1、6.5 包装用料问题-用绳包装一、问题的提出在日常生活中我们经常遇到“用绳包扎物体，求 绳长 ”这类问题，现举例如下：如图 1，一个长方体礼品盒的长 35 厘米、 宽 22 厘米、高 15 厘米，现在用彩带把这个礼品盒捆上。其中打 结用了 40 厘米彩带。求一共需要多少彩带? 35 215（图 1）下面我们针对这类问题进行研究。二、模型的创建与解答“用绳包扎物体，求绳长”这类实际问题，尽管问题背景纷繁多样，所包扎物体形状各异，包扎方式五花八门，但概况抽象成数学问题非常简单，都是先求出绳所在平面截几何体所得图形的周长，包扎几圈，就是几个周长的和，然后再加上接头的长度。根据包扎物体形状和包扎方式的
2、不同，现归纳以下几种模型：模型一：当包扎物体形状是长方体、立方体或圆柱体（绳所在平面为轴截面）时； 在此情况下，因“绳截面”都是矩形，故所包扎绳子长度 = 若干个矩形周长之和 + 接头长度。 特别注意：要搞清楚每一个矩形的“长”和“ 宽”，并非都是相同的矩形。例如上面的问题，可作如下解答：因礼品盒捆扎方式为：“ 横着一圈，竖着两圈”，所以绳截面是三个矩形 彩带总长度= 三个矩形周长之和 + 接头长 度=2（35+15）+ 22（15+22）+40=288(cm)模型二：当包扎物体形状是圆柱体，且绳所在平面平行于底面时；绳子长度 = 绳截面图形的周长 + 接头长度。举例如下：如图所示，将三根底面
3、直径为 a 的圆钢用钢丝绳 捆紧，不计捆扎接头，最少需要多长钢丝绳？解答：如图 2 是绳截面图，因不计捆扎接头，所求 钢丝绳的长度等于截面图形的周长，即三段弧和三条线段长度之和。 钢丝绳长 度=AB+CD+EF+ 的长+ 的长+ 的长 AF BC DE易知 AB=CD=EF=O1O2=O1O3=O2O3=a, AO1F=BO2C=DO3E=120， 的 AF长+ 的长 + 的长= 一个圆周长=a BC DE钢丝绳长度=3a+a（图 2）模型三：当包扎物体形状是圆台，且绳所在平面是圆台的轴截面时；因“ 绳截面”是等腰梯形，所以绳子长度 = 若干个等腰梯形周长之和 + 接头长度。举例如下：捆扎一个
4、下底直径 30 厘米、上底直径 12 厘米，高 12 厘米的蛋糕盒（如图），底面呈十字形，打结用去绳子 10 厘米，一共需包装绳多少厘米？（图 3） （图 4）解答：如图 3 所示，捆扎一圈时绳截面是等腰梯形，它的上底等于 12，下底等于30，高是 12，为了求等腰梯形 ABCD 的周长，需先求出腰 AB 的长度。在图 4 中，作等腰梯形的两条高 AE 和 DF，BE = CF = =9，由勾股定理可得 AB =2130=15，291所需包装绳长度= 2（152+12+30）+10 = 184 （厘米）3、模型的应用例 1 一种食品盒的长、宽、高分 别是 10cm，5cm，5cm，现在要把这样
5、的 8 个食品盒包装后打捆（图 5 中虚线表示包装绳）。在下面的两种摆放方式中，各用包装绳多少厘米？（打结部分的绳长约 30cm）解答：两种方式中，包装绳的长度都等于四个矩形周长的和+接头绳长。但要注意每种方式中矩形长和宽的不同。（图 5）第一种方式：包装绳的长度=22 （10+10）+22（20+10）+30 = 230(cm)第二种方式：包装绳的长度=22 （40+5）+22（5+10）+30 = 270(cm)例 2(2011 年山东省青岛市中考数学试题)小刚在超市里买了一些物品，用一个长方体的箱子“ 打包”，这个箱子的尺寸如图6 所示（其中 ba c 0），售货员分别可按图 7、图 8
6、、图 9 三种方法进行捆绑，问哪种方法用绳最短？哪种方法用绳最长？请说明理由解答：售货员对长方体箱子进行的三种方式“打包” ：图 7 是“横着两圈，竖着两圈” ，图 8 是“横着一圈，竖着一圈，平着一圈” ，图 9 是“ 横着一圈，竖着两圈，平着一圈”。每种方式中的绳长都忽略扎头长度，所以仅计算各自图中矩形周长之和。图 7 绳长=四个矩形周 长之和=22 （b+c）+22（a+c）=4a+4b+8c;图 8 绳长=三个矩形周 长之和=2 （b+c）+2（a+b)+2（a+c）=4a+4b+4c;图 9 绳长=四个矩形周 长之和=2 （b+c）+22（a+c）+2（a+b)=6a+4b+6c;b
7、ac 0 显然 4a+4b+4c4a+4b+8c 且 4a+4b+4c6a+4b+6c;图 8 中 绳长最短；又图 9 绳长-图 7 绳长=（6a+4b+6c ）-（4a+4b+8c）=2a-2c0图 9 中 绳长图 7 绳长，故 图 9 中绳长最长。例 3 一团绳子长 10 米，现要呈十字形捆扎一种礼盒（长方体，长 10 厘米， 宽 15厘米，高 8 厘米）如果结头处的绳子长 25 厘米， 这团绳子最多可以困扎这样的礼盒多少个？解答：扎一个礼盒需要绳子最少的方法是： 扎最小的两个周长即 2(10+8)+2(15+8)=82 (厘米) ，每扎一个需要绳子 82+25=107 (厘米)10米可以扎的数量=10 100107=9.34 (去尾数 得 9个)四、练习1、一个超市售货员用包装绳子呈十字形捆一个长30CM，宽15CM，高10CM 的鞋盒，接头处用包装绳子20厘米，捆这个鞋盒需要多长的包装绳？（图10）2、邮局的工作人员用尼龙编织条加固一个长方体的包裹，所用的尼龙编织条总长120dm。这个长方体长宽 高的比是3：2：1包裹的体积是多少立方分米？3、啤酒厂包装工用绳子将 4 瓶啤酒扎在一起， 绳截面图如下，捆 4 圈至少用多少厘米？已知一瓶啤酒的直径为 8 厘米。（图11）
