1、行列式的应用案例 1 大学生在饮食方面存在很多问题，多数大学生不重视吃早餐，日常饮食也没有规律，为了身体的健康就需要注意日常饮食中的营养。大学生每天的配餐中需要摄入一定的蛋白质、脂肪和碳水化合物，下表给出了这三种食物提供的营养以及大学生的正常所需营养（它们的质量以适当的单位计量） 。单位食物所含的营养营养食物 1 食物 2 食物 3 所需营养蛋白质 36 51 13 33脂肪 0 7 1.1 3碳水化合物 52 34 74 45试根据这个问题建立一个线性方程组，并通过求解方程组来确定每天需要摄入的上述三种食物的量。解：设 分别为三种食物的摄入量，则由表中的数据可以列出下列方程组123,x231
2、3657.45xx利用 matlab 可以求得x =0.277223183614430.391920861637010.23323088049177案例 2 一个土建师、一个电气师、一个机械师组成一个技术服务社。假设在一段时间内，每个人收入 1 元人民币需要支付给其他两人的服务费用以及每个人的实际收入如下表所示，问这段时间内，每人的总收入是多少？（总收入=实际收入+支付服务费）被服务者服务者土建师 电气师 机械师 实际收入土建师 0 0.2 0.3 500电气师 0.1 0 0.4 700机械师 0.3 0.4 0 600解：设土建师、电气师、机械师的总收入分别是 元，根据题意，建立方123,
3、x程组 1233050476xx利用 matlab 可以求得x =1.0e+003 *1.256484149855911.448126801152741.55619596541787案例 3 医院营养师为病人配制的一份菜肴由蔬菜、鱼和肉松组成，这份菜肴需含1200cal 热量，30g 蛋白质和 300mg 维生素 c，已知三种食物每 100g 中的有关营养的含量如下表，试求所配菜肴中每种食物的数量。蔬菜 鱼 肉松热量/cal 60 300 600蛋白质/g 3 9 6维生素 c/mg 90 60 30解：设所配菜肴中蔬菜、鱼和肉松的数量分别为 百克，根据题意，建立方程123,x组 123606
4、039xx利用 matlab 可以求得x =1.521739130434782.391304347826090.65217391304348矩阵的应用案例 1 矩阵概念的引入（1）线性方程组 121212nnnaxaxb 的系数 按原来的位置构成一数表(,12,)(,)ij jab 121212nnnaab 该数表决定着上述方程组是否有解，以及如果有解，解是什么等问题，因而研究这个数表就很重要。（2）某航空公司在 A,B,C,D 四城市之间开辟了若干航线，下图所示表述了四城市间的航班图，若从 A 到 B 有航班，则用带箭头的线连接 A 和 B。为了便于研究，表中为 1，空白为 0，得到下列数表
5、：(3)某中学学生身高体重的测量，得到如下一份统计如下表40 50 60 701.5 60 80 70 201.6 30 120 150 901.7 10 15 80 1501.8 0 2 5 10此表反映身高与体重这种关系时也可将上面表格写成一个简化的 4 行 4 列的矩形数表，列表表示到站A B C DA 0 1 1 0B 1 0 1 1C 1 1 0 1行标表示发站 D 0 1 0 0ABCD体重（kg）人数身高（m）40（kg）50（kg）60（kg）70（kg）1.5 60 80 70 201.6 30 120 150 901.7 10 15 80 1501.8 0 2 5 10如果
6、只反映 1.5 米与体重的关系，则可以用（60 80 70 20） ；如果只反映 60kg 与身高的关系，则可以用 。70158案例 5 矩阵概念的应用逻辑判断问题甲、乙、丙、丁四人各从图书馆借来一本小说，他们约定读完后互相交换，这四本书的厚度以及他们四人的阅读速度差不多，因此，四人总是同时交换书，经三次交换后，他们四人读完了这四本书，现已知：（1）乙读的最后一本书是甲读的第二本书；（2）丙读的第一本书是丁读的最后一本书。问四人的阅读顺序是怎样的？解：设甲、乙、丙、丁最后读的书的代号依次为 A,B,C,D,则根据题设条件可以列出初始矩阵DBAC下面我们来分析矩阵中各位置的书名代号。已知每个人都
7、读完了所有的书，所以并第二次读的书不可能是 C,D。又甲第二次读的书是 B，所以丙第二次读的书也不可能是 B，从而丙第二次读的书是 A，同理可依次推出丙第三次读的书是 B，丁第二次读的书是 C，丁第三次读的书是 A，丁第一次读的书是 B，乙第二次读的书是 D，甲第一次读的书是C，乙第一次读的书是 A，乙第三次读的书是 C，甲第三次读的书是 D。故四人阅读的顺序可用矩阵表示如下：1234甲 乙 丙 丁CABD案例 6 矩阵乘法的应用某企业某年出口到三个国家的两种货物的数量及两种货物的单位价格、重量、体积如下表所示：美国 德国 日本1A3000 1500 200021400 1300 800单位价
8、格（万元） 单位重量（吨） 单位体积（ ）3m1A0.5 0.04 0.220.4 0.06 0.4利用矩阵乘法计算该企业出口到三个国家的货物总价值、总重量、总体积各为多少？解：设矩阵30140.54.25,628AB则矩阵=CAB06 4 160127382 7国家数量货总价值 总重量 总体积美国德国日本案例 7 逆矩阵的应用一个城市有三个重要的企业：一个煤矿，一个发电厂和一条地方铁路。开采一块钱的煤，煤矿必须支付 0.25 元的运输费。而生产一块钱的电力，发电厂需支付煤矿 0.65 元的燃料费，自己亦需支付 0.05 元的电费来驱动辅助设备及支付 0.05 元的运输费。而提供一块钱的运输费
9、铁路需支付煤矿 0.55 元的燃料费，0.10 元的电费驱动它的辅助设备。某个星期内，煤矿从外面接到 50000 元煤的订货，发电厂从外面接到 25000 元电力的订货，外界对地方铁路没有要求。问这三个企业在那一个星期的生产总值各为多少时才能精确地满足它们本身的要求和外界的要求？解：各企业产出一元钱的产品所需费用为煤矿 发电厂 铁路燃料费（元） 0 0.65 0.55电力费（元） 0 0.05 0.10运输费（元） 0.25 0.05 0对于一个星期的周期，设 表示煤矿的总产值， 表示电厂的总产值， 表示铁路1x2x3x的总产值。煤矿的总消耗为 1230.650.电厂的总消耗为 1xx铁路的总
10、消耗为 123则123(0.650.)50xx2123123()xx联立三个方程并整理得方程组 1230.65.509x上述方程组可化为 ，其中AXb企业产 品费用， 10.65.91.2.A12350,xXb利用 matlab 求解，可知 ，所以方程组有唯一解，其解为det()0.7985A123842351xXb所以煤矿总产值为 80423 元，发电厂总产值为 28583 元，铁路总产值为 21535 元。案例 8 求解线性方程组（1）假设你是一个建筑师，某小区要建设一栋公寓，现在有一个模块构造计划方案需要你来设计，根据基本建筑面积每个楼层可以有三种设置户型的方案，如下表所示。如果要设计出
11、含有 136 套一居室，74 套两居室，66 套三居室，是否可行？设计方案是否唯一？方案 一居室（套） 两居室（套） 三居室（套）A 8 7 3B 8 4 4C 9 3 5解：设公寓的每层采用同一种方案，有 层采用方案 A，有 层采用方案 B，有1x2x层采用方案 C，根据题意，可得3x12389167475x利用 matlab 计算方程组的系数矩阵 A、增广矩阵 的秩：()Ab，A()23r所以方程组有无穷多个解。利用 matlab 将增广矩阵化为行简化阶梯型矩阵：A1023()58b矩阵对应的方程组为 ，13258x取 ，则方程组的全部解为3(xc为 正 整 数 ） 12358xcxc又由
12、题意可知， 都为正整数，则方程组有唯一解 。123,x 1236,8xx所以设计方案可行且唯一，设计方案为：6 层采用方案 A，2 层采用方案 B，8 层采用方案 C。（2） 在一个原始部落中，农田耕作记为 F，农具及工具的制作记为 M，织物的编织记为 C。人们之间的贸易是实物交易系统（见下图） 。由图中可以看出，农夫将每年的收获留下一半，分别拿出四分之一给工匠和织布者；工匠平均分配他们制作的用具给每个组。织布者则留下四份之一的衣物为自己，四分之一给工匠，二分之一给农夫。随着社会的发展，实物交易形式需要改为货币交易。假设没有资本和负债，那么如何对每类产品定价才能公正地体现原有的实物交易系统？也
13、可以用下表表示：F 12M 13C 1441342组名 F M CF 121414M 333C解：令 为农作物的价值， 为工具的价值， 为织物价值。那么从上表第一1x2x3x列，农夫生产的价值应该等于他们交换到的产品的价值，即123同理可以得到工匠和纺织者产品价值的方程， 21334xx31243xx从而得到下列方程组： 123123040xx利用 matlab 将系数矩阵化为行简化阶梯型矩阵，为A=5103令 ，写成方程组，为3xc1253xc写成向量形式为 1235xc所以当农作物价值、工具价值与织物价值的定价之比为 时，才能公1235:1x正地体现原有的实物交易系统。（3）某药厂生产 3
14、 种中成药，每件中成药的生产要经过 3 个车间加工。3 个车间每周的工时、每件中成药在各车间需要的工时数如下表所示，问 3 中中成药每周的产量各是多少？中成药 1 中成药 2 中成药 3 车间工时（时/周）车间 1 1 1 2 40车间 2 3 2 3 75车间 3 1 1 1 28解：设 3 种中成药每周的产量分别为 ，则由题意得123,x12340758x利用 matlab 将方程组的增广矩阵化为行简化阶梯型矩阵，得 4010(,)32759182Ab由此可以得出 12379x所以三种中成药每周的产量分别为 7 件，9 件，12 件。案例 9 解线性方程组应用人口迁移模型在生态学、经济学和
15、工程学等许多领域中经常需要对随时间变化的动态系统进行数学建模，此类系统中的某些量常按离散时间间隔来测量，这样就产生了与时间间隔相应的向量序列 其中 表示第 n 次测量时系统状态的有关信息，而 常被称为初始向012,x nx 0x量。如果存在矩阵 A，并给定初始向量 ，使得 即0x1021,Ax1(0,12)nnxA则上述方程为一个线性差分方程或者递归方程。（1）已知某城市 2009 年的城市人口为 5000000 人，农村人口为 7800000 人。假设每年大约有 5%的城市人口迁移到农村（ 95%仍然留在城市） ，12%的农村人口迁移到城市（88% 仍然留在农村） ，如下图所示，忽略其他因素
16、对人口规模的影响。计算 2011 年的人口分布。解：由题意可得迁移矩阵为 0.95128M设 2009 年的初始人口为 ，2010 年和 2011 年的人口分别为 ，则0x 12,x10.95120560877421.62385140560xM即 2011 年的人口分布情况是：城市人口为 6255380，农村人口为 6544620.(2)在某个地区，每年约有 4%的城市人口移居到周围的农村，大约 5%的农村人口移居到城市中。在 2009 年，城市中有 400000 居民，农村有 600000 居民。建立一个差分方程来描述这种情况，用 表示 2009 年的初始人口，然后估计两年之后，即 2011
17、 年城市和农村的0x人口数量（忽略其他因素对人口规模的影响）（3）某公司有一个车队，大约有 450 辆车，分布在三个地点。一个地点租出去的车可城市 农村0.950.120.050.88以归还到三个地点中的任意一个，但租出的车不许当日归还。下面的矩阵给出了汽车归还到每个地点的不同比率。假设星期一在机场有 304 辆车，东部办公区有 48 辆车，西部办公区有 98 辆车，那么在星期三时，车辆的大致分布式怎么样？ 0.97.50.1 .38车 辆 出 租 地机 场 东 部 西 部 归 还 到 机 场东 部西 部解：设星期一机场、东部和系部的车辆为 ，星期二和星期三三个地方的车辆分别为0x，由题意可得
18、，迁移矩阵为12,x .97.5.100.3.8M则 10.97.5.14370.3.895x21 10.5480. 2xM所以，星期三时，机场有 310 辆车，东部办公区有 48 辆车，系部办公区有 92 辆车。案例 10 解线性方程组应用网络流模型网络流模型广泛应用于交通、运输、通信、电力分配、城市规划、任务分派以及计算机辅助设计等众多领域。当科学家、工程师和经济学家研究某种网络中的流量问题是，线性方程组就自然而然地产生了，例如：城市规划设计人员和交通工程师监控城市道路网络内的交通流量，电气工程师计算电路中流经的电流，经济学家分析产品通过批发商和零售商网络从生产者到消费者的分配等。大多数网
19、络流模型中的方程组都包含了数百甚至上千个未知量和线性方程。一个网络由一个点集以及连接部分或全部点的直线或弧线构成。网络中的点称作联结点（或节点） ，网络中的连接线称作分支。每一分支中的流量方向已经指定，并且流量（或流速）已知或者已标为变量。网络流的基本假设是网络流中流入与流出的总量相等，并且每个联接点流入和流出的总量也相等。例如：下图所示分别说明了流量从一个或两个分支流入联结点， 和12,x分别表示从其他分支流出的流量， 表示从其他分支流入的流量。因为流量在每个3x 45,x联结点守恒，所以有 。1245360,80xx网络分析要解决的问题就是：在部分信息（如网络的输入量）已知的情况下，确定每
20、一分支中的流量。下图的网络给出了在下午两点钟，某市区部分单行道的交通流量（以每刻钟通过的汽车数量来度量） 。试确定网络的流量模式。解：根据网络流模型的基本假设，在节点（交叉口）A,B,C,D 处，我们可以得到下列方程： 12234:03;:0;AxBxx4551.CD此外，该网络的总流入等于网络的总流出，即 332030410,2xx联立以上方程的方程组： 122345130x601x602x604x3x5x804050303020 10BACD2x34x51x取 ，则网络的流量模式表示为5xc1234540,20,xcxcx线性规划问题案例 1、.生产计划问题（1）假设某厂计划生产甲、乙两种
21、产品，现库存主要原料有 A 类 3600kg，B 类2000kg,C 类 3000kg.每件甲产品需用材料 A 类 9kg,B 类 4kg,C 类 3kg。每件乙产品需用材料A 类 4kg,B 类 5kg,C 类 10kg。甲单位产品的利润 70 元，乙单位产品的利润 120 元。问如何安排生产，才能使该厂所获的利润最大。解：建立模型：设生产甲、乙产品的件数分别为 ， 为该厂所获总利润，则12,xf1212ma70.94365,0fstx程序如下：f=-70 -120;A=9 4;4 5;3 10;b=3600 2000 3000;x,maxf=linprog(f,A,b);maxf=-max
22、f;结果为：x =200.0000240.0000maxf =4.2800e+004（2）某工厂生产 A,B 两种产品，已知生产 A 产品每公斤需耗煤 9 吨，耗电 400度，用工 3 个工作日；生产 B 产品每公斤需耗煤 4 吨，耗电 500 度，用工 10 个劳动日。A 产品每公斤利润 700 元，B 产品每公斤利润 1200 元，因客观条件限制，该厂只能得到煤360 吨，电 20000 度，劳动力 300 个，问该厂如何安排生产才能使总利润最大？解：建立模型设 分别表示生产 A,B 两种产品的数量，则12,x12212ma70.943650,fxstx案例 2、投资问题某公司有一批资金用
23、于 4 个工程项目的投资，其投资各项目时所得的净收益（投入资金的百分比）如下表所示。由于某种原因，决定用于项目 A 的投资不大于其他各项投资之和，而用于项目 B 和 C 的投资要大于项目 D 的投资。试确定该公司收益最大的投资分配方案。工程项目 A B C D收益（%） 15 10 8 12解：建立模型：设 分别表示用于项目 A,B,C,D 的投资百分数，则1234,x12341234max0.5.0.8.12.0,jfxxstx程序如下：f=-0.15 -0.1 -0.08 -0.12;A=1 -1 -1 -1;0 -1 -1 1;b=0 0;Aeq=1 1 1 1;beq=1;ub=;lb
24、=zeros(4,1);x,maxf=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub);maxf=-maxf;结果如下：x =0.50000.25000.00000.2500maxf =0.1300案例 3、运输问题有 A,B,C 三个食品加工厂，负责供给甲、乙、丙、丁 4 个市场。3 个工厂每天生产食品箱数如表 1 所示；4 个市场每天的需求量如表 2 所示；从各厂运到各市场的运输费（元/箱）如表 3 所示。求在基本满足供需平衡的约束条件下使总运输费用最小。表 1工厂 A B C生产数 60 40 50表 2市场 甲 乙 丙 丁需求量 20 35 33 34表 3市场收点发点 甲 乙
25、 丙 丁A 2 1 3 2B 1 3 2 1工厂C 3 4 1 1解：建立数学模型：设 为由工厂 运到市场 的费用， 是由工厂 运到市场 的箱数。 是工厂 的ijaijijxijibi产量， 是市场 的需求量，则jdj， 1213423213,4xxAX(6045),(20354)TTbd34131min.,2,340;1ijiijiijijijfaxstbxd程序如下：B=2 1 3 2;1 3 2 1;3 4 1 1;f=B(:);%将矩阵 B 转化为列向量A=1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 00 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 00 0 1 0 0 1 0 0 1 0
26、 0 1;b=60 40 50;Aeq=1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1;beq=20 35 33 34;lb=zeros(12,1);ub=;x,minf=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub); 结果如下：x =0.000020.00000.000035.00000.00000.00000.00000.000033.00000.000018.468215.5318minf =122.0000案例 4、合理下料问题某工厂有一
27、批 5 米的钢管（数量充足） ，为制造零件的需要，要将它们截成 140 厘米，95 厘米，65 厘米的管料，并要求这三种管料按照 2：4：1 的比例配套，问如何下料才能使残料最少？解：合理下料问题：分析：截取的方法很多，但是残料较大的可以排除1 2 3 4 5 6 7 8140 3 2 2 1 1 0 0 095 0 2 0 3 1 5 3 165 1 0 3 1 4 0 3 6残料 15 30 25 10 5 25 20 15设 表示第 种截法截得的钢管数量ixi (,28)i123456784524567813mn0102015.0,.ifxxxxstx案例 5、经济配料问题某饲养场有 5 中饲料，已知各种饲料的单位价格和每百公斤饲料的蛋白质、矿物质、维生素含量如表，又知该饲养场每日至少需蛋白质 70 单位，矿物质 3 单位，维生素 10 单位，问如何混合调配 5 种饲料，能使总成本最低？饲料种类 有关成分 饲料单价蛋白质 矿物质 维生素 （百公斤）1 0.30 0.1 0.05 22 2.20 0.05 0.10 73 1.00 0.02 0.02 44 0.60 0.20 0.20 35 1.80 0.05 0.08 5解：设用 表示第 种饲料的用量，ixi1,2345i1234551234min7.03.0.6.87052.1,4ifxstxx
