j then gI,jgI,k+gk,j
