1、第五章 线性系统的频域分析法5-1 什么是系统的频率响应？什么是幅频特性？什么是相频特性？什么是频率特性？答 对于稳定的线性系统，当输入信号为正弦信号时，系统的稳态输出仍为同频率的正弦信号，只是幅值和相位发生了改变，如图 5-1 所示，称这种过程为系统的频率响应。图 5-1 问 5-1 图称为系统的幅频特性，它是频率 的函数； 称为系统的相频特性，它是频率 的函数： 称为系统的频率特性。稳定系统的频率特性可通过实验的方法确定。5-2 频率特性与传递函数的关系是什么？试证明之。证 若系统的传递函数为 ，则相应系统的频率特性为 ，即将传递函数中的 s 用 代替。证明如下。假设系统传递函数为： 输入
2、 时， 经拉氏反变换，有： 稳态后，则有： 其中： 将 与 写成指数形式：则： 与输入 比较得：幅频特性 相频特性 所以 是频率特性函数。5-3 频率特性的几何表示有几种方法？简述每种表示方法的基本含义。答 频率特性的几何表示一般有 3 种方法。幅相频率特性曲线（奈奎斯特曲线或极坐标图） 。它以频率 为参变量，以复平面上的矢量来表示 的一种方法。由于 与 对称于实轴，所以一般仅画出 的频率特性 即可。对数频率特性曲线（伯德图） 。此方法以幅频特性和相频特性两条曲线来表示系统的频率特性。横坐标为 ，但常用对数 分度。对数幅频特性的纵坐标为，单位为 dB。对数相频特性的纵坐标为 ，单位为“。 ”（
3、度） 。和 都是线性分度。横坐标按 分度可以扩大频率的表示范围，幅频特性采用可给作图带来很大方便。对数幅相频率特性曲线（尼柯尔斯曲线） 。这种方法以 为参变量， 为横坐标，为纵坐标。5-4 什么是典型环节？答 将系统的开环传递函数基于根的形式进行因式分解，可划分为以下几种类型，称为典型环节。比例环节 k(k0) ；积分环节 ；微分环节 s；惯性环节；一阶微分环节 ；延迟环节 ；振荡环节 ；二阶微分环节 ；不稳定环节 。典型环节频率特性曲线的绘制是系统开环频率特性绘制的基础，为了使作图简单并考虑到工程分析设计的需要，典型环节对数幅频特性曲线常用渐近线法近似求取。5-5 什么是最小相位系统及非最小
4、相位系统？最小相位系统的主要特点是什么？答 在 s 平面上，开环零、极点均为负实部的系统称为最小相位系统；反之，开环零点或极点中具有正实部的系统称为非最小相位系统。最小相位系统的主要特点是：相位滞后最小，并且幅频特性与相频特性有惟一的确定关系。如果知道最小相位系统的幅频特性，可惟一地确定系统的开环传递函数。5-6 什么是频率特性 的极坐标图？什么是奈奎斯特（Nyquist）轨迹、Nyquist 图？答 在 s 平面上，当 s=0 到 时， 变化的轨迹称为系统频率特性的极坐标图取根平面上的封闭围线包围全部右半 平面，此封闭围线由整个虚轴（从 s=- 到s=+ ）和右半平面上半径为无穷大的半圆轨迹
5、组成。这一封闭围线称作奈奎斯特轨迹，如图 5-2 所示。图 5-2 Nyquist 轨迹图 5-3 Nyquist 图当 s 沿 Nyquist 轨迹变化时，即 s=-j 到 变化时 s=+j，在开环传递函数平面上对应的轨迹称为 Nyquist 图，如图 5-3 所示。5-7 Nyquist 稳定判据的主要内容是什么？简述频率稳定判据的主要特点。答 奈奎斯特稳定判据是根据系统开环频率特性曲线图，判定系统闭环稳定性的判据。具体如下。反馈控制系统闭环极点在 s 的右半平面的个数（不稳定根的个数）：Z=N+P式中 P 为系统开环极点在 s 右半平面的个数；N 为系统开环 Nyquist 图顺时针环绕
6、(-1,j0)的次数。这里，系统开环 Nyquist 图可根据系统开环极坐标图 ，然后做出它关于实轴的对称部分即可。N=0，则系统稳定；N0 ，系统不稳定。主要特点：应用开环频率特性曲线判断闭环稳定性。便于研究系统参数和结构变化对稳定性的影响。易于研究包含延迟环节系统的稳定性。奈氏判据稍加推广还可以用来分析某些非线性系统的稳定性。5-8 什么是系统的幅稳定裕度、相稳定裕度？其各自的物理含义是什么？答 幅值裕度 GM 当系统开环相频特性为 180du 时，系统开环频率特性幅值的倒数称为幅值裕度，所对应的频率 称为相角交界频率。即满足 相位裕计划经济 PM 系统开环频率特性的幅值为 1 时，系统开
7、环频率特性的相角与180du 的和称为相角裕度，所对应的频率 称为系统截止频率（剪切频率） 。即：满足 PM0 ，则系统稳定，反之为不稳定。幅稳定裕度的分贝(dB)形式及相稳定裕度通常用 R 和 r 来表示。幅值裕度 GM 说明 当系统的开环增益大为原来的 GM 倍时，闭环系统处于临界稳定（为维持闭环稳定 K 所能增大的最大倍数） 。相位裕度 PM 说明 当系统对频率为 的信号的相角滞后再增大 PM 度时，闭环系统处于临界稳定。5-9 试简要叙述如何绘制极坐标图。答 首先将系统的开环频率特性函数分解为下列两种标准形式：PM0 及 确定幅相曲线的起始点与终止点和曲线的基本形状。起始点为： 终止点
8、为： 其中 为系统开环根轨迹增益， 和 分别为开环传递函数具有正实部的极点和零点的个数。对于最小相位系统： 由上可知，起始点位置与系统型号有关，终止点相角与分子和分母多项式次数的差值有关。对实际系统总有 。确定曲线是否穿越实轴和虚轴。令 ，得到 ，若 为实数，则曲线穿越实轴，若 为复数，则曲线不穿越实轴。令 ，得到 ，若 为实数，则曲线穿越虚轴，若 为复数，则曲线不穿越虚轴。对于含有积分环节的系统，开环幅相特性应作相应补充：从开环幅相曲线上对应于的点起，用虚线逆时针补画半径为 的圆弧。5-10 如何绘制 Bode 图。答 将开环传递函数按典型环节进行分解，并将转折频率从小到大的顺序排列为。绘制
9、起始低频渐近线，即 的左边部分。起始低频渐近线为一直线，其斜率为-20v，取决于系统积分环节的个数。并且通过点 ，即渐近线或其延长线在处的值为。渐近线斜率在频率 处发生改变，变化的数值决于 对应的典型环节的种类。同样，在后面的各转折频率处，渐近线斜率都相应改变。在每个相邻转折频率间，渐近线为一直线。根据误差曲线求是得各典型环节的修正量，加到渐近曲线上，并通过各修正点作光滑曲线。5-11 什么是系统频率特性的谐振峰值 ？什么是带宽频率和系统带宽？对于二阶系统，上述指标及截止频率 、相位裕度 r 与阻尼系数 的关系是什么？对于高阶系统，幅值裕度和相位裕度及谐振峰值是如何确定的？答 系统闭环频率特性
10、幅值的最大值称为谐振峰值 。当闭环系统频率特性的输出幅值 下降为输入幅值 的 0.707 倍时，对应的频率 称为带宽频率。频率范围 称为系统带宽。对于典型的二阶系统，闭环传递函数 ，相应的开环传递函数为：谐振峰值： 谐振频率： 带宽频率： 截止频率： 相位裕度： 典型二阶系统的幅值裕度为 。对于高阶系统，工程上常用图解法近似确定幅值裕度和相位裕度，谐振峰值则由下述经验公式确定：超调量： 调节时间： 5-12 已知单位反馈系统的开环传递函数为 ，当系统的输入时，闭环系统的稳态输出为 ，试计算参数 K 和 T 的数值。分析：根据题意，应首先求出系统的闭环传递函数，然后根据频率特性的定义来求解。解
11、系统的闭环传递函数为： 闭环系统频率特性为：由系统频率特性的 定义知：即 即 因此有： 5-13 已知单位反馈系统的开环传递函数如下所示，试绘制对数幅频特性渐近曲线： 。分析：要画出系统的开环幅频特性，必须首先熟悉各典型环节的标准形式及 Bode 图形状，注意各典型环节转折频率的确定。解 转折频率为： 起始低频渐近线通过点： 时 ， 所以：起始低频渐近线斜率为 ，并且通过点 (0.1,60)；当渐近线到达 时，斜率由 变为 ；当渐近线到达 时，斜率由 变为 。系统对数幅频特性曲线如图 5-8 所示。 转折频率为： 当 时， 所以：起始低频渐近线斜率为 ，并且通过点 (1,-20)；当渐近线到达
12、 时，斜率由 变为 ；当渐近线到达 时，斜率由 变为 ；当渐近线到达 时，斜率由 变为 。系统对数幅频特性曲线如图 5-9 所示。图 5-8 对数幅频特性曲线图 5-9 对数幅频特性曲线5-14 设控制系统的开环传递函数为 ，试画出开环频率特性的极坐标图 ，并确定 曲线与实轴是否相交，如果相交，试确定相交点处的频率和相应的幅值。用 Nyquist 稳定判据判断闭环系统的稳定性。解 开环系统是由两个积分环节、两个惯性环节和比例环节组成的。开环系统频率特性为： 确定起点和终点：时 ， 时 ， 组成系统的环节均为最小相位环节，当 时， 的角度从-180单调地减小到-360，所以幅相曲线与实轴无交点。
13、系统的概略极坐标图如图 5-10 所示。图 5-10 极坐标图由于系统型次为 ，应补画圆弧，由 的对应点起逆时针补作半径为无穷大的 的圆弧。根据 Nyquist 稳定判据，位于 S 右半平面的开环极点数 ，由图可知 P=0，N=1+2 ，则：Z=P+N=2系统不稳定。5-15 已知系统方块图如图 5-11 所示：图 5-11 方块图试用 Nyquist 稳定判据判断闭环系统的稳定性，并确定 K 的取值范围。分析：首先应画出极坐标图及 Nyquist 图，然后用 Nyquist 稳定判据判断闭环系统的稳定性。画极坐标图时，频率特性函数既要写出其幅值和相角表达式，又要写出其实部和虚部表达式。解 系
14、统开环频率特性：当 时， 与虚轴的交点为：令 ，此时有 ，说明曲线不穿越虚轴。与实轴的交点为：令 ，此时有 ，说明曲线穿越实轴，此时，。由此可画出 的极坐标图如图 5-12 所示。由极坐标图可进一步画出 Nyquist 图如图 5-13 所示。图 5-12 极坐标图 图 5-13 Nyquist 图由于系统有一个开环极点，系统型次为 ，应补画圆弧，由 的对应点起逆时针补作半径为无穷大的 的圆弧。根据 Nyquist 稳定判据，讨论如下：当 k=1 时， 过(-1,j0) 点，系统临界稳定；当 k0 时， P=1,N=-1,Z=N+P=0，系统稳定；当 K10000JF，P=0,N=2,Z=2，系统不稳定。综上述分析，当 0变化时，幅角也会从 0-变化，所以奈氏曲线必为螺旋线，因为开环极点在 S 右半平面的个数 P=0，所以只要 N=0，则Z=0，系统就稳定。解 所以奈氏图如图 5-20 所示。图 5-20 Nyquist 图若 A 点在(-1,j0)点的右边，则奈氏图不包围 (-1,j0)点，则 N=0，所以系统稳定，反之，系统不稳定。因为：令 ，即： 解方程，求 的最小正值，可得： 将 代入 可得： 令 得：K=2.65 所以当 K2.65 时，系统稳定。
